| 信息组 | 概率 | 支付积分（美元） | 条件平均（美元） |
|---|---|---|---|
| L | 0.4 | 0 | 0 |
| H | 0.6 | 8,000 | 40,000/3 |
全期望：0.4×0 + 0.6×(40,000/3) = 8,000 美元。完整状态已知时条件期望等于 X。
", "scope": "默认及正文列明的迁移算例，不依赖点击状态" }, "execution": { "status": "executed", "runtime": "Chromium 144.0.7559.96 JavaScript in author sandbox", "independent_check": "Python Fraction 的共同四状态精确结果；其余边界见验证报告" }, "source_ids": [ "QTB-MIT-CE", "QTB-CBOE-SPX" ] }, "shared_inputs": { "schema_version": "qt-b-inputs-1", "content_version": "2026-09-21-QT-B-review-v3", "shared_case": { "id": "EXP-COND-01", "identity": "教学构造；真实产品条款仅用于支付乘数和结算值的解释，不是历史行情、样本频率或风险中性模型", "state_ids": [ "w1", "w2", "w3", "w4" ], "probabilities": [ 0.1, 0.3, 0.4, 0.2 ], "signals": [ "L", "L", "H", "H" ], "settlement_points": [ 5900, 6000, 6100, 6200 ], "strike_points": 6000, "multiplier_usd_per_point": 100, "contracts": 1, "payoff_type": "call", "probability_measure": "P_model", "clocks": { "t0": "未观察信号", "t1": "模型约定已收到 L/H 信号", "t2": "合约规定结算值确定；支付金额可计算", "cash_delivery": "与 t2 的金额确定区分，不在本实验建立账户到账/交收模型" }, "partitions": { "trivial": [ [ 0, 1, 2, 3 ] ], "signal": [ [ 0, 1 ], [ 2, 3 ] ], "full": [ [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ] ], "cross": [ [ 0, 2 ], [ 1, 3 ] ] }, "partition_labels": { "trivial": "尚无信号", "signal": "只知 L/H", "full": "完整状态", "cross": "交叉分组 {1,3}/{2,4}" }, "events": { "H": [ 2, 3 ], "T": [ 3 ], "L": [ 0, 1 ], "all": [ 0, 1, 2, 3 ], "empty": [] }, "case_source_ids": [ "QTB-CBOE-SPX" ] }, "defaults": { "events": { "event": "T", "given": "H" }, "conditional": { "partition": "signal" }, "measurable": { "partition": "signal", "candidate": [ 0, 1, 2, 2 ] }, "projection": { "partition": "signal", "candidate_usd": [ 0, 0, 10000, 10000 ], "outer_partition": "trivial" }, "rn": { "partition": "signal", "shift_usd": 15000 }, "integration": { "pareto_alpha": 1.5, "cap": 100, "spike_n": 10, "probe_x": 0.02, "dyadic_n": 4 } }, "named_cases": { "zero_group": { "probabilities": [ 0.25, 0.75, 0, 0 ], "partition": "signal" }, "zero_atom": { "probabilities": [ 0.25, 0.75, 0, 0 ], "partition": "full" }, "bad_future_candidate": { "candidate_usd": [ 0, 0, 10000, 20000 ] }, "cap_grid": [ 10, 100, 1000 ], "alpha_grid": [ 0.8, 1, 1.5, 3 ], "integration_spike_grid": [ 2, 10, 100 ], "mse_probe_grid_usd": [ 0, 10000, 13333.333333333334, 20000 ], "dyadic_grid": [ 1, 2, 4, 8 ] }, "units": { "probabilities": "dimensionless", "settlement_points": "index points (contract-defined settlement value)", "payoff": "USD / one contract", "expectation": "USD", "mse": "USD^2", "pareto": "dimensionless pedagogical variable, support [1,infinity)", "spike": "dimensionless on (0,1) with Lebesgue probability" }, "numerical_policy": { "probability_sum_absolute_tolerance": 1e-12, "calculation_relative_tolerance": 1e-10, "calculation_absolute_tolerance": 1e-08, "null_group": "mass exactly zero; conditional ratios undefined; canonical CE constant 0 on that group; never infer impossibility outside the model", "normalization": "invalid probabilities rejected, never silently normalized", "finite": "all finite numeric inputs required", "identity": "fixed finite model; no stochastic simulation and no financial return denominator used" } }, "body_scope": "完整正文、静态核算与题目解析" } } ``` ## Supplied entry 我们有时不知道最终落在哪个状态，却已知道它属于哪一组。此时要计算的平均既不能忽略已知信息，也不能偷偷使用组内尚未揭晓的结果。本页只需要有限概率、[条件概率](https://ou-liu-red-sugar.github.io/zh/notebook/conditional-probability/)和加权平均，不需要先学尾部风险。 ## 有限分组的定义 令有限样本空间 $\Omega$ 上的状态概率为 $p_\omega$，$X$ 为有限实值随机变量。取非空集合 $A_1,\ldots,A_m$ 两两不交并覆盖 $\Omega$，并假设目前能辨认的恰是这些组及其并集，记为 $\mathcal G=\sigma(A_1,\ldots,A_m)$。这个记号的含义可在 [可测信息](https://ou-liu-red-sugar.github.io/zh/notebook/measurable-information/) 中查询。 若 $P(A_i)>0$，则在第 $i$ 组中的条件平均为 $$ m_i=\frac{\sum_{\omega\in A_i}p_\omega X(\omega)} {\sum_{\omega\in A_i}p_\omega}. $$ **给定这份信息的条件期望**是随机变量 $$ M=E[X\mid\mathcal G]=\sum_i m_i\,1_{A_i}. $$ 在零概率组上可选择任一有限常数作为 $m_i$；以下统一取 $0$。这是一个版本约定，不是给 $0/0$ 定义了数值。[^finite] $M$ 是一个函数：收到第 $i$ 组的消息时，我们使用数 $m_i$。所以“给定某个已经发生的组后的平均数”和“在消息到达前定义的条件期望随机变量”有关，但不是同一种对象。 ## 看见信号后，支付怎样平均 下面使用一份**教学情景表**。支付约定参考标准 SPX 欧式现金结算看涨期权：每指数点对应 $100$ 美元。这里的行权价 $6000$、四个结算值、信号和概率均为人为设定，不是实际挂牌报价或估出的市场概率。$S_T$ 表示合约规则指定的结算值，而不是随便选的一笔最后成交价。支付 $X=100(S_T-6000)^+$ 是一份合约的美元金额。[^spx] | 状态 | 模型概率 | 先收到的信号 | $S_T$（点） | $X$（美元） | |---|---:|---|---:|---:| | $\omega_1$ | $0.1$ | $L$ | $5900$ | $0$ | | $\omega_2$ | $0.3$ | $L$ | $6000$ | $0$ | | $\omega_3$ | $0.4$ | $H$ | $6100$ | $10000$ | | $\omega_4$ | $0.2$ | $H$ | $6200$ | $20000$ | 模型约定先收到 $L/H$，以后才知道结算值。金额被确定，不等于经纪账户已收到现金；本例没有另建账户入账和交收账本。这里计算的是模型支付的条件平均，也没有扣权利金或贴现，**不是期权利润或价格**。 收到 $L$ 后，两行支付都为零，所以 $m_L=0$。收到 $H$ 后，组内概率不是各一半，而是 $$ P(\omega_3\mid H)=\frac{0.4}{0.6}=\frac23,\qquad P(\omega_4\mid H)=\frac13. $$ 因此 $$ m_H=\frac23(10000)+\frac13(20000)=\frac{40000}{3}. $$ 换句话说，$M$ 在前两行取 $0$，在后两行取 $40000/3$ 美元。不能在后两行分别填 $10000,20000$：那需要已经知道完整状态，而当前只知道同一个 $H$ 信号。 保持概率和支付不变，只改变可用信息，得到下面的静态对照： | 状态 | 尚无信号：$E[X]$ | 只知 $L/H$：$E[X\mid\mathcal G]$ | 完整状态已知：$X$ | |---|---:|---:|---:| | $\omega_1$ | $8000$ | $0$ | $0$ | | $\omega_2$ | $8000$ | $0$ | $0$ | | $\omega_3$ | $8000$ | $40000/3$ | $10000$ | | $\omega_4$ | $8000$ | $40000/3$ | $20000$ | 信息变细并不使条件期望在每条状态上都上升：从中间列走到最后一列，第三行下降，第四行上升。变多的是可区分的结果，而不是每个结果中的平均数。 ## 为什么这个平均保留了正确的信息 对每个正概率组，定义直接给出 $$ \sum_{\omega\in A_i}p_\omega M(\omega) =m_iP(A_i) =\sum_{\omega\in A_i}p_\omega X(\omega). $$ 零概率组的两边均为零。任意 $B\in\mathcal G$ 都是若干组的并，把这些组的等式相加，便有 $$ E[M1_B]=E[X1_B]. $$ 此外，$M$ 在每组中为常数，因此由当前信息便能确定它的值，即 $M$ 是 $\mathcal G$-可测的。这两点正好成为 [一般条件期望](https://ou-liu-red-sugar.github.io/zh/notebook/conditional-expectation-projection/) 的定义。 特别地，取 $B=\Omega$ 得到全期望公式。本例中 $$ E[M]=0.4(0)+0.6\left(\frac{40000}{3}\right)=8000 =0.4(10000)+0.2(20000)=E[X]. $$ 这里必须按组的概率加权，不能把 $0$ 和 $40000/3$ 直接各乘一半。 仅保留总体平均仍不够。例如常数 $8000$ 的确与 $X$ 有相同期望，但它在 $L$ 上的积分是 $8000(0.4)=3200$，而 $X$ 在 $L$ 上的积分为零。已经知道的 $L$ 消息被它忽略了。 ## 自检与解析 **题 1。** 改为三个可辨认组 $\{\omega_1\}$、$\{\omega_2,\omega_3\}$、$\{\omega_4\}$，重新计算条件期望及其总体平均。 **解析。** 三组概率为 $0.1,0.7,0.2$，组内平均依次为 $0$、$4000/0.7=40000/7$、$20000$。因此条件期望向量为 $(0,40000/7,40000/7,20000)$，其期望是 $0.7(40000/7)+0.2(20000)=8000$。第二组必须把零支付状态 $\omega_2$ 的概率放进分母。 **题 2。** 保持原来的 $L/H$ 信息，但另设概率为 $(0.25,0.75,0,0)$。在 $H$ 上取 $M=0$ 和取 $M=100$，哪一个是条件期望？能否在 $\omega_3,\omega_4$ 上分别取 $0,100$？ **解析。** 前两种都是版本：它们在 $H$ 这整个零概率组上取常数，因而仍可测，且不改变任何积分。后一种在同一组中取不同值，不再对 $L/H$ 信息可测；“只差在零概率集合上”不能自动免除可测性要求。应在选定事件域下讨论版本。 [^finite]: MIT, *Recitation 3: Conditional Expectations*，Fall 2018，§1.1，pp.1–4 的离散条件平均与全期望；§1.2，pp.4–6 将它视为随机变量及说明一般定义的职责。[公开全文](https://ocw.mit.edu/courses/6-436j-fundamentals-of-probability-fall-2018/c1ab69cb198badcebee42d5880784439_MIT6_436JF18_rec3.pdf)。有限分区的积分验证在本文直接给出。 [^spx]: Cboe, *SPX Index Options Fact Sheet*，页脚 ©2026，p.2：乘数、欧式行权、现金结算，以及 SPX Traditional 与 SPXW 不同的结算值口径。[产品规格](https://cdn.cboe.com/resources/spx/spx-fact-sheet.pdf)。本文只借用支付规则；所有数值情景、信号及概率为教学假设。 ## Experiment inputs and static equivalents ```json [ { "id": "EXP-QTB-CONDITIONAL-01", "title": "信息分组与条件平均", "anchor": "qt06-case", "description": "在同一支付变量上改变信息分组，逐组检查 M×P(组) 是否等于 X 在该组的加权总量。", "inputs": { "identity": "教学构造；真实产品条款仅用于支付乘数和结算值的解释，不是历史行情、样本频率或风险中性模型", "shared_file": "shared_inputs.json", "paths": [ "shared_case", "defaults.conditional" ], "values": { "shared_case": { "id": "EXP-COND-01", "identity": "教学构造；真实产品条款仅用于支付乘数和结算值的解释，不是历史行情、样本频率或风险中性模型", "state_ids": [ "w1", "w2", "w3", "w4" ], "probabilities": [ 0.1, 0.3, 0.4, 0.2 ], "signals": [ "L", "L", "H", "H" ], "settlement_points": [ 5900, 6000, 6100, 6200 ], "strike_points": 6000, "multiplier_usd_per_point": 100, "contracts": 1, "payoff_type": "call", "probability_measure": "P_model", "clocks": { "t0": "未观察信号", "t1": "模型约定已收到 L/H 信号", "t2": "合约规定结算值确定；支付金额可计算", "cash_delivery": "与 t2 的金额确定区分，不在本实验建立账户到账/交收模型" }, "partitions": { "trivial": [ [ 0, 1, 2, 3 ] ], "signal": [ [ 0, 1 ], [ 2, 3 ] ], "full": [ [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ] ], "cross": [ [ 0, 2 ], [ 1, 3 ] ] }, "partition_labels": { "trivial": "尚无信号", "signal": "只知 L/H", "full": "完整状态", "cross": "交叉分组 {1,3}/{2,4}" }, "events": { "H": [ 2, 3 ], "T": [ 3 ], "L": [ 0, 1 ], "all": [ 0, 1, 2, 3 ], "empty": [] }, "case_source_ids": [ "QTB-CBOE-SPX" ] }, "defaults": { "events": { "event": "T", "given": "H" }, "conditional": { "partition": "signal" }, "measurable": { "partition": "signal", "candidate": [ 0, 1, 2, 2 ] }, "projection": { "partition": "signal", "candidate_usd": [ 0, 0, 10000, 10000 ], "outer_partition": "trivial" }, "rn": { "partition": "signal", "shift_usd": 15000 }, "integration": { "pareto_alpha": 1.5, "cap": 100, "spike_n": 10, "probe_x": 0.02, "dyadic_n": 4 } } } }, "outputs": { "rows": [ { "indices": [ 0, 1 ], "mass": 0.4, "total": 0, "mean": 0, "ratio_defined": true, "version_note": "" }, { "indices": [ 2, 3 ], "mass": 0.6000000000000001, "total": 8000, "mean": 13333.333333333332, "ratio_defined": true, "version_note": "" } ], "vector": [ 0, 0, 13333.333333333332, 13333.333333333332 ], "expectation": 8000, "conditional_expectation": 8000 }, "algorithm": "每组 mass=sum(p_i)，total=sum(p_i*x_i)，mass>0 时 mean=total/mass；零组不相除而取常数0版本；将组值回填各行并核全期望。", "units": { "probabilities": "dimensionless", "settlement_points": "index points (contract-defined settlement value)", "payoff": "USD / one contract", "expectation": "USD", "mse": "USD^2", "pareto": "dimensionless pedagogical variable, support [1,infinity)", "spike": "dimensionless on (0,1) with Lebesgue probability" }, "boundaries": [ "划分非空、无遗漏、无重复", "零概率组采用可测常数0版本，明确比值未定义", "不以小于某epsilon判断零组" ], "static_equivalent": { "body_anchor": "qt06-case", "default_table_html": "| 信息组 | 概率 | 支付积分（美元） | 条件平均（美元） |
|---|---|---|---|
| L | 0.4 | 0 | 0 |
| H | 0.6 | 8,000 | 40,000/3 |
全期望：0.4×0 + 0.6×(40,000/3) = 8,000 美元。完整状态已知时条件期望等于 X。
", "scope": "默认及正文列明的迁移算例，不依赖点击状态" }, "execution": { "status": "executed", "runtime": "Chromium 144.0.7559.96 JavaScript in author sandbox", "independent_check": "Python Fraction 的共同四状态精确结果；其余边界见验证报告" }, "source_ids": [ "QTB-MIT-CE", "QTB-CBOE-SPX" ] } ] ``` ## Sources - [SPX Index Options Fact Sheet](https://cdn.cboe.com/resources/spx/spx-fact-sheet.pdf): 只支持 SPX 产品的每点 100 美元乘数、欧式与现金结算，以及 SPX Traditional/SPXW 结算值口径区别。不支持本包设定的行权价、情景、信号、概率或模型平均为价格。 - [Recitation 3: Conditional Expectations](https://ocw.mit.edu/courses/6-436j-fundamentals-of-probability-fall-2018/c1ab69cb198badcebee42d5880784439_MIT6_436JF18_rec3.pdf): 支持离散条件平均、全期望和条件期望本身为随机变量。讲义部分 g(Y) 表述简写，本文额外保留所需可积/有界条件，不采用无条件的乘积期望断言。 ## Content relations ```json [ { "from": "zh-conditional-expectation", "relation": "part_of", "to": "quant-foundations", "reason": "主要 topic 归属" }, { "from": "zh-conditional-expectation", "relation": "supported_by", "to": "QTB-MIT-CE", "reason": "支持本篇采用的定义、条件或真实产品条款", "locator": "§1.1–§1.2，pp.1–6", "scope": "支持离散条件平均、全期望和条件期望本身为随机变量。讲义部分 g(Y) 表述简写，本文额外保留所需可积/有界条件，不采用无条件的乘积期望断言。" }, { "from": "zh-conditional-expectation", "relation": "supported_by", "to": "QTB-CBOE-SPX", "reason": "支持本篇采用的定义、条件或真实产品条款", "locator": "p.2 合约规格", "scope": "只支持 SPX 产品的每点 100 美元乘数、欧式与现金结算，以及 SPX Traditional/SPXW 结算值口径区别。不支持本包设定的行权价、情景、信号、概率或模型平均为价格。" }, { "from": "qt06-case", "relation": "illustrated_by", "to": "EXP-QTB-CONDITIONAL-01", "reason": "在同一支付变量上改变信息分组，逐组检查 M×P(组) 是否等于 X 在该组的加权总量。" }, { "from": "zh-conditional-expectation", "relation": "uses_method", "to": "zh-qt05", "reason": "计算正概率组内的条件权重；不以 QT04 作为先修" }, { "from": "zh-conditional-expectation", "relation": "uses_method", "to": "zh-qt09", "reason": "解释有限分组与可测性" } ] ``` ## Related entries