# 积分与可积性 核对非负与有符号期望、可积性及极限交换条件，用封顶重尾和尖峰反例划清边界。 Entry: zh-qt10 | Node: QT10 | Language: zh | Editorial revision: 2026-09-21 ## Teaching instructions 你正在使用一份公开教学包，读者具有高年级本科至研究生的数学背景。先实际读取 required_readings 中本次采用的完整单元，再进入讲解；记录版本、页/节、关键假设与支持范围。仅取得目录、摘要或失败链接不算读完。已在本次会话完整取得的同一版本可以复用。找不到正文时尝试已核公开等价版本并说明版本变化，仍缺失则明确缺少的单元，不编造已读内容。 以下正文、输入和解析为共同来源，不能自行改变数字或把教学概率改称样本频率、现实真值或定价测度。不要访问账户。每次推进一个完整推理任务；已掌握的基础可跳过讲解，但承重条件不能省略。静态说明与交互同义；工具不能运行时直接使用完整静态输入与精确计算，不声称运行过实验。 当前词条：QT10《积分与可积性》。本次只教这个节点及选择的证明分支。 诊断任务：给 f_n=n·1_(0,1/n)，问能否交换积分与极限；要求先说定理条件再答数值。 通过标准：能区分有限、扩展、未定义期望；说出 DCT 统一可积支配；算封顶 2.8 和超阈值置零 2.7，拒绝以样本有限证明矩存在。 先让读者作解释或计算，再依完整解析反馈；最后更换分组、概率或条件做迁移，不能只询问“懂了吗”。 Before substantive teaching, actually retrieve every required reading unit for the selected scope. Read its complete designated section, including necessary assumptions, tables and footnotes. A working URL or an editorial access date is not a runtime reading receipt. Record the actual version, location, scope and what it supports. If unavailable, use a previously verified equivalent source; if the required unit remains unavailable, identify that gap rather than teach it from memory. Start runtime_reading_log empty. Once reading is complete, use a substantive diagnostic or follow the reader's request for direct explanation. Advance one complete reasoning task at a time; skip mastered basics. Distinguish original facts, supplied teaching assumptions and inference. ## Required readings and runtime protocol ```json { "export_mode": "public", "required_readings": [ { "source_id": "QTB-DEMBO-2021", "access": { "kind": "pdf_full_text", "uri": "https://adembo.su.domains/stat-310b/lnotes.pdf" }, "required_unit": { "locator": "Definition 1.3.1 Step 1–4 p.31；Definition 1.3.2、Lemma 1.3.3 p.32；Theorem 1.3.4 p.33/证明 p.41；Lemma 1.3.33 与 Theorem 1.3.34 pp.42–43", "scope": "简单/非负/有符号积分、L1 可积性、MCT、Fatou 与 DCT 的陈述及所用证明步骤", "purpose": "区分非负扩展积分、L1 有符号积分及极限交换条件，并核 DCT 的 L1 结论" }, "supports": "定义与条件的公开依据。采用 L1 条件期望及 RN 构造、塔式性质和 L2 投影；正文把指示函数到有界函数再到 L2 检验函数的延伸逐步写出。一般 RN 证明单元保留其 Hahn 分解依赖，未声称重新证明全部测度论。", "title": "Probability Theory: STAT310/MATH230", "authors": [ "Amir Dembo" ], "version": "2021-04-15（PDF 标题页；不等同于此前规划的 2019 版）" } ], "optional_readings": [], "runtime_reading_log": [], "supplied_inputs": { "content_version": "2026-09-21-QT-B-review-v3", "experiment": { "id": "EXP-QTB-INTEGRAL-01", "title": "积分、封顶与极限条件", "anchor": "qt10-tail", "description": "下面三个模型各自固定：Pareto 封顶、尖峰序列、Uniform 简单函数。它们各自独立，不使用四状态概率。", "inputs": { "identity": "确定的积分教学模型，非金融样本或模拟", "shared_file": "shared_inputs.json", "paths": [ "defaults.integration", "named_cases.cap_grid", "named_cases.alpha_grid", "named_cases.integration_spike_grid", "named_cases.dyadic_grid" ], "values": { "shared_case": null, "defaults": { "events": { "event": "T", "given": "H" }, "conditional": { "partition": "signal" }, "measurable": { "partition": "signal", "candidate": [ 0, 1, 2, 2 ] }, "projection": { "partition": "signal", "candidate_usd": [ 0, 0, 10000, 10000 ], "outer_partition": "trivial" }, "rn": { "partition": "signal", "shift_usd": 15000 }, "integration": { "pareto_alpha": 1.5, "cap": 100, "spike_n": 10, "probe_x": 0.02, "dyadic_n": 4 } } } }, "outputs": { "pareto": { "alpha": 1.5, "cap": 100, "mean": 3, "mean_finite": true, "second_moment": null, "second_moment_finite": false, "capped_mean": 2.8, "omitted_tail_mean": 2.6999999999999997, "boundary_contribution": 0.09999999999999998 }, "spike": { "n": 10, "x": 0.02, "height": 10, "width": 0.1, "area": 1, "value": 10, "pointwise_limit": 0 }, "dyadic": { "n": 4, "step": 0.0625, "integral": 0.46875, "limit_integral": 0.5 } }, "algorithm": "Pareto：封顶均值用积分解析式，alpha=1 用对数；非有限矩输出 finite=false,value=null。尖峰按 x<1/n 判值，面积恒1；Uniform简单函数积分(1−2^-n)/2。", "units": { "probabilities": "dimensionless", "settlement_points": "index points (contract-defined settlement value)", "payoff": "USD / one contract", "expectation": "USD", "mse": "USD^2", "pareto": "dimensionless pedagogical variable, support [1,infinity)", "spike": "dimensionless on (0,1) with Lebesgue probability" }, "boundaries": [ "alpha>0,b≥1；非有限原矩不与 finite cap 混同", "n为正整数，0
αb完整均值封顶均值超阈值置零均值
1.510032.82.7
n尖峰高度支撑长度积分fₙ(0.02)
221/212
10101/10110
1001001/10010

二进简单函数：n=4 时积分 0.46875，极限 0.5。尖峰的逐点极限为零，但各项积分恒为一。

", "scope": "默认及正文列明的迁移算例，不依赖点击状态" }, "execution": { "status": "executed", "runtime": "Chromium 144.0.7559.96 JavaScript in author sandbox", "independent_check": "Python Fraction 的共同四状态精确结果；其余边界见验证报告" }, "source_ids": [ "QTB-DEMBO-2021" ] }, "shared_inputs": { "schema_version": "qt-b-inputs-1", "content_version": "2026-09-21-QT-B-review-v3", "shared_case": { "id": "EXP-COND-01", "identity": "教学构造；真实产品条款仅用于支付乘数和结算值的解释，不是历史行情、样本频率或风险中性模型", "state_ids": [ "w1", "w2", "w3", "w4" ], "probabilities": [ 0.1, 0.3, 0.4, 0.2 ], "signals": [ "L", "L", "H", "H" ], "settlement_points": [ 5900, 6000, 6100, 6200 ], "strike_points": 6000, "multiplier_usd_per_point": 100, "contracts": 1, "payoff_type": "call", "probability_measure": "P_model", "clocks": { "t0": "未观察信号", "t1": "模型约定已收到 L/H 信号", "t2": "合约规定结算值确定；支付金额可计算", "cash_delivery": "与 t2 的金额确定区分，不在本实验建立账户到账/交收模型" }, "partitions": { "trivial": [ [ 0, 1, 2, 3 ] ], "signal": [ [ 0, 1 ], [ 2, 3 ] ], "full": [ [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ] ], "cross": [ [ 0, 2 ], [ 1, 3 ] ] }, "partition_labels": { "trivial": "尚无信号", "signal": "只知 L/H", "full": "完整状态", "cross": "交叉分组 {1,3}/{2,4}" }, "events": { "H": [ 2, 3 ], "T": [ 3 ], "L": [ 0, 1 ], "all": [ 0, 1, 2, 3 ], "empty": [] }, "case_source_ids": [ "QTB-CBOE-SPX" ] }, "defaults": { "events": { "event": "T", "given": "H" }, "conditional": { "partition": "signal" }, "measurable": { "partition": "signal", "candidate": [ 0, 1, 2, 2 ] }, "projection": { "partition": "signal", "candidate_usd": [ 0, 0, 10000, 10000 ], "outer_partition": "trivial" }, "rn": { "partition": "signal", "shift_usd": 15000 }, "integration": { "pareto_alpha": 1.5, "cap": 100, "spike_n": 10, "probe_x": 0.02, "dyadic_n": 4 } }, "named_cases": { "zero_group": { "probabilities": [ 0.25, 0.75, 0, 0 ], "partition": "signal" }, "zero_atom": { "probabilities": [ 0.25, 0.75, 0, 0 ], "partition": "full" }, "bad_future_candidate": { "candidate_usd": [ 0, 0, 10000, 20000 ] }, "cap_grid": [ 10, 100, 1000 ], "alpha_grid": [ 0.8, 1, 1.5, 3 ], "integration_spike_grid": [ 2, 10, 100 ], "mse_probe_grid_usd": [ 0, 10000, 13333.333333333334, 20000 ], "dyadic_grid": [ 1, 2, 4, 8 ] }, "units": { "probabilities": "dimensionless", "settlement_points": "index points (contract-defined settlement value)", "payoff": "USD / one contract", "expectation": "USD", "mse": "USD^2", "pareto": "dimensionless pedagogical variable, support [1,infinity)", "spike": "dimensionless on (0,1) with Lebesgue probability" }, "numerical_policy": { "probability_sum_absolute_tolerance": 1e-12, "calculation_relative_tolerance": 1e-10, "calculation_absolute_tolerance": 1e-08, "null_group": "mass exactly zero; 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保持 $\alpha=1.5$，取 $b=10,100,1000$，封顶平均依次约为 $2.368$、$2.800$、$2.937$。精确值仍由上式直接计算。若改成 $\alpha=0.8$，任何有限 $b$ 的封顶平均仍然有限，但不能因此说未封顶的均值存在于有限实数中。 积分面板还给出一个独立的简单函数例：在 $U\sim\mathrm{Unif}[0,1)$ 上，$s_n=2^{-n}\lfloor2^nU\rfloor\uparrow U$，其平均为 $(1-2^{-n})/2$。$n=1,2,4,8$ 时依次为 $0.25,0.375,0.46875,0.498046875$。这是从下方逼近一个固定可积函数，和不断挤向零点的尖峰序列不同。 ## 自检与解析 **题 1。** $\alpha=1.5$ 时，$Z$ 可积吗？$Z-3$ 的平方可积吗？有限样本中没有观察到极端值，能否改变答案？ **解析。** $E[Z]=3<\infty$，所以 $Z\in L^1$。但 $E[(Z-3)^2]=\infty$：在 $Z>6$ 时，$(Z-3)^2\ge Z^2/4$，而这部分二阶矩发散。矩是否存在是给定模型的性质，有限样本没有出现极端值不能证明总体二阶矩有限。 **题 2。** 有人说“$f_n(x)\to0$ 且每个 $\int|f_n|=1$，所以可由 DCT 推出 $\int f_n\to0$”。错误在哪一步？ **解析。** 各项 $L^1$ 范数一致有界，不等于存在统一可积的点态支配函数。尖峰例恰好满足前者而不满足后者。DCT 的缺口不能用一组相同的积分值补上。 **题 3。** 某函数的正部期望无穷、负部期望为 $2$。可以说它“没有任何期望”吗？能否使用本篇所指的 $L^1$ 条件期望定理？ **解析。** 它有扩展期望 $+\infty$，但没有有限期望，且不属于 $L^1$，所以不能直接套用该定理。非负扩展条件期望可以另行定义，但不能据此把有符号的 $\infty-\infty$ 运算合法化。 [^integral]: Amir Dembo, *Probability Theory: STAT310/MATH230*，2021-04-15 版，Definition 1.3.1 Step 1–3（p.31）定义指示函数、简单函数与非负积分；Lemma 1.3.3（p.32）说明简单函数积分与表示无关并给出线性、单调性。[作者公开讲义](https://adembo.su.domains/stat-310b/lnotes.pdf)。 [^signed]: 同版，Definition 1.3.1 Step 4（p.31）用正负部分定义有符号积分，并规定至少一侧有限时才能作差；Definition 1.3.2（p.32）把 $E|X|<\infty$ 定义为可积/有限期望。本文重尾例由所给密度直接计算。 [^mct]: 同版，Theorem 1.3.4，p.33；完整证明 p.41。 [^dct]: 同版，Fatou Lemma 1.3.33 与 Dominated Convergence Theorem 1.3.34，pp.42–43，包含完整证明。尖峰例是对“仅有点态收敛”的直接反例。 ## Experiment inputs and static equivalents ```json [ { "id": "EXP-QTB-INTEGRAL-01", "title": "积分、封顶与极限条件", "anchor": "qt10-tail", "description": "下面三个模型各自固定：Pareto 封顶、尖峰序列、Uniform 简单函数。它们各自独立，不使用四状态概率。", "inputs": { "identity": "确定的积分教学模型，非金融样本或模拟", "shared_file": "shared_inputs.json", "paths": [ "defaults.integration", "named_cases.cap_grid", "named_cases.alpha_grid", "named_cases.integration_spike_grid", "named_cases.dyadic_grid" ], "values": { "shared_case": null, "defaults": { "events": { "event": "T", "given": "H" }, "conditional": { "partition": "signal" }, "measurable": { "partition": "signal", "candidate": [ 0, 1, 2, 2 ] }, "projection": { "partition": "signal", "candidate_usd": [ 0, 0, 10000, 10000 ], "outer_partition": "trivial" }, "rn": { "partition": "signal", "shift_usd": 15000 }, "integration": { "pareto_alpha": 1.5, "cap": 100, "spike_n": 10, "probe_x": 0.02, "dyadic_n": 4 } } } }, "outputs": { "pareto": { "alpha": 1.5, "cap": 100, "mean": 3, "mean_finite": true, "second_moment": null, "second_moment_finite": false, "capped_mean": 2.8, "omitted_tail_mean": 2.6999999999999997, "boundary_contribution": 0.09999999999999998 }, "spike": { "n": 10, "x": 0.02, "height": 10, "width": 0.1, "area": 1, "value": 10, "pointwise_limit": 0 }, "dyadic": { "n": 4, "step": 0.0625, "integral": 0.46875, "limit_integral": 0.5 } }, "algorithm": "Pareto：封顶均值用积分解析式，alpha=1 用对数；非有限矩输出 finite=false,value=null。尖峰按 x<1/n 判值，面积恒1；Uniform简单函数积分(1−2^-n)/2。", "units": { "probabilities": "dimensionless", "settlement_points": "index points (contract-defined settlement value)", "payoff": "USD / one contract", "expectation": "USD", "mse": "USD^2", "pareto": "dimensionless pedagogical variable, support [1,infinity)", "spike": "dimensionless on (0,1) with Lebesgue probability" }, "boundaries": [ "alpha>0,b≥1；非有限原矩不与 finite cap 混同", "n为正整数，0
αb完整均值封顶均值超阈值置零均值
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n尖峰高度支撑长度积分fₙ(0.02)
221/212
10101/10110
1001001/10010

二进简单函数：n=4 时积分 0.46875，极限 0.5。尖峰的逐点极限为零，但各项积分恒为一。

", "scope": "默认及正文列明的迁移算例，不依赖点击状态" }, "execution": { "status": "executed", "runtime": "Chromium 144.0.7559.96 JavaScript in author sandbox", "independent_check": "Python Fraction 的共同四状态精确结果；其余边界见验证报告" }, "source_ids": [ "QTB-DEMBO-2021" ] } ] ``` ## Sources - [Probability Theory: STAT310/MATH230](https://adembo.su.domains/stat-310b/lnotes.pdf): 定义与条件的公开依据。采用 L1 条件期望及 RN 构造、塔式性质和 L2 投影；正文把指示函数到有界函数再到 L2 检验函数的延伸逐步写出。一般 RN 证明单元保留其 Hahn 分解依赖，未声称重新证明全部测度论。 ## Content relations ```json [ { "from": "zh-qt10", "relation": "part_of", "to": "quant-foundations", "reason": "主要 topic 归属" }, { "from": "zh-qt10", "relation": "supported_by", "to": "QTB-DEMBO-2021", "reason": "支持本篇采用的定义、条件或真实产品条款", "locator": "Definition 1.3.1 Step 1–4 p.31；Definition 1.3.2、Lemma 1.3.3 p.32；Theorem 1.3.4 p.33/证明 p.41；Lemma 1.3.33、Theorem 1.3.34 pp.42–43", "scope": "定义与条件的公开依据。采用 L1 条件期望及 RN 构造、塔式性质和 L2 投影；正文把指示函数到有界函数再到 L2 检验函数的延伸逐步写出。一般 RN 证明单元保留其 Hahn 分解依赖，未声称重新证明全部测度论。" }, { "from": "qt10-tail", "relation": "illustrated_by", "to": "EXP-QTB-INTEGRAL-01", "reason": "下面三个模型各自固定：Pareto 封顶、尖峰序列、Uniform 简单函数。它们各自独立，不使用四状态概率。" }, { "from": "zh-qt10", "relation": "requires", "to": "zh-qt09", "reason": "积分对象须先具备可测空间与函数的语言", "required_competence": "能识别可测函数、事件及概率测度；可在 QT09 就地查询" } ] ``` ## Related entries