# 鞅与有限时点停止
用完整条件有界停止证明区分可实施停时、事后规则与无限停止的尾部问题。
Entry: zh-qt08 | Node: QT08 | Language: zh | Editorial revision: 2026-09-21
## Teaching instructions
你是 QT08《鞅与有限时点停止》的数学助教。面向有微积分、线性代数与基本概率背景的高年级本科或研究生。
先实际取得并读完 required_readings 中 MIT Lecture 25 的指定完整单元，记录版本、页/节、条件与读取失败；文件入口或摘要不算全文。若本次无法取得原件，须如实说明读取缺口，不能用 supplied_inputs 或编辑概述冒充原证明。阅读成功后的课堂运行才填写 runtime_reading_log，本导出中保持空。
本次诊断与推演：先让读者用UUDDDDDD/UDDDDDDD判断事后最大值是否停时；随后独立证明可积性、F_sigma可测性、系数事件和积分身份。用无限首次反面例要求算尾期望，而非只说条件不满足。
先让读者独立作答，再逐步反馈，最后换一个条件做迁移。反馈标准：通过须能说出每个条件在哪一步使用，并独立完成L2平方分解迁移；不能以256路径穷举代替一般证明。
严格区分已证结论、引用定理、教学模型与算术验证；有限枚举不是一般证明。只使用 supplied_inputs 中 QT08 的两类教学输入：八步有限公平抛币实验与另一个无限公平抛币反例。两者是独立概率模型，不合并样本空间，也不引入 EXP-STATE-01 市场输入。不采用原件已说明的排印错误。界面只展示当前视图，静态默认表与题解同样可完成任务。
结束时问：读者只读完这个词条，真的能学明白吗？请用其独立完成的证明或计算回答，给具体缺口，不以复述结论代替理解。
Before substantive teaching, actually retrieve every required reading unit for the selected scope. Read its complete designated section, including necessary assumptions, tables and footnotes. A working URL or an editorial access date is not a runtime reading receipt. Record the actual version, location, scope and what it supports. If unavailable, use a previously verified equivalent source; if the required unit remains unavailable, identify that gap rather than teach it from memory. Start runtime_reading_log empty. Once reading is complete, use a substantive diagnostic or follow the reader's request for direct explanation. Advance one complete reasoning task at a time; skip mastered basics. Distinguish original facts, supplied teaching assumptions and inference.
## Required readings and runtime protocol
```json
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"Yury Polyanskiy",
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-1,
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1,
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"default_summary": {
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{
"prefix": "U",
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},
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"exact": "1",
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}
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},
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}
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"exact": "1/8",
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"exact": "1/8",
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{
"prefix": "DUU",
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"exact": "1/8",
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{
"N": 1,
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},
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{
"N": 2,
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"exact": "1",
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{
"N": 4,
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},
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"decimal": 1.0
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}
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{
"N": 16,
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"decimal": 1.0
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{
"N": 32,
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"full_enumeration_attachment": {
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"scope": "完整256路径及逐路径sigma/tau/M值；扩展核验用，不在Agent内联重复。",
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"title": "本篇完整静态阅读",
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{
"title": "有限八步实验全部路径与信息原子",
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"title": "同包默认精确计算",
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}
```
## Supplied entry
我们已经会在一个时点按已有信息取条件平均。现在让信息随时间增加：每次重新预测，得到一串条件平均。鞅描述的正是这串数之间的一致性；停时则描述什么时候能够根据已经到来的信息作出“到这里为止”的决定。两者合在一起，才能精确回答“改一个退出规则，条件平均会不会改变”。
这一单元的目标是重建两个有界停时之间的条件等式，并找出无限停止反例失去的条件。先修只用条件期望、可积性和事件的可测性，不需要连续时间随机积分。
## 1. 鞅比较的是条件平均，不是每条路径的走势
令 $(\Omega,\mathcal F,P)$ 为概率空间，$(\mathcal F_k)_{k\ge0}$ 为滤过，即随时间增加的子 $\sigma$-代数。实值过程 $M=(M_k)$ 是相对于这个滤过和概率 $P$ 的鞅，是指每个 $M_k$ 都是 $\mathcal F_k$ 可测、$E_P|M_k|<\infty$，并且
$$
E_P[M_k\mid\mathcal F_{k-1}]=M_{k-1},\qquad k\ge1.
$$
可测性要求当前值已经可知；可积性让条件平均有定义；最后一项说，在昨日的信息下，今天数值的条件平均恰好等于昨日值。这不要求路径平坦，也不要求相邻增量独立。下文未加下标的期望都在 $P$ 下取。定义与以下 Doob 构造可对照 MIT Lecture 25 §1。[^mit-definition]
例如固定一个 $X\in L^1$，令 $M_k=E[X\mid\mathcal F_k]$。条件期望本身可测，而且 $E|M_k|\le E|X|$。对嵌套信息再用塔式性质：
$$
E[M_k\mid\mathcal F_{k-1}]
=E[E[X\mid\mathcal F_k]\mid\mathcal F_{k-1}]
=M_{k-1}.
$$
于是它确实是鞅。这个例子也说明为什么一定要注明滤过：提前告诉你未来结果后，原来“条件均值为零”的增量可能已能确定正负。无条件等式 $E[M_k]=E[M_0]$ 只是鞅的推论，单凭它反过来不能识别鞅。
金融连接也在这里：一项价格过程在研究概率 $P$ 下是否为鞅，需要模型或证据；有限无套利市场中出现的是另一概率 $Q$ 下的贴现价格鞅。不能把两句互换。这里先把数学结论在指定概率下讲清。
## 2. 停时与停止后的信息
随机时间 $\tau:\Omega\to\{0,1,\ldots\}\cup\{\infty\}$ 是停时，是指 $\{\tau\le k\}\in\mathcal F_k$ 对每个 $k$ 成立。换句话说，到了 $k$，可以判断是否已经停止；它不要求在起点就知道最后会在哪天停。离散时间中，这等价于每个 $\{\tau=k\}\in\mathcal F_k$。[^mit-stopping]
首次达到某个已知阈值就是例子。相反，“在整条路径的最高点第一次出现时退出”通常不是停时：要确认眼前是否为全路径最高点，还需要知道以后会不会更高。
停下时知道的事件组成
$$
\mathcal F_\tau
=\{A\in\mathcal F:A\cap\{\tau\le k\}\in\mathcal F_k
\text{ 对每个 }k\text{ 成立}\}.
$$
这确实是 $\sigma$-代数：与 $\{\tau\le k\}$ 相交后，补集变成相对于该事件的差集，可数并仍是可数并。对有界 $\tau\le N$，若 $D\subseteq\mathbb R$ 为 Borel 集，则
$$
\{M_\tau\in D\}\cap\{\tau\le n\}
=\bigcup_{j=0}^{\min(n,N)}
\bigl(\{\tau=j\}\cap\{M_j\in D\}\bigr).
$$
每一项属于 $\mathcal F_n$，所以 $M_\tau$ 是 $\mathcal F_\tau$ 可测。这个小推导很重要：后面要把 $M_\sigma$ 认作一个条件期望，不能只验证它“看上去是到时可知的”。
先看停止过程 $Y_k=M_{k\wedge\tau}$。它适应，而且 $|Y_k|\le\sum_{j=0}^k|M_j|$，所以可积。它的增量为
$$
Y_k-Y_{k-1}
=\mathbf1_{\{\tau\ge k\}}(M_k-M_{k-1}).
$$
由于 $\{\tau\ge k\}=\{\tau\le k-1\}^{c}\in\mathcal F_{k-1}$，对昨日信息取条件期望得到零。因此 $Y$ 仍为鞅。这只证明每个有限 $k$ 的性质；还没有允许把 $k$ 直接换成无穷大。
## 3. 条件有界停止：把证明做完
命题（条件有界可选抽样）。设 $M_0,\ldots,M_N$ 是可积鞅，$\sigma,\tau$ 是取值于 $\{0,\ldots,N\}$ 的停时，且 $\sigma\le\tau$。则
$$
E[M_\tau\mid\mathcal F_\sigma]=M_\sigma.
$$
特别地，$E[M_\tau]=E[M_\sigma]=E[M_0]$。这里 $N$ 是确定的共同上界，概率空间本身不必有限。以下直接用增量和条件期望的积分刻画证明；MIT §3 提供停止定理及有界特例的背景。[^mit-stopping]
证明。首先，$|M_\sigma|,|M_\tau|\le\sum_{j=0}^N|M_j|$，两者可积；上一节已证明 $M_\sigma$ 对 $\mathcal F_\sigma$ 可测。剩下的任务是对每个 $A\in\mathcal F_\sigma$ 验证积分相同。
对每条路径，区间 $(\sigma,\tau]$ 上的增量恰好拼出
$$
M_\tau-M_\sigma
=\sum_{k=1}^N
\mathbf1_{\{\sigma
## 4. 在信息分组内复算，而不只看总均值
取八次独立公平的 $\pm1$ 增量，$M_0=0$，每条完整路径概率为 $1/256$。取由前 $k$ 次增量生成的自然滤过 $\mathcal F_k$。以 U 表示 $+1$，D 表示 $-1$。令 $\sigma$ 为首次到达 $+1$、最晚在 3 停止；令 $\tau$ 为首次到达 $+2$、最晚在 8 停止。若达到 $+2$，此前必已经过 $+1$；否则截断规则也保证 $\sigma\le\tau$。
停止后当前信息不是 256 个完整结果，而是下列五个前缀。对每组只平均仍可能发生的未来路径：
| 停止时已知前缀 | $\sigma$ | 完整路径数 | $M_\sigma$ | 组内 $M_\tau$ 平均 |
|---|---|---|---|---|
| U | 1 | 128 | 1 | $1$ |
| DDD | 3 | 32 | -3 | $-3$ |
| DDU | 3 | 32 | -1 | $-1$ |
| DUD | 3 | 32 | -1 | $-1$ |
| DUU | 3 | 32 | 1 | $1$ |
例如观察到 DDD 时，已经知道 $M_\sigma=-3$。继续按 $\tau$ 的规则运行，这个组内 $M_\tau$ 的平均仍是 $-3$，不是总体平均零。条件定理比“256 条路径总平均为零”多保留了这一层信息。
实验可以选择一条完整路径，再回到它在 $\sigma$ 时所属的分组。随后切换“事后最高点”作对照：八步路径最大值的平均为 $\frac{467}{256}\approx1.82421875$。不是停止定理被打破，而是规则不再只使用当时信息。
## 5. 真的最终会停止，也未必能交换极限与期望
现在另开一个无限公平抛币空间，不再使用刚才的 256 条路径。令
$$
Z_n=2^n\mathbf1_{\{\text{前 }n\text{ 次全为正面}\}},\qquad Z_0=1,
$$
并令 $\tau$ 为首次反面出现的次数。在尚未出现反面时，下一步以各 $1/2$ 的概率加倍或归零；已归零后保持零。因此 $Z$ 是非负可积鞅，且 $E[Z_n]=1$。
这里 $P(\tau=n)=2^{-n}$，所以 $P(\tau<\infty)=1$，而
$$
E[\tau]=\sum_{n=0}^{\infty}P(\tau>n)
=\sum_{n=0}^{\infty}2^{-n}=2.
$$
但一旦反面出现，$Z_\tau=0$。对于每个确定 $N$，却有
$$
Z_{\tau\wedge N}=2^N\mathbf1_{\{\tau>N\}},
\qquad E[Z_{\tau\wedge N}]=1.
$$
有限截断一直符合定理；逐路径极限也确实为零。失效的是从逐路径极限跳到期望极限。
一族可积变量 $(Y_n)$ 一致可积，是指
$$
\lim_{K\to\infty}\sup_n
E[|Y_n|\mathbf1_{\{|Y_n|>K\}}]=0.
$$
对这里的停止族，任给 $K$，选 $2^N>K$，尾部期望仍等于 $2^N2^{-N}=1$。少数幸存路径的数值越来越大，恰好抵消其概率越来越小；尾部没有一致消失。MIT 给出一致可积鞅的无限停时延伸，我们在这里只用该定义精确诊断反例，不把 $E\tau<\infty$ 单独当作延伸定理。[^mit-ui]
## 6. 迁移：判断规则，检查条件，区分平均与风险
问题一。比较两条路径 UUDDDDDD 和 UDDDDDDD。它们在时点 1 的信息相同。若 $\rho$ 为全路径最大值第一次出现的时间，$\{\rho\le1\}$ 能在时点 1 判定吗？
解析。第一条的最大值 2 在时点 2 首次达到；第二条的最大值 1 在时点 1 首次达到。因此同一时点 1 的信息组内，事件 $\{\rho\le1\}$ 一真一假，不属于 $\mathcal F_1$，$\rho$ 不是停时。这个反证不依赖计算最大值的总体平均。
问题二。额外假设 $M_0,\ldots,M_N\in L^2$。是否还能说 $E[M_\tau^2]=E[M_\sigma^2]$？请由本篇定理推导正确关系。
解析。先由有限上界得到 $M_\sigma,M_\tau\in L^2$。条件等式给 $E[M_\tau-M_\sigma\mid\mathcal F_\sigma]=0$，从而交叉项期望为零。展开平方得
$$
E[M_\tau^2]
=E[M_\sigma^2]+E[(M_\tau-M_\sigma)^2]
\ge E[M_\sigma^2].
$$
乘 $M_\sigma$ 的操作可先对它截断，再用 Cauchy–Schwarz 过极限；不是无条件提出一个任意不可积系数。八步例中
$$
E[M_\tau^2]=\frac{187}{32},\qquad
E[M_\sigma^2]=2,\qquad
E[(M_\tau-M_\sigma)^2]=\frac{123}{32},
$$
也正好满足这个分解。平均不变并不等于继续等待不增加风险。
问题三。无限首次反面反例同时有 $E\tau=2$。为什么 MIT 的“有限期望停时”判据仍未适用？
解析。那个充分条件还要求 $E[|Z_n-Z_{n-1}|\mid\mathcal F_{n-1}]$ 被同一个常数控制。这里该条件期望等于 $Z_{n-1}$；在连续正面的路径上，它随 $n$ 增大，没有统一常数界。遗漏的条件和不一致可积的尾部现象是相容的。
[^mit-definition]: Yury Polyanskiy / MIT Class Participants, [Lecture 25: Martingales I](https://ocw.mit.edu/courses/6-436j-fundamentals-of-probability-fall-2018/d734a5f3c245eef581b2937b53d8e6dd_MIT6_436JF18_lec25.pdf#page=2), Fall 2018，§1，PDF pp.2–4。采用定义和 Doob 构造；一般首次越界会自动有界的旁述不作为命题。
[^mit-stopping]: 同讲义 §3，PDF pp.6–9。本文给出两停时条件版本的完整增量证明；不沿用 pp.6–7 停止和式中旧值下标的排印错误。
[^mit-ui]: 同讲义 Proposition 1，p.7；Theorem 3 及证明，pp.8–9。无限空间反例与八步有限实验分别建模。
## Experiment inputs and static equivalents
```json
[
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"title": "鞅与有限时点停止：计算视图",
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```
## Sources
- [Lecture 25: Martingales I](https://ocw.mit.edu/courses/6-436j-fundamentals-of-probability-fall-2018/d734a5f3c245eef581b2937b53d8e6dd_MIT6_436JF18_lec25.pdf): 鞅定义、Doob构造、停时、停止过程、有界停止背景及UI延伸。本文两停时条件定理用完整增量证明；不采用股票在现实P下必为鞅的旁述。
## Content relations
```json
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"relation": "part_of",
"to": "quant-processes",
"reason": "主要 topic 归属"
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"to": "EXP-QT08-STOP-01",
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"reason": "本证明实际调用的局部能力。",
"required_competence": "条件期望的可测性、可积性、积分刻画与塔式性质。"
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"from": "qt08-definition",
"relation": "supported_by",
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"reason": "本段已著明脚注的定义、条件或证明单元；例题数字由具名教学输入提供。",
"locator": "Yury Polyanskiy / MIT Class Participants, [Lecture 25: Martingales I](https://ocw.mit.edu/courses/6-436j-fundamentals-of-probability-fall-2018/d734a5f3c245eef581b2937b53d8e6dd_MIT6_436JF18_lec25.pdf#page=2), Fall 2018，§1，PDF pp.2–4。采用定义和 Doob 构造；一般首次越界会自动有界的旁述不作为命题。",
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"mit-definition"
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"to": "QTF-MIT25",
"reason": "本段已著明脚注的定义、条件或证明单元；例题数字由具名教学输入提供。",
"locator": "同讲义 §3，PDF pp.6–9。本文给出两停时条件版本的完整增量证明；不沿用 pp.6–7 停止和式中旧值下标的排印错误。",
"scope": "沿本段原脚注的采用范围和勘误说明，不扩充为原件全部结论。",
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"to": "QTF-MIT25",
"reason": "本段已著明脚注的定义、条件或证明单元；例题数字由具名教学输入提供。",
"locator": "同讲义 §3，PDF pp.6–9。本文给出两停时条件版本的完整增量证明；不沿用 pp.6–7 停止和式中旧值下标的排印错误。",
"scope": "沿本段原脚注的采用范围和勘误说明，不扩充为原件全部结论。",
"citation_labels": [
"mit-stopping"
]
},
{
"from": "qt08-infinite",
"relation": "supported_by",
"to": "QTF-MIT25",
"reason": "本段已著明脚注的定义、条件或证明单元；例题数字由具名教学输入提供。",
"locator": "同讲义 Proposition 1，p.7；Theorem 3 及证明，pp.8–9。无限空间反例与八步有限实验分别建模。",
"scope": "沿本段原脚注的采用范围和勘误说明，不扩充为原件全部结论。",
"citation_labels": [
"mit-ui"
]
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