# 一维 Itô 公式：从 Taylor 和式到一般系数

完整传递 Taylor、加权 QV、一般 L1/L2 系数和空间截断到一维 Itô 公式。

Entry: zh-qt17p1 | Node: QT17-P1 | Language: zh | Editorial revision: 2026-09-21

## Teaching instructions
你是这篇中文学习单元的教学 Agent。读者具备本包列出的先修：QT16-P1 构造、最大估计与停止；L1/L2 收敛、Taylor、连续模。
先实际取得 required_readings 中本次所选单元并读完，核对版本、页码与公式；已有同会话同版完整读取可以复用。只取得摘要或目录不得声称完成。指定原件若无法取得，先说明具体缺口；只有本包中已经具名核过等价范围的完整数学证明，才可在对应数学步骤内作为替代，并须实际读完且记录替代正文、版本与支持步骤。若本次必读仍有缺失，就停止依赖该内容的实质讲解；研究样本、训练安排、图表结果与作者主张不得以本站概述替代，也不得声称原件已经读过。runtime_reading_log 是你的实际运行记录，交付的空数组不是已读。
本篇任务：先问只有 C1 时间正则性能否用二阶时间 Taylor；要求重建连续模余项、加权 QV、L1漂移/L2波动各项分解和两层停止，不省略一般系数步骤。
先让读者尝试，再按所缺的一步解释，不将全部课文一次复述。完整证明需要标明每项条件在哪一步用到，练习给出完整解析。只采用 supplied_inputs 的本篇切片和已链接全量数据，区分教学模型、真实记录、作者论文结果。图不是证明，模拟不是现实规律；不以预测概率替换定价测度。禁止从分位数拟造分布或另抽浏览器随机数冒充冻结路径。最后问：读者只读完这个词条，真的能学明白吗？用迁移题实际判断，明确剩余能力缺口。

Before substantive teaching, actually retrieve every required reading unit for the selected scope. Read its complete designated section, including necessary assumptions, tables and footnotes. A working URL or an editorial access date is not a runtime reading receipt. Record the actual version, location, scope and what it supports. If unavailable, use a previously verified equivalent source; if the required unit remains unavailable, identify that gap rather than teach it from memory. Start runtime_reading_log empty. Once reading is complete, use a substantive diagnostic or follow the reader's request for direct explanation. Advance one complete reasoning task at a time; skip mastered basics. Distinguish original facts, supplied teaching assumptions and inference.

## Required readings and runtime protocol
```json
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    "proof_scope": "本篇完整证明为 supplied site body；通常条件、progressive、dt⊗P 等价类、共同满概率版本与局部/全局矩条件按正文。"
  }
}
```

## Supplied entry
这篇证明的困难不是写出二阶项，而是说明每一个和式究竟收敛到什么，以及最后怎样从有界阶梯系数返回一般过程。我们先把证明中真正要使用的条件列全，再逐项过极限。先修是 $L^1/L^2$ 收敛、条件期望，以及 [Itô 积分的构造、Doob 估计和停止规则](https://ou-liu-red-sugar.github.io/zh/notebook/qt-ito-integral-proof/)；不需要一般鞅表示定理。

<a id="qt17p1-statement"></a>
## 1. 要证明的命题

令 $T<\infty$，过滤概率空间满足通常条件（过滤右连续，且 $\mathcal F_0$ 包含 $\mathcal F$ 中所有 $P$ 零集及其子集），$W$ 是相对于该过滤的 Brownian 运动。令 $X_0$ 为有限的 $\mathcal F_0$ 可测随机变量，$a,b$ 为渐进可测过程，且

$$
\int_0^T|a_s|\,ds+\int_0^T b_s^2\,ds<\infty\quad\text{a.s.}
$$

令 $X_t=X_0+\int_0^ta_sds+\int_0^tb_sdW_s$，取其连续版本。令 $f\in C^{1,2}([0,T]\times\mathbb R)$：$f,f_t,f_x,f_{xx}$ 联合连续，时间端点采用单侧导数。则在一个共同的满概率事件上，对所有 $t\in[0,T]$，

$$
\begin{aligned}
f(t,X_t)-f(0,X_0)
&=\int_0^t f_t(s,X_s)\,ds\\
&\quad+\int_0^t a_s f_x(s,X_s)\,ds\\
&\quad+\frac12\int_0^t b_s^2 f_{xx}(s,X_s)\,ds\\
&\quad+\int_0^t b_s f_x(s,X_s)\,dW_s.
\end{aligned}
$$

最后一项按局部平方可积积分理解。因为每条连续 $X$ 路径在有限区间内有界，相关导数沿路径也有界，以上积分的路径可积条件成立。这里没有假定 $X_0\in L^2$，也没有假定 $f_{tt}$ 或 $f_{tx}$ 存在。Lalley 的一维命题给出这个公式；下面把其证明中略写的一般系数逼近完整展开。[^ito]

证明分为三层：先取有界阶梯系数和有界一致连续导数；再传递到积分可积的一般系数；最后用停止和空间截断返回原来的 $f$。

<a id="qt17p1-taylor"></a>
## 2. 只用一次时间导数的 Taylor 展开

先假设 $a,b$ 是有界简单可预测过程，且 $f$ 及所需导数有界、一致连续。对固定 $t\le T$，取确定性分割 $\pi$，使它包含系数的全部跳点。记 $h_j=t_{j+1}-t_j$、$x_j=X_{t_j}$、$\Delta X_j=X_{t_{j+1}}-X_{t_j}$。于是

$$
\Delta X_j=a_jh_j+b_j\Delta W_j,
\qquad a_j,b_j\in\mathcal F_{t_j}.
$$

不要对 $(t,x)$ 作一个未经条件支持的二阶全变量展开。我们先在固定 $x_{j+1}$ 时展开时间，再在固定 $t_j$ 时展开空间：

$$
\begin{aligned}
f(t_{j+1},x_{j+1})-f(t_j,x_j)
&=f_t(t_j,x_j)h_j+f_x(t_j,x_j)\Delta X_j\\
&\quad+\frac12f_{xx}(t_j,x_j)(\Delta X_j)^2+R_j.
\end{aligned}
$$

时间差可以直接写为 $\int_{t_j}^{t_{j+1}}f_t(s,x_{j+1})ds$。减去 $f_t(t_j,x_j)h_j$ 后，绝对值至多为 $h_j\omega(h_j+|\Delta X_j|)$。空间余项由 $f_{xx}$ 的一致连续性控制为 $\tfrac12(\Delta X_j)^2\omega(|\Delta X_j|)$。放大同一个连续模 $\omega$，便得到

$$
\sum_j|R_j|
\le \omega\!\left(|\pi|+\max_j|\Delta X_j|\right)
\left(t+\sum_j(\Delta X_j)^2\right).
$$

$X$ 连续，所以第一个因子几乎处处趋零。若 $|a_j|,|b_j|\le K$，则

$$
E\sum_j(\Delta X_j)^2
\le 2K^2\sum_jh_j^2+2K^2t.
$$

右边一致有界，因此括号中的随机变量族在概率上有界。一个趋零于概率的因子乘以一个在概率上有界的因子仍趋零于概率：先把第二因子限制在任意大常数以内，再控制第一因子即可。故全部余项之和趋零于概率。这一步只用到时间的一阶连续可微性。[^correction]

<a id="qt17p1-weighted"></a>
## 3. 加权平方增量为什么给出二阶项

先证明一个可反复使用的小结论。若 $\zeta_j$ 是 $\mathcal F_{t_j}$ 可测且 $|\zeta_j|\le C$，令

$$
\eta_j=\zeta_j\big((\Delta W_j)^2-h_j\big).
$$

Brownian 增量独立于过去，故 $E[\eta_j\mid\mathcal F_{t_j}]=0$，而正态四阶矩给 $E\eta_j^2\le2C^2h_j^2$。当 $i<j$ 时，$\eta_i$ 已是 $\mathcal F_{t_j}$ 可测，条件期望消掉交叉项。于是

$$
E\left|\sum_j\eta_j\right|^2
=\sum_jE\eta_j^2
\le2C^2\sum_jh_j^2\longrightarrow0.
$$

在本题取 $\zeta_j=f_{xx}(t_j,X_{t_j})b_j^2$，得到

$$
\begin{aligned}
&\sum_j f_{xx}(t_j,X_{t_j})b_j^2(\Delta W_j)^2\\
&\quad-\sum_j f_{xx}(t_j,X_{t_j})b_j^2h_j
\longrightarrow0\quad\text{于 }L^2.
\end{aligned}
$$

第二个和式趋于 $\int_0^t f_{xx}(s,X_s)b_s^2ds$，因为 $b$ 只有有限个跳点，其余部分沿连续路径是普通 Riemann 和。

还需检查 $\Delta X$ 中的漂移。漂移平方和不超过 $K^2\sum h_j^2$；漂移与 Brownian 的混合和满足

$$
\left|\sum_j a_jb_jh_j\Delta W_j\right|
\le K^2\left(\sum_jh_j^2\right)^{1/2}
\left(\sum_j(\Delta W_j)^2\right)^{1/2}.
$$

第一因子趋零，第二因子在概率上有界。即使再乘有界的 $f_{xx}$，相同估计仍成立。因此二阶和式的极限只有 $\int b^2f_{xx}ds$，没有漂移平方或混合项留下来。

这里得到的是一个有条件的极限结论，不是把普通代数中的 $(dW)^2$ 任意替换成 $dt$。

<a id="qt17p1-first-order"></a>
## 4. 一次项与共同版本

时间项和漂移项分别趋于 $\int f_tds$ 与 $\int af_xds$。随机一次项是简单积分

$$
\sum_j f_x(t_j,X_{t_j})b_j\Delta W_j.
$$

由于 $b$ 有界，且 $f_x$ 有界、一致连续，分割细化后，相应被积过程在 $L^2(dt\otimes P)$ 中趋于 $f_x(s,X_s)b_s$。这里可以用有界控制收敛：路径连续给点态收敛，统一上界给可积控制。Itô 等距因此把简单积分送到所需随机积分。

将各项极限放回逐路径成立的有限 Taylor 恒等式，得到固定 $t$ 时的公式几乎处处成立。然后先只取 $[0,T]$ 内的有理数并加上 $T$，合并这个可数集合对应的零测例外；左右各项都有连续版本，所以等式延伸到全部 $t$。不能直接把“每个固定时点几乎处处”当作“所有时点同时几乎处处”。

<a id="qt17p1-general"></a>
## 5. 一般系数：逐项说明怎样过极限

现在仍暂取导数有界一致连续，但不再假定系数有界或为阶梯。令

$$
A_t=\int_0^t(|a_s|+b_s^2)ds,
\qquad \tau_m=\inf\{t:A_t\ge m\}\wedge T.
$$

先证明停止后的过程。把 $a,b$ 替换为它们乘 $\mathbf1_{(0,\tau_m]}$ 的版本，仍记为 $a,b$，则逐路径有 $\int|a|\le m$、$\int b^2\le m$。因此也有 $E\int|a|\le m$、$E\int b^2\le m$。

由 [渐进可测过程的稠密逼近](https://ou-liu-red-sugar.github.io/zh/notebook/qt-ito-integral-proof/#qt16p1-density)，可取有界简单可预测 $a^n,b^n$ 使

$$
a^n\to a\text{ 于 }L^1(dt\otimes P),
\qquad b^n\to b\text{ 于 }L^2(dt\otimes P).
$$

令 $X^n$ 使用相同的 $X_0$，漂移和波动系数为 $a^n,b^n$。则

$$
\sup_{t\le T}|X_t^n-X_t|
\le\int_0^T|a_s^n-a_s|ds
+\sup_{t\le T}\left|\int_0^t(b_s^n-b_s)dW_s\right|.
$$

第一项趋零于 $L^1$；第二项由 Doob 和等距趋零于 $L^2$。所以 $X^n\to X$ 一致于概率。初值在相减时消掉，这正是无需 $E|X_0|^2<\infty$ 的原因。

令 $\delta_n=\sup_{s\le T}|f_x(s,X_s^n)-f_x(s,X_s)|$。一致连续性使 $\delta_n\to0$ 于概率；有界性又给 $E\delta_n\to0$、$E\delta_n^2\to0$。对 $f_t,f_{xx}$ 同理。接下来不是笼统说“连续，所以全部可以传递”，而是分别估计。

漂移项分为

$$
f_x(X^n)(a^n-a)+(f_x(X^n)-f_x(X))a.
$$

这里略去共同时间变量。第一部分积分的 $L^1$ 范数至多为 $\|f_x\|_\infty\|a^n-a\|_1$；第二部分至多为 $mE\delta_n$，两者都趋零。时间项以 $T$ 乘相应导数的上确界差控制。

二阶项先注意

$$
\begin{aligned}
&\|(b^n)^2-b^2\|_1\\
&\quad\le\|b^n-b\|_2(\|b^n\|_2+\|b\|_2)
\longrightarrow0.
\end{aligned}
$$

把 $f_{xx}(X^n)(b^n)^2-f_{xx}(X)b^2$ 分成平方系数差和导数差两部分，前者由上式控制，后者由 $\int b^2\le m$ 控制。因此其积分也趋零于 $L^1$。

随机项的被积过程差为

$$
f_x(X^n)(b^n-b)+(f_x(X^n)-f_x(X))b.
$$

其平方范数至多为

$$
2\|f_x\|_\infty^2\|b^n-b\|_2^2+2mE\delta_n^2\longrightarrow0.
$$

Itô 等距与 Doob 估计再给随机积分的一致概率收敛。左端 $f(t,X_t^n)$ 也由有界一致连续性传递。于是有界导数条件下的一般系数公式成立。注意整个证明只需要漂移的 $L^1$ 逼近，没有暗中要求漂移平方可积。[^approx]

<a id="qt17p1-localization"></a>
## 6. 返回原来的函数和过程

取光滑空间截断 $\chi_R$，在 $[-R,R]$ 上等于一，在更大的有界区间外为零，令 $f^R(t,x)=\chi_R(x)f(t,x)$。有限时间区间上，$f^R$ 及所需导数有界、一致连续，因此上一节的结论适用。

令 $\rho_R=\inf\{t:|X_t|\ge R\}\wedge T$。在 $|X_0|<R$ 且 $t\le\rho_R$ 时，$f^R$ 与 $f$ 及所需导数一致。使用 [已经证明的随机积分停止规则](https://ou-liu-red-sugar.github.io/zh/notebook/qt-ito-integral-proof/#qt16p1-stopping)，可把 $f^R$ 的等式停止在 $\rho_R\wedge\tau_m$，换回原函数。普通积分的停止身份直接由时间截断成立。

对几乎每条路径，$A_T<\infty$，且 $\sup_{t\le T}|X_t|<\infty$。因此取足够大的整数 $m,R$ 后，这两个停时都等于 $T$，并且 $|X_0|<R$。在这些可数停止版本上取共同满概率事件，再利用连续性，就得到命题所述整个区间的同一版本。这完成证明。

这个结论不会额外保证随机项是全局真鞅。只有局部平方可积条件时，公式中的随机积分仍可能仅为局部鞅；不能仅因它写成 $\int\cdots dW$ 就直接把期望设为零。

<div data-experiment-slot="VIEW-QT17-P1-PROOF"></div>

<a id="qt17p1-exercise"></a>
## 7. 迁移：哪一个条件真的不可少

令 $t_0\in(0,T)$，取 $f(t,x)=|t-t_0|^{3/2}+x^2$。先判断此函数能否使用本篇定理，再对一般的 $X$ 写出结果。最后判断“随机积分没有漂移，所以 $E[X_t^2]$ 等于右边确定积分的期望”是否已经得到证明。

### 解析

时间导数是 $\tfrac32\operatorname{sgn}(t-t_0)|t-t_0|^{1/2}$，在 $t_0$ 连续；二阶时间导数在那里不存在，但本定理不需要它。空间导数为 $2x$ 和 $2$。因此

$$
\begin{aligned}
&f(t,X_t)-f(0,X_0)\\
&\quad=|t-t_0|^{3/2}-|t_0|^{3/2}\\
&\qquad+2\int_0^tX_sa_sds+\int_0^tb_s^2ds\\
&\qquad+2\int_0^tX_sb_sdW_s.
\end{aligned}
$$

消去时间函数，得到 $X_t^2-X_0^2=2\int X_sa_sds+\int b_s^2ds+2\int X_sb_sdW_s$。各项是已经合法建立的路径恒等式。要直接取期望并消去最后一项，还要有足够的全局可积条件，例如 $E\int_0^tX_s^2b_s^2ds<\infty$，并检查其余项的期望存在。局部公式本身不提供这些额外结论。

[^ito]: Steven P. Lalley, *Notes on the Itô Calculus*, 2012-05-15，§4.1–4.2、§4.5，PDF pp.14–16、18–20；[公开原件](https://www.stat.uchicago.edu/~lalley/Courses/385/Old/ItoIntegral-2012.pdf)。
[^correction]: 同原件 p.19 的漂移步长应为 $\zeta T2^{-n}$，而非印出的 $\zeta2^{-n}T^{-1}$。本篇分别展开时间和空间，只用 $\Delta t\,\omega(\Delta t+|\Delta X|)$ 控制时间余项。
[^approx]: Lalley §4.5 将一般系数的步骤概括为逼近；这里的 $L^1/L^2$ 分解、过程估计和停止传递是完整展开，不称为原讲义逐字提供的证明。


## Experiment inputs and static equivalents
```json
[
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    "id": "VIEW-QT17-P1-PROOF",
    "title": "Itô 公式证明依赖",
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    "description": "共享输入的本篇视图；不新增模拟实验。",
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      "scope": "本篇 supplied_inputs 的完整同源切片；冻结参数和全部结果附件在该切片内定位。"
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      "proof": "对应正文完整证明"
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    "source_experiment_id": null,
    "static_equivalent": "https://ou-liu-red-sugar.github.io/notebook/labs/qt-ghi/static/QT17-P1.html#qt17p1-localization",
    "result_attachment": {
      "uri": "https://ou-liu-red-sugar.github.io/notebook/labs/qt-ghi/static/QT17-P1.html#qt17p1-localization",
      "kind": "complete_proof"
    }
  }
]
```

## Sources
- [Notes on the Itô Calculus](https://www.stat.uchicago.edu/~lalley/Courses/385/Old/ItoIntegral-2012.pdf): 渐进可测密度、简单积分等距、延拓、停止、局部化与一维 Itô 公式。p.8 下标和 p.19 漂移步长按正确推导采用；Doob 强 L2 估计及一般系数传递在本站完整展开。

## Content relations
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