# 情景、事件与概率
我们先固定观察期限，再说明期末可能发生哪些结果。
Entry: zh-qt02 | Node: QT02 | Language: zh | Editorial revision: 2026-09-21
## Teaching instructions
你负责 QT02「情景、事件与概率」，这是按疑点使用的短参考，不是初等概率完整课程。
先实际读取本页正文，再打开脚注 MIT Lecture 1 的指定定义、Proposition 2 及两事件公式，记录取得的版本和范围。原件容斥证明留作练习，不要伪称原件已给完整证明；使用本页的不交分解证明。来源失败则寻找可核对的等价原文；未取得相应单元前不声称已满足阅读要求。
请读者直接判断例中 A、B 是否互斥且穷尽，并算出交并概率；若已掌握，跳过重复解释，改问边界从“≥”到“>”怎样影响结果。
必须检查观察期限、模型结果是否穷尽、权重是否非负归一；不要自动归一化错误输入。用三个不交块解释容斥，不引入未要求的独立性或条件概率课程。
理解标准：读者能解释 0.7+0.8 为什么不是并集概率，能迁移等号边界，也知道这些是假设权重而不是现实发生率。无需 QT01 先修，不读账户或推荐交易。缺什么就只补什么，不凑满 20 分钟。
Before substantive teaching, actually retrieve every required reading unit for the selected scope. Read its complete designated section, including necessary assumptions, tables and footnotes. A working URL or an editorial access date is not a runtime reading receipt. Record the actual version, location, scope and what it supports. If unavailable, use a previously verified equivalent source; if the required unit remains unavailable, identify that gap rather than teach it from memory. Start runtime_reading_log empty. Once reading is complete, use a substantive diagnostic or follow the reader's request for direct explanation. Advance one complete reasoning task at a time; skip mastered basics. Distinguish original facts, supplied teaching assumptions and inference.
## Required readings and runtime protocol
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"prompt": "你负责 QT02「情景、事件与概率」，这是按疑点使用的短参考，不是初等概率完整课程。\n先实际读取本页正文，再打开脚注 MIT Lecture 1 的指定定义、Proposition 2 及两事件公式，记录取得的版本和范围。原件容斥证明留作练习，不要伪称原件已给完整证明；使用本页的不交分解证明。来源失败则寻找可核对的等价原文；未取得相应单元前不声称已满足阅读要求。\n请读者直接判断例中 A、B 是否互斥且穷尽，并算出交并概率；若已掌握，跳过重复解释，改问边界从“≥”到“>”怎样影响结果。\n必须检查观察期限、模型结果是否穷尽、权重是否非负归一；不要自动归一化错误输入。用三个不交块解释容斥，不引入未要求的独立性或条件概率课程。\n理解标准：读者能解释 0.7+0.8 为什么不是并集概率，能迁移等号边界，也知道这些是假设权重而不是现实发生率。无需 QT01 先修，不读账户或推荐交易。缺什么就只补什么，不凑满 20 分钟。",
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"MIT 6.436J / 15.085J course materials"
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"scope": "MIT 6.436J/15.085J，Fall 2018，[Lecture 1: Probabilistic Models and Probability Measures](https://ocw.mit.edu/courses/6-436j-fundamentals-of-probability-fall-2018/c37dc8b61cdf6bde689a627bfa5b4942_MIT6_436JF18_lec01.pdf)。指定范围：§3 Definition 1（p.3），§4 Definition 2（pp.4–5），§5 Definition 3（pp.7–8）、Proposition 2 及两事件公式（pp.9–10，上半页至 Finite Additivity 之前）。本页不需要后续单调类定理。",
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"limits": "原文把有限容斥的证明留作练习；QT02 的二事件证明是本篇给出的推导，不冒称原文已完整证明。",
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"optional_readings": [],
"reading_protocol": "1. **确认当前学习范围。** 使用所选分支及本篇正文；先修仅诊断本篇确实需要的内容。识别必读材料，选读材料只有被采用时才转成对应问题的必读。\n2. **实际获取。** 用浏览/文件读取工具打开指定 URL 或随包文件。核对返回的标题/版本/范围，发现只有摘要、登录页、目录或文件清单时如实记录，继续找明确可读的正文入口。\n3. **完整读取所需单元。** 分页或分块读取到所需单元结束，包含前文约定、必要表图和脚注。PDF 符号或图表解析不可靠时查看原页；TeX 读取相关宏定义与 include 文件。不能只看搜索命中的几行。\n4. **形成简短内容对应。** 每项记录实际位置、读到的关键设定和它支持哪一步教学。例如“§5.10 的训练集仅含当前预测点之前的观测；该限制需要落实到预处理拟合，不仅是分割最终数据表”。后半句若为本站推论须标为推论。\n5. **满足后才开始该范围的实质教学。** 所有当前必读单元读完之后，基于材料给一项高密度诊断任务或按读者要求直接讲解。引用跟着对应命题或计算，不在末尾堆书名。\n6. **读取失败时自动处理缺口。** 先尝试指定的可读等价版本或作者/机构正式全文，不新造批准步骤。等价性包括版本、条款期间、定义和假设；新的替代来源实际读完后记录采用范围。仍缺失则说明具体缺少哪一个必读单元及原因，不凭训练记忆补成已读讲解，不宣称已完成本篇。\n\n“读取校验”依赖实际取得的内容及其位置、与教学相关的设定复述；不靠让模型报一句“我已阅读”，不引入无意义哈希或重复下载。它不能从技术上保证理解，但能让来源与使用之间可检查。",
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"runtime_reading_log": []
}
```
## Supplied entry
## 定义与约定
我们先固定观察期限，再说明期末可能发生哪些结果。讨论“未来某次合约结算”与“明天收盘”是不同的问题，不能共用一张未注明期限的情景表。
**定义。** 令 $\Omega$ 为非空集合，$\mathcal F$ 为其上的 $\sigma$-代数，即包含空集、对补集和可数并封闭的一族子集，则 $\Omega$ 称为样本空间，$\omega\in\Omega$ 是一个基本结果，$A\in\mathcal F$ 称为事件。给定概率测度 $\mathbb P\colon\mathcal F\to[0,1]$，要求 $\mathbb P(\Omega)=1$，且对两两不交的可数事件族满足可列可加性。[^mit]
有限模型中可取 $\mathcal F=2^\Omega$。设 $\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_n\}$，给定 $p_i\ge0$ 且 $\sum_i p_i=1$，则 $\mathbb P(A)=\sum_{\omega_i\in A}p_i$。权重 0 允许出现，不因此删除该结果；“概率为零”与“事件为空”不是同一句话。
## 一个足以分清边界的例子
约定期限为**教学模型中的一次期末结算 $T$**，不是某个已核挂牌到期日。三个基本结果分别标记为结算值 5,900、6,000、6,100 点，权重为 0.2、0.5、0.3。数值和权重都由教学模型给定，不是观测频率或市场隐含概率。
| 结果 | 结算情景标签（点） | $p_i$ | $A$：不超过 6,000 | $B$：不低于 6,000 |
|---|---:|---:|---|---|
| $\omega_1$ | 5,900 | 0.2 | 是 | 否 |
| $\omega_2$ | 6,000 | 0.5 | 是 | 是 |
| $\omega_3$ | 6,100 | 0.3 | 否 | 是 |
于是 $\mathbb P(A)=0.7$、$\mathbb P(B)=0.8$，但并集概率不是 1.5。两者覆盖全部模型结果，却在 $\omega_2$ 处重叠。**穷尽不等于互斥。** 三个基本结果在本模型内穷尽，也不等于它们已覆盖现实市场的所有结算可能性。
**命题（二事件容斥）。** 对事件 $A,B$，有 $\mathbb P(A\cup B)=\mathbb P(A)+\mathbb P(B)-\mathbb P(A\cap B)$。
**证明。** 把并集分成两两不交的 $A\setminus B$、$A\cap B$、$B\setminus A$，用可加性求和。分别展开 $\mathbb P(A)$ 与 $\mathbb P(B)$，会把中间一块数两遍，减去一次便得到结论。这个证明不要求 $A,B$ 独立。
本例结果为 $0.7+0.8-0.5=1$；补事件 $A^c=\{\omega_3\}$ 的概率为 0.3。事件属于哪些结果，与采用什么权重，是两层输入；改权重不必改变事件集合。
## 检查与使用位置
**解释题。** 刚才 $A$、$B$ 的概率和超过 1，是否说明模型权重不合法？
**解析。** 不是。基本结果权重仍非负且和为 1；超过 1 来自重复计入交集。应检查集合重叠，而不是强行把 $0.7,0.8$ 归一化。
**迁移题。** 把 $B$ 改为“严格大于 6,000”。哪些概率改变？
**解析。** $B=\{\omega_3\}$，概率降为 0.3；它与 $A$ 不交，交集概率变成 0；并集仍为全部模型结果，概率仍为 1。变化来自把边界情景 $\omega_2$ 移出 $B$，不是重新估计了市场概率。
[交互页](/notebook/labs/qt-a/interactions.html#qt02) 可以点选结果组成 $A,B$ 并修改三项权重。权重非法时应停算，不能自动归一化掩盖问题。没有脚本时，上表与两道题的结果就是静态替代。
本页用于 QT03 的映射、QT05 的条件概率，以及 QT07 的信息分组。不要求先读 QT01；只有需要处理真实历史数据时，才按任务调用数据版本方法。概率权重的数学自洽并不证明其经验合理性，市场报价也不在这里自动变成现实发生率。
[^mit]: MIT 6.436J/15.085J，Fall 2018，[Lecture 1: Probabilistic Models and Probability Measures](https://ocw.mit.edu/courses/6-436j-fundamentals-of-probability-fall-2018/c37dc8b61cdf6bde689a627bfa5b4942_MIT6_436JF18_lec01.pdf)。指定范围：§3 Definition 1（p.3），§4 Definition 2（pp.4–5），§5 Definition 3（pp.7–8）、Proposition 2 及两事件公式（pp.9–10，上半页至 Finite Additivity 之前）。本页不需要后续单调类定理。
## Additional teaching material
## 计算输入与默认输出
同源对象为 `experiments.json` 的 `probability`；期限为教学结算 $T$，不存在行情采集声明。
```json
{"experiment_id":"EXP-PAYOFF-MAP-01","states":["w1","w2","w3"],"settlement_points":[5900,6000,6100],"weights":[0.2,0.5,0.3],"event_A":[true,true,false],"event_B":[false,true,true],"outputs":{"P_A":0.7,"P_B":0.8,"P_intersection":0.5,"P_union":1,"P_A_complement":0.3}}
```
```text
P(A) = sum_i weights[i] * Number(event_A[i])
P(A intersection B) = sum_i weights[i] * Number(event_A[i] && event_B[i])
P(A union B) = sum_i weights[i] * Number(event_A[i] || event_B[i])
```
HTML `#qt02` 为每个情景给出 A、B 复选框及有标签的权重输入，显示全部五项概率。默认输出是上面的精确值。接受条件为每项有限、非负且和为 1；浮点校验容差 `1e-12` 只处理机器舍入，不修改输入。错误用文字解释；全不选的事件返回概率 0。静态表常驻，所有操作可用键盘，打印保留默认权重与输出。
## Experiment inputs and static equivalents
```json
[
{
"id": "EXP-PAYOFF-MAP-01",
"title": "同一情景、事件与支付映射",
"anchor": "qt02-event-example",
"description": "one hypothetical terminal settlement T; no actual listed expiry",
"inputs": {
"probability": {
"experiment_id": "EXP-PAYOFF-MAP-01",
"horizon": "one hypothetical terminal settlement T; no actual listed expiry",
"status": "teaching_assumption",
"states": [
"w1",
"w2",
"w3"
],
"settlement_points": [
5900,
6000,
6100
],
"weights": [
0.2,
0.5,
0.3
],
"event_A": [
true,
true,
false
],
"event_B": [
false,
true,
true
]
},
"payoff": {
"status": "real_product_terms_with_hypothetical_strike_prices_probabilities_premium",
"contract_source": "CBOE-SPX-20260921",
"type": "call",
"strike": 6000,
"multiplier": 100,
"premium_points": 30,
"fees": 0,
"funding_cost": 0,
"tax": 0,
"uniform_alternative": {
"status": "separate_fixed_teaching_model",
"low": 5900,
"high": 6100,
"strike": 6000,
"multiplier": 100,
"query_y": 5000
},
"product_cash_delivery_timing": "business day following expiration (Cboe fact sheet); account booking not modelled"
}
},
"outputs": {
"events": {
"P_A": 0.7,
"P_B": 0.8,
"P_intersection": 0.5,
"P_union": 1,
"P_A_complement": 0.3
},
"payoff": {
"payoff_usd": [
0,
0,
10000
],
"net_pnl_usd": [
-3000,
-3000,
7000
],
"distribution": [
{
"value": 0,
"mass": 0.7
},
{
"value": 10000,
"mass": 0.3
}
]
},
"uniform": {
"zero_atom_mass": 0.5,
"positive_mass": 0.5,
"positive_density_per_usd": 5e-05,
"cdf": 0.75
}
},
"outputs_origin": "QT-A review-v2 local Node verification (2026-09-20T18:18:09.193Z; 34/34); independent default recomputation matched",
"url": "/notebook/labs/qt-a/interactions.html#qt02"
}
]
```
## Sources
- [Lecture 1: Probabilistic Models and Probability Measures](https://ocw.mit.edu/courses/6-436j-fundamentals-of-probability-fall-2018/c37dc8b61cdf6bde689a627bfa5b4942_MIT6_436JF18_lec01.pdf): 概率模型先指定情景集合、可辨认事件及非负且总量为1的概率测度。事件的并、交与补集描述不同范围；容斥修正的是重复计数，不要求事件独立。
## Content relations
```json
[
{
"from": "zh-qt02",
"relation": "part_of",
"to": "quant-foundations",
"reason": "主要 topic 归属"
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{
"from": "zh-qt02",
"relation": "illustrated_by",
"to": "EXP-PAYOFF-MAP-01",
"reason": "事件边界与权重分开"
},
{
"from": "zh-qt02",
"relation": "supported_by",
"to": "QP01-L01",
"reason": "概率空间、可加性和容斥公式",
"scope": "指定定义与 Proposition 2；两事件证明由本页补全",
"locator": "§§1–4，约 pp.1–7；§5 Definition 3、Proposition 2，约 pp.7–10"
},
{
"from": "zh-qt02",
"relation": "informs",
"to": "zh-qt03",
"reason": "提供同一情景集及模型权重"
}
]
```
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