# Itô 积分的完整构造：从时空均方到连续过程

完成渐进 H2 密度、Doob4、连续版本、停止规则与局部积分。

Entry: zh-qt16p1 | Node: QT16-P1 | Language: zh | Editorial revision: 2026-09-21

## Teaching instructions
你是这篇中文学习单元的教学 Agent。读者具备本包列出的先修：QT16 简单积分/等距；L2 完备、Lebesgue 微分、Tonelli/DCT、条件期望收缩。
先实际取得 required_readings 中本次所选单元并读完，核对版本、页码与公式；已有同会话同版完整读取可以复用。只取得摘要或目录不得声称完成。指定原件若无法取得，先说明具体缺口；只有本包中已经具名核过等价范围的完整数学证明，才可在对应数学步骤内作为替代，并须实际读完且记录替代正文、版本与支持步骤。若本次必读仍有缺失，就停止依赖该内容的实质讲解；研究样本、训练安排、图表结果与作者主张不得以本站概述替代，也不得声称原件已经读过。runtime_reading_log 是你的实际运行记录，交付的空数组不是已读。
本篇任务：先让读者列从终点 L2 极限到连续过程还缺什么；依次验证向后平均、Doob4、统一收敛子列、整列、停止三次传递和 local/true martingale 边界。
先让读者尝试，再按所缺的一步解释，不将全部课文一次复述。完整证明需要标明每项条件在哪一步用到，练习给出完整解析。只采用 supplied_inputs 的本篇切片和已链接全量数据，区分教学模型、真实记录、作者论文结果。图不是证明，模拟不是现实规律；不以预测概率替换定价测度。禁止从分位数拟造分布或另抽浏览器随机数冒充冻结路径。最后问：读者只读完这个词条，真的能学明白吗？用迁移题实际判断，明确剩余能力缺口。

Before substantive teaching, actually retrieve every required reading unit for the selected scope. Read its complete designated section, including necessary assumptions, tables and footnotes. A working URL or an editorial access date is not a runtime reading receipt. Record the actual version, location, scope and what it supports. If unavailable, use a previously verified equivalent source; if the required unit remains unavailable, identify that gap rather than teach it from memory. Start runtime_reading_log empty. Once reading is complete, use a substantive diagnostic or follow the reader's request for direct explanation. Advance one complete reasoning task at a time; skip mastered basics. Distinguish original facts, supplied teaching assumptions and inference.

## Required readings and runtime protocol
```json
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    {
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        "scope": "密度、连续完成、停止与局部化完整单元",
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      "title": "Notes on the Itô Calculus",
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        "Steven P. Lalley"
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      {
        "title": "本篇同源 Markdown",
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    "proof_scope": "本篇完整证明为 supplied site body；通常条件、progressive、dt⊗P 等价类、共同满概率版本与局部/全局矩条件按正文。"
  }
}
```

## Supplied entry
<a id="qt16p1-setting"></a>
## 要构造的不只是一个终点随机变量

本单元承担积分构造的全部连接：稠密逼近、等距延拓、Doob $L^2$ 估计、连续过程极限、停止与局部化。我们不假定一般鞅表示定理，也不预先借用连续时间可选抽样。先修是简单可预测积分的定义与等距、条件期望的 $L^2$ 收缩、Lebesgue 微分定理、Tonelli/DCT 和 $L^2$ 完备性。

固定 $T<\infty$，过滤满足通常条件（过滤右连续，且 $\mathcal F_0$ 包含 $\mathcal F$ 中所有 $P$ 零集及其子集）；$W$ 是相对于该过滤的 Brownian 运动。渐进可测过程在每个 $[0,u]\times\Omega$ 上对 $\mathcal B([0,u])\otimes\mathcal F_u$ 可测。记

$$
\|H\|_{\mathcal H_T^2}^2=E\int_0^TH_t^2dt.
$$

把渐进可测且该范数有限的过程按下述关系取商，得到 $\mathcal H_T^2$：

$$
H\sim G\quad\Longleftrightarrow\quad H=G\quad dt\otimes P\text{ a.e.}
$$

其中 $\sim$ 指 $dt\otimes P$ 几乎处处相等。目标是给每个等价类构造一个连续平方可积鞅 $I(H)$，而且

$$
E|I_t(H)|^2=E\int_0^tH_s^2ds.
$$

渐进可测空间按这个范数是闭的 $L^2$ 子空间：取 $L^2$ 收敛列的几乎处处收敛子列，其逐点上极限在存在有限极限处等于极限，在其余点置零，仍渐进可测，因而给出该 $L^2$ 极限的合法代表。我们不会把所有渐进可测过程逐点认成可预测过程。[^construction]

<a id="qt16p1-density"></a>
## 一、先截断，再只向过去平均

下面的密度论证对 $p=1,2$ 都成立，后者用于随机积分，前者稍后用于 Itô 公式的漂移。

先把 $H$ 截断为 $H^{[K]}=(-K)\vee(H\wedge K)$。由 $|H-H^{[K]}|^p\le |H|^p$ 与 DCT，截断在 $L^p(dt\otimes P)$ 收敛。于是只需处理有界的 $H$。

对这样的 $H$ 定义向后平均

$$
H^{(m)}_t=m\int_{(t-1/m)^+}^tH_s\,ds.
$$

它有连续路径且不超过 $K$。它是适应的：在时点 $t$，积分仅涉及 $s\le t$，渐进可测性保证这个时间积分是 $\mathcal F_t$ 可测。连续适应过程渐进可测；证明可在每个固定 $[0,u]$ 用阶梯近似取得联合可测性。Lebesgue 微分定理逐样本给 $H_t^{(m)}\to H_t$ 对几乎所有 $t>0$ 成立；Tonelli 将例外集放到 $dt\otimes P$ 的零集中，有界 DCT 得 $L^p$ 收敛。

若这里用向前平均，就可能引入未来信息。靠“函数更平滑了”无法弥补这个错误。

固定 $m$ 后，取确定性网格，把 $H^{(m)}$ 替成左端点阶梯

$$
H^{(m,n)}_t
=\sum_jH^{(m)}_{t_j}\mathbf1_{(t_j,t_{j+1}]}(t).
$$

每个系数在 $t_j$ 已知。连续路径使网格逼近逐点成立，有界 DCT 给时空 $L^p$ 收敛。先选截断误差，再选平均误差，再选网格误差各小于 $1/(3n)$，作对角选择，便得到有界简单可预测 $H^n\to H$。所有时间端点的单点值都在 $dt$ 零集上，不影响范数。[^density]

<a id="qt16p1-terminal"></a>
## 二、终点的等距延拓

对简单过程，前一篇已证明线性、连续路径、鞅性质，以及

$$
E|I_T(H^n)-I_T(H^m)|^2
=\|H^n-H^m\|_{\mathcal H_T^2}^2.
$$

因此终点在 $L^2(P)$ 中是 Cauchy 列。其极限不依赖选用的简单逼近，因为对另一列 $G^n\to H$，右边换成 $\|H^n-G^n\|^2$ 仍趋于零。每个固定 $t$ 也可这样定义。

但“每个 $t$ 都有一个 $L^2$ 极限”没有把不可数个时点的零测例外统一起来。要得到连续过程，我们需要控制整个路径的最大差。

<a id="qt16p1-doob"></a>
## 三、完整推到 Doob 的常数 4

先取连续平方可积鞅 $M$，但只在一个包含 $T$ 的有限网格上看它。令 $X$ 为这个网格上 $|M|$ 的最大值。对 $\lambda>0$，把 $\{X\ge\lambda\}$ 按“首次达到阈值的网格时点”分成互斥事件 $A_j\in\mathcal F_{t_j}$。条件 Jensen 给

$$
\lambda P(A_j)
\le E[|M_{t_j}|\mathbf1_{A_j}]
\le E[|M_T|\mathbf1_{A_j}].
$$

求和后，$\lambda P(X\ge\lambda)\le E[|M_T|\mathbf1_{\{X\ge\lambda\}}]$。对 $\lambda\in[0,L]$ 积分并乘以 2，Tonelli 给

$$
\begin{aligned}
E[(X\wedge L)^2]
&\le2E[|M_T|(X\wedge L)]\\
&\le2\|M_T\|_2\|X\wedge L\|_2.
\end{aligned}
$$

若最后的范数为零，结论直接成立；否则除以它再平方。先让 $L\uparrow\infty$，再取嵌套有限网格穷尽稠密有理时点，由单调收敛及路径连续性，得到

$$
E\sup_{0\le t\le T}|M_t|^2\le4E|M_T|^2.
$$

这个证明只用有限个网格事件与条件期望，没有循环调用待构造积分的连续时间停止定理。

<a id="qt16p1-completion"></a>
## 四、把终点极限补成连续过程

令 $M^n=I(H^n)$。它们的差仍是连续平方可积鞅，故

$$
E\sup_{t\le T}|M_t^n-M_t^m|^2
\le4\|H^n-H^m\|_{\mathcal H_T^2}^2.
$$

选子列 $n_j$，使相邻差的 $L^2$ 最大范数不超过 $2^{-j}$。Cauchy–Schwarz 和 Tonelli 给

$$
E\sum_j\sup_{t\le T}|M_t^{n_{j+1}}-M_t^{n_j}|
\le\sum_j2^{-j}<\infty.
$$

因此几乎每条路径上的这串最大差可求和，子列一致收敛到连续函数。在例外零集上把整个路径置零；通常条件使这种修改仍适应。记极限为 $I(H)$。对固定 $n$，先在子列上取极限，再用 Fatou，有

$$
E\sup_{t\le T}|I_t(H)-M_t^n|^2
\le4\|H-H^n\|_{\mathcal H_T^2}^2\longrightarrow0.
$$

所以不仅子列，整列都收敛于路径最大均方范数。换一列逼近同样成立，两个连续极限的最大差均方为零，故不可分辨。

等距由固定时点 $L^2$ 极限保留。对 $s<t$，条件期望是 $L^2$ 压缩映射，因而

$$
E[I_t(H)\mid\mathcal F_s]
=\lim_n E[M_t^n\mid\mathcal F_s]
=\lim_n M_s^n=I_s(H).
$$

可积性、适应性已经得到，所以它确实是鞅。线性与零均值也由同一极限传递。我们没有用“终点存在”跳过过程性质。[^completion]

<a id="qt16p1-stopping"></a>
## 五、停止规则也要从简单对象传过去

对停时 $\tau\le T$，要证明的过程等式是

$$
I_{t\wedge\tau}(H)
=I_t(H\mathbf1_{(0,\tau]}),\qquad 0\le t\le T.
$$

先令 $\tau$ 只取某个有限网格上的值，$H$ 也是简单过程。把两个网格合并以后，在 $(u_j,u_{j+1}]$ 上“尚未停止”的事件是 $\{\tau\ge u_{j+1}\}=\{\tau>u_j\}\in\mathcal F_{u_j}$。因此截停后仍是简单可预测过程。直接相加增量，左右相等。

对一般 $\tau$，用上方网格停时 $\tau_m\downarrow\tau$，并保持 $\tau_m\le T$。对简单 $H$，积分路径连续保证左边逐样本收敛；右边的被积过程由 $|H|^2$ 控制，并在 $dt\otimes P$ 几乎处处收敛，所以其 $\mathcal H_T^2$ 距离趋于零。等距与最大估计将右边积分也传到极限。固定有理 $t$ 取共同满测度集合，再用连续性得到所有 $t$ 同时成立。

最后对一般 $H$ 取简单逼近 $H^n$。乘截停指标不会增大 $\mathcal H_T^2$ 距离；左边的误差被未停止过程的最大误差控制。于是两边再次在最大均方范数下传递。停止规则完整成立，而不只是一个符号约定。[^stop]

<a id="qt16p1-local"></a>
## 六、只有路径平方可积时，结论为什么弱一层

若 $H$ 渐进可测且 $A_T=\int_0^TH_s^2ds<\infty$ 几乎必然，但 $EA_T$ 可能无限，定义

$$
\tau_m=\inf\{t:A_t\ge m\}\wedge T.
$$

$A$ 连续适应，故这是停时；$H^{(m)}=H\mathbf1_{(0,\tau_m]}$ 的期望平方积分不超过 $m$。对 $m\le n$，停止规则说明 $I(H^{(m)})$ 与 $I(H^{(n)})$ 在 $[0,\tau_m]$ 上不可分辨。把可数个例外集合并，即可在交叠区拼接。

对几乎每条路径，$A_T$ 有限，故充分大的 $m$ 有 $\tau_m=T$；这个有限区间上的局部积分最终稳定，具有连续路径。停止后都是平方可积鞅，因此拼出的过程是连续局部鞅。没有新的全局矩条件，就不能把每个停止版本的零均值直接传给未停止极限。

<a id="qt16p1-exercise"></a>
## 迁移：两种等价类，两个不同量词

**题目。** 若 $H=G$ 仅在 $dt\otimes P$ 几乎处处意义下成立，证明它们的积分过程不可分辨。另令 $U$ 在 $(0,T)$ 均匀分布，比较 $X_t=\mathbf1_{\{U=t\}}$ 与 $Y_t=0$：为什么它们在每个固定时点几乎必然相等，却不可分辨？这是否与前面的结论矛盾？

**解析。** $\|H-G\|_{\mathcal H_T^2}=0$，等距给每个固定 $t$ 的积分差均方为零。先同时取所有有理 $t$ 的满测度集合，再由两个积分的连续性得到所有时点相等。也可直接用最大估计得到相同结论。

对第二个例子，每个确定 $t$ 有 $P(U=t)=0$；可是每个样本在随机时点 $t=U$ 都出现一个尖点，故“所有 $t$ 都相等”的概率为零。$X$ 没有连续路径，这正是共同稠密时点不能补全的原因。它不否定积分构造，因为构造明确选取连续版本。

<div data-experiment-slot="VIEW-QT16-P1-PROOF"></div>

证明图只标注每一步用到的条件。选择某条箭头时，应能回到本篇对应的不等式或逼近，而不是用高亮代替论证。

[^construction]: Lalley，[Notes on the Itô Calculus](https://www.stat.uchicago.edu/~lalley/Courses/385/Old/ItoIntegral-2012.pdf)，2012-05-15，§1.1–1.2 的渐进可测设置、§3.1–3.2 的简单积分与终点延拓。本文采用有限 $T$，并将被积过程等价类与连续积分版本分开。
[^density]: 同讲义 Lemmas 4–5，pp.3–4。向后平均与左阶梯逼近按此完整单元展开；“仅适应”不能替代联合可测性。
[^completion]: 同讲义 §2.1–2.2，pp.4–5，给出连续鞅空间完成的背景；本文独立写出所用 Doob 常数 4 和最大均方过程完成步骤。
[^stop]: 同讲义 §3.4–3.5，pp.12–13，停止与局部化。本文补齐简单情形、上方网格停时、一般被积过程三次传递，不使用未证明的连续鞅表示。


## Experiment inputs and static equivalents
```json
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    "id": "VIEW-QT16-P1-PROOF",
    "title": "积分构造的证明依赖",
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      "proof": "对应正文完整证明"
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    "result_attachment": {
      "uri": "https://ou-liu-red-sugar.github.io/notebook/labs/qt-ghi/static/QT16-P1.html#qt16p1-exercise",
      "kind": "complete_proof"
    }
  }
]
```

## Sources
- [Notes on the Itô Calculus](https://www.stat.uchicago.edu/~lalley/Courses/385/Old/ItoIntegral-2012.pdf): 渐进可测密度、简单积分等距、延拓、停止、局部化与一维 Itô 公式。p.8 下标和 p.19 漂移步长按正确推导采用；Doob 强 L2 估计及一般系数传递在本站完整展开。

## Content relations
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