# 风险、损失与情景
说明终点损失、路径回撤、尾部严重程度和支付缺口分别测量什么，并补出遗漏的压力检查。
Entry: zh-p03 | Node: P03 | Language: zh | Editorial revision: 2026-09-21
## Teaching instructions
你负责P03“风险、损失与情景”。先询问或采用默认路径分支，然后实际读取本包指定的MIT及FSB原文；选择尾部分支后再实际读取Acerbi–Tasche的定义单元、Proposition3.2证明与式(3.3)。PDF中的公式和图表必须查看原页。运行日志记录版本、取得范围、利润/损失符号、概率口径和所支持的教学任务，不预填已读状态。
首先让学习者解释“年底盈利，但下个月付不出钱”是否矛盾。熟练者不再反复诊断基础概率，直接推演两条资产路径。每次加入提款都先改变份额，再算终财富；要求分别展示单位价格回撤和所有者现金。没有额外融资时不能把支付缺口延续成负份额。
尾部分支先写明本篇的分位点定义和置信水平，再让学习者从最坏5%的质量组成计算ES。原论文用利润低尾，不得直接照搬符号；用等于分位点的离散概率检验其理解。若其把ES写成条件平均，让其明确该条件取了百分之几的结果。
最后用本篇迁移题检验是否能指出指标遗漏的对象，并给完整解析。不得凭价格图宣布永久损失、凭给定分布宣布概率已校准，或把FSB报告的历史事件说成当前账户实况。原文读取失败先补可读的机构/作者原件；仍缺的单元明确暂停其来源依赖，不凭摘要完成一场“已读全文”的教学。
Before substantive teaching, actually retrieve every required reading unit for the selected scope. Read its complete designated section, including necessary assumptions, tables and footnotes. A working URL or an editorial access date is not a runtime reading receipt. Record the actual version, location, scope and what it supports. If unavailable, use a previously verified equivalent source; if the required unit remains unavailable, identify that gap rather than teach it from memory. Start runtime_reading_log empty. Once reading is complete, use a substantive diagnostic or follow the reader's request for direct explanation. Advance one complete reasoning task at a time; skip mastered basics. Distinguish original facts, supplied teaching assumptions and inference.
## Required readings and runtime protocol
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"reading_protocol": "1. **确认当前学习范围。** 使用所选分支及本篇正文；先修仅诊断本篇确实需要的内容。识别必读材料，选读材料只有被采用时才转成对应问题的必读。\n2. **实际获取。** 用浏览/文件读取工具打开指定 URL 或随包文件。核对返回的标题/版本/范围，发现只有摘要、登录页、目录或文件清单时如实记录，继续找明确可读的正文入口。\n3. **完整读取所需单元。** 分页或分块读取到所需单元结束，包含前文约定、必要表图和脚注。PDF 符号或图表解析不可靠时查看原页；TeX 读取相关宏定义与 include 文件。不能只看搜索命中的几行。\n4. **形成简短内容对应。** 每项记录实际位置、读到的关键设定和它支持哪一步教学。例如“§5.10 的训练集仅含当前预测点之前的观测；该限制需要落实到预处理拟合，不仅是分割最终数据表”。后半句若为本站推论须标为推论。\n5. **满足后才开始该范围的实质教学。** 所有当前必读单元读完之后，基于材料给一项高密度诊断任务或按读者要求直接讲解。引用跟着对应命题或计算，不在末尾堆书名。\n6. **读取失败时自动处理缺口。** 先尝试指定的可读等价版本或作者/机构正式全文，不新造批准步骤。等价性包括版本、条款期间、定义和假设；新的替代来源实际读完后记录采用范围。仍缺失则说明具体缺少哪一个必读单元及原因，不凭训练记忆补成已读讲解，不宣称已完成本篇。\n\n“读取校验”依赖实际取得的内容及其位置、与教学相关的设定复述；不靠让模型报一句“我已阅读”，不引入无意义哈希或重复下载。它不能从技术上保证理解，但能让来源与使用之间可检查。",
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```
## Supplied entry
假设两项投资从100出发，最后都剩96。我们已经知道它们的终点回报相同，却还不知道过程中有没有跌到无法继续持有，也不知道中途要付款的人能否按时拿到钱。只报“亏了4%”并没有把经历说完。
本篇不把风险压成一个越低越好的分数。我们先说明几个度量各自看到了什么，再沿一条完整路径检查它们遗漏的东西。读完共同部分后，可以继续做“提款与支付”分支；希望进一步理解尾部指标的读者，也可以选择“离散分布”分支。第一次阅读不必同时完成所有扩展。
## 一、先确定哪一种结果不符合任务
风险总是相对于一个对象和一段时间来讨论的。对没有中途收付的投资，初始价值为 $V_0$、终点财富为 $V_T$，可定义货币损失 $L=V_0-V_T$。这里 $L$ 是带符号的：盈利时可以为负。若任务是到期必须支付 $K$，更直接的量则是资金不足额 $(K-V_T)^+$，其中 $x^+=\max(x,0)$。
这两个对象不一样。初始100、终点105，没有相对本金的亏损，但若到期必须支付110，仍有5的缺口。反过来，某项资产市价下降也不自动说明当前就付不出款：支付日期、可变现金额和其他资金来源还要另查。我们既不把所有价格下跌叫作破产，也不把账面净资产为正叫作流动性充分。
“永久损失”还需要更强的判断。已经消失的现金权利、被迫出售后不再持有的份额，和暂时较低的报价，不是同一回事。仅凭一条价格曲线，无法证明未来一定恢复，也无法证明永远不恢复。需要研究的是资产权利、经营或偿付能力，以及持有者是否还能等到未来。价格路径给出发生了什么，不能独自完成这类判断。
## 二、分布和路径回答不同的问题
令未来回报为随机变量 $R$，当二阶矩有限时，波动率是 $\sigma=\sqrt{\mathbb E[(R-\mathbb ER)^2]}$。它衡量回报围绕平均值的离散程度；同样大小的向上、向下偏离都会进入平方项。均值和方差可以帮助比较，但没有把支出期限、最坏损失或结果分布的全部形状装进去。MIT 的组合讲义用这一结构建立风险分析；本篇只使用这些定义，不假设正态分布，也不从两次观测估计可靠的未来波动率。[^mit]
一份分布描述指定时点的不同可能结果；一条路径描述同一个实现怎样一步步到达终点。即使终点分布相同，中途最低点、支付时点和退出条件也可能不同。我们现在用两条**明确虚构、没有外部现金流的单位资产路径**把区别算出来。
| 观察时点 | A的单位价值 | B的单位价值 |
|---|---:|---:|
| 起点 | 100 | 100 |
| 中间 | 120 | 60 |
| 终点 | 96 | 96 |
两条路径终点回报都是−4%。要衡量路径上从已达到的高点跌下来多少，令
$$
H_t=\max_{u\leq t}W_u,\qquad D_t=1-\frac{W_t}{H_t},
\qquad \mathrm{MDD}=\max_tD_t,
$$
其中 $W_t$ 是正的单位财富指数，或已剔除外部出入金影响的财富序列。$H_t$ 只用截至当时已经发生的高点，不能把未来高点拿回去计算今天的回撤。
A的运行高点为100、120、120，回撤为0、0、20%；B的运行高点一直为100，回撤为0、40%、4%。因此最大回撤分别为20%和40%。这里的“最大”只覆盖给定观察点；若实际两个观察点之间跌得更深，这张离散表没有记录到，不能宣称它给出了连续时间内的最大回撤。
这些数字没有给出未来回撤的概率，更不是把20%或40%保证成以后不会突破的上界。它们完成的是对这两条既定路径的描述。
## 三、路径分支：同一个提款要求，为什么改变了结果？
现在加入一个所有者的任务：初始买入一单位资产，中途必须取出50，卖出部分资产取得现金；无费用、无分红，取走的钱不再投资。这里要重算份额，不能在原路径上画一个提款箭头，却仍把期末财富留作96。
中途单位价格为 $P_m$ 时，卖出份额为 $50/P_m$，剩余 $1-50/P_m$；终点组合价值为
$$
V_T=\left(1-\frac{50}{P_m}\right)\times96.
$$
| 结果 | A：中途价格120 | B：中途价格60 |
|---|---:|---:|
| 为取得50而卖出的份额 | $5/12$ | $5/6$ |
| 剩余份额 | $7/12$ | $1/6$ |
| 终点组合价值 | 56 | 16 |
| 已支付50加终点财富 | 106 | 66 |
| 若终点还需40，资金缺口 | 0 | 24 |
B后来从60恢复到96，但所有者已经卖出了六分之五的份额，后来的上涨只能作用于剩下的一小部分。**资产后来恢复，不等于已经提款或被迫退出的人恢复到同一种财富状态。** 这不是另加一个神秘的“顺序风险折扣”，而是每次卖出多少份额的算术。
106和66只是把未再投资的提款加回后的总金额，不是已经年化的回报。若要比较日期现金的等效回报，应使用上一篇的完整现金路径。单位资产的原始最大回撤仍是20%和40%；不能直接对含提款的账户余额计算回撤，再把所有者自己取走的钱算成市场亏损。
这里还能检查支付能力。若把中途提款改为70，A可以出售 $70/120$ 份取得资金，B却只有60的总价值。没有另外的借款或出资安排时，B当场短缺10，不能让份额变成负数后假装已经完成支付。这时路径分析的重点不再是终点回报，而是支付条件已经先失效。
## 四、从教学路径回到真实资金压力
真实风险并不只来自卖出时价格较低。资产的收益可能以后才能收回，而另一条腿的现金支付今天就到期。FSB于2024年发布的流动性准备报告，分析了若干历史保证金与抵押压力事件；对2022年英国负债驱动投资（LDI）基金事件的讨论还涉及杠杆、现金准备和治理流程对补充抵押品速度的影响。它支持我们检查兑现时间和可动用资源，但不是本篇教学数字的来源，也没有提供某个账户的逐笔重建。[^fsb]
把机制压成一组另外的教学条件：一项资产未来的可收款增加10，与之相关的另一条腿今天需要付10，今天手头现金只有6。合起来的经济价值变动可以接近抵消，但今天仍缺4。假设“未来的10已经在账上，所以现在不缺钱”，相当于未经核实就给了一个即时、无成本融资渠道。
在这类安排中，参与者可能按合同被要求补交用于保障履约的资金或资产。保证金或抵押安排可能降低交易对手面对的信用损失，却同时使持仓者必须及时调来现金。这两个作用并不矛盾。于是压力检查至少要同时保留：资产价格怎么变、现金什么时候到、哪些资产能以什么成本变现、承诺资金是否附条件，以及谁能在支付期限前批准和完成转移。FSB的压力测试建议特别关注这类历史与假设情景、资金来源及变现约束。[^fsb]
现在回头看“波动率低”的说法：即使某个终点回报比较稳定，也不能据此跳过付款时点。这正是下一阶段融资与组合实施要接着研究的部分。本篇先把两种结果分清，不提前给出统一的现金缓冲倍数。
## 五、尾部分支：VaR和ES究竟取了哪些结果？
这一节改用一个给定概率模型，不再使用刚才的路径作为概率样本。全部损失及概率都是**教学输入**：
| 一期货币损失 $L$ | 0 | 10 | 100 |
|---|---:|---:|---:|
| 概率 | 0.94 | 0.05 | 0.01 |
采用置信水平 $c\in(0,1)$，分布函数 $F_L(\ell)=\Pr(L\leq\ell)$，本篇固定定义
$$
q_c=\inf\{\ell:F_L(\ell)\geq c\},
\qquad \mathrm{VaR}_c(L)=q_c.
$$
因此95%的VaR为10：损失不超过0的概率只有94%，不超过10的概率达到99%。VaR是一个分位点，不是“最坏情况下只损失10”，也不要求严格超过它的概率恰好为5%。本例严格超过10的概率只有1%。
期望短缺ES取的是最坏 $1-c$ 比例结果中的平均损失。在 $\mathbb E|L|<\infty$ 时，使用分位数积分定义
$$
\mathrm{ES}_c(L)=\frac{1}{1-c}\int_c^1q_u\,du.
$$
离散分布在阈值处可能有一整块概率质量，而尾部只需要其中一部分。Acerbi与Tasche特别分析了这种区别；原文用利润的低尾和尾部概率，本篇改用正向损失的高尾及置信水平，并明确采用上面的分位点约定。[^es]
本例的最坏5%包含全部1%的损失100，还需要从损失10的5%中取4%。所以
$$
\mathrm{ES}_{0.95}
=\frac{0.01\times100+0.04\times10}{0.05}=28.
$$
这里“取4%”不是声称同一个结果只有四分之一发生，而是把位于同一损失值上的概率质量分配到固定大小的尾部。只要损失相同，如何区分那一档里的个别状态不会影响平均值。
这一推导也给出可直接计算的有限分布公式。按上面的左连续分位点约定，若阈值为 $q_c$，就有
$F_L(q_c^-)q_c\}}]
+q_c\big(F_L(q_c)-c\big)}{1-c}.
$$
不能不加条件地用 $\mathbb E[L\mid L\geq q_c]$ 替代。本例后者用了全部6%的损失10和100，得到25；若用严格大于阈值的条件平均，又只剩1%，得到100。两者都不是我们定义的最坏5%平均28。
最后把最严重损失由100改成200，概率保持不变。95%VaR仍为10，ES却升到48。这说明两者关注不同：一个定位尾部入口，一个继续考察尾部的严重程度。但ES也没有自动解决时间、支付和概率依据的问题。算得再精确，也只是对给定分布的传播；它不能替我们证明1%这个概率合理。
## 六、练习与完整解析
路径分支做前两题即可；尾部分支做第一题和第三题。完整答案保留在这里，便于自学核对。
### 练习一：高回报与支付不足可以同时出现吗？
初始资金100，一年末资产为110，但第一个月必须付30；在该月不能出售或质押资产，也没有其他现金或已落实融资。有人说年度回报10%，所以这项投资没有风险。指出其混淆了什么。
**解析。** 相对于本金的年度损失为−10，即盈利；但第一个月的支付资源是0，现金缺口为30。两个数字测量不同对象、不同日期。不能从未来财富推导当前可付款，也不能仅因现金短缺就把全年回报改写为负数。要修复任务，需要改变持仓或资金安排，或者修改支付日期；需要新的可行条件，而不是换一个风险指标。
### 练习二：提款改为70，终点不再相同
沿第三节两条路径，把中途提款改成70。求A的终点组合价值，解释B为什么不能照套公式。再说明比较原始资产回撤与比较所有者剩余财富应使用哪两张表。
**解析。** A剩 $1-70/120=5/12$ 份，终点价值 $96\times5/12=40$。B中途总资产60，无法支付70，缺10；计算出负的剩余份额会暗中加入做空或借款，这不属于给定安排，应停止“已完成提款”的结果展示。
原始单位资产表用于比较价格路径与现金流调整后的回撤；所有者表则列出售份额、收到的现金及剩余财富。两张表可以一起分析，但不能用账户提款造成的余额下降冒充资产本身下跌。
### 练习三〔尾部〕：把置信水平提高到99%
在损失0、10、100及原概率下，求99%VaR与ES，再求99.5%的结果。为什么99%时VaR仍是10？
**解析。** $F_L(10)=0.99$，按本篇的 $\inf\{\ell:F_L(\ell)\geq c\}$ 约定，99%分位点仍为10。最坏1%完全由损失100组成，所以99%ES为100。置信水平99.5%已经超过0.99，分位点变为100，最坏0.5%取自该损失档，ES同样为100。积分中单个端点不改变面积，但VaR的端点约定会改变离散分布边界上的显示值；因此定义不能省略。
[^mit]: **P-R04a** — Andrew W. Lo, MIT 15.401 *Finance Theory I*, Fall 2008, Lecture13–14, “Risk Analytics and Portfolio Theory”，本篇采用slides9–11的收益分布和风险定义；原文：https://ocw.mit.edu/courses/15-401-finance-theory-i-fall-2008/dd628e151309a7f23962b1a31b9356e5_MIT15_401F08_lec13.pdf 。路径及提款例由本篇设定并独立推导，不是讲义历史数据。
[^fsb]: **P-R06** — Financial Stability Board, *Liquidity Preparedness for Margin and Collateral Calls: Final Report*, 10 December 2024。实际引用§1.2（印刷pp.5–8，事件分析、调查与历史流动性脆弱性）及§3.2（pp.15–18，流动性压力与情景测试）。原文：https://www.fsb.org/uploads/P101224-1.pdf 。报告的历史材料不等于当前账户或具体合约的现金记录。
[^es]: **P-R08** — Carlo Acerbi and Dirk Tasche, *On the Coherence of Expected Shortfall*, arXiv cond-mat/0104295v5, 2 May 2002。定位：§2定义与设定，Proposition3.2及证明（印刷p.6），式(3.3)（p.7）。原文：https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0104295 。本篇只使用分位数积分和点质量处理；不声称复核了全文相干性定理。教学损失分布是本站设定。
## Additional teaching material
## 附录A｜精确交互与静态等价
### A1 路径与提款：`SIM-P03-PATH-01`
锁定单位价格路径 `A=[100,120,96]`、`B=[100,60,96]`，各初始持有1份；没有分红和费用。默认中途提款 `withdrawal=50`、终点支付任务 `target=40`。输入提款不得为负；两条路径分别检查可行性，不能只按A的上限限制B。
```text
running_peak[t] = max(price[0:t+1])
drawdown[t] = 1 - price[t]/running_peak[t]
mdd = max(drawdown)
payment_gap = max(0, withdrawal - price[1])
if payment_gap > 0:
remaining_units = null
terminal = null
status = "中途无法完成支付；不生成已执行终点"
else:
remaining_units = 1 - withdrawal/price[1]
terminal = remaining_units*price[2]
terminal_shortfall = max(0, target - terminal)
```
默认结果：A回撤20%、剩余7/12份、终点56、终点缺口0；B回撤40%、剩余1/6份、终点16、终点缺口24。提款70时，A终点40，B中途缺10、无可执行终点。提款恰等于中途总价值时，允许全部退出、剩余0，不计算之后未持有资产的投资收益。金额总和不标为年化收益率。
界面并列两块：不含资金流的单位价值/回撤，与实际份额/所有者现金。静态等价为第二、三节所有表格和练习二；现金提款必须改变持仓，不能让原始96沿用为实际终财富。
### A2 离散尾部：`SIM-P03-TAIL-01`
输入 `confidence=0.95`、`losses=[0,10,100]`、`probs=[0.94,0.05,0.01]`。可调整置信水平为`(0,1)`内的数、最严重损失为不低于10的数；默认不开放概率编辑，避免隐式归一化。相同损失点合并概率后计算。定义与正文完全相同。
```text
sort and aggregate equal loss values
cdf = cumulative sum(probs)
q = first loss with cdf >= confidence
mass_above = sum(prob where loss > q)
mass_at_q_used = (1-confidence) - mass_above
es = (sum(loss*prob where loss > q) + q*mass_at_q_used)/(1-confidence)
```
数值实现须对恰好等于累计概率的边界使用明确的浮点容差，不能把99%默认跳到下一档；展示时同时列出严格高于阈值的质量和补入的阈值质量。
| 静态配置 | VaR | ES | 被计入的尾部 |
|---|---:|---:|---|
| $c=0.95$，最大损失100 | 10 | 28 | 0.04在损失10，0.01在损失100 |
| $c=0.99$，最大损失100 | 10 | 100 | 0.01在损失100 |
| $c=0.995$，最大损失100 | 100 | 100 | 0.005在损失100 |
| $c=0.95$，最大损失200 | 10 | 48 | 0.04在损失10，0.01在损失200 |
用条形图的文字分段显示概率质量，但保留上表和公式作为打印/无脚本视图。不得把教学概率称为经验频率、公司的Bull/Base/Bear/Tail判断或风险中性概率。
## Experiment inputs and static equivalents
```json
[
{
"id": "SIM-P03-PATH-01",
"title": "提款路径",
"anchor": "p03-path-branch",
"description": "明确标注的教学参数及复算结果，与固定披露身份分开。",
"inputs": {
"A": [
100,
120,
96
],
"B": [
100,
60,
96
],
"withdrawal": 50,
"target": 40
},
"outputs": {
"A": {
"mdd": 0.19999999999999996,
"withdrawal": 50,
"payment_gap": 0,
"remaining_units": 0.5833333333333333,
"terminal": 55.99999999999999,
"terminal_shortfall": 0
},
"B": {
"mdd": 0.4,
"withdrawal": 50,
"payment_gap": 0,
"remaining_units": 0.16666666666666663,
"terminal": 15.999999999999996,
"terminal_shortfall": 24.000000000000004
},
"withdraw70_A": {
"mdd": 0.19999999999999996,
"withdrawal": 70,
"payment_gap": 0,
"remaining_units": 0.41666666666666663,
"terminal": 40.0,
"terminal_shortfall": 0
},
"withdraw70_B": {
"mdd": 0.4,
"withdrawal": 70,
"payment_gap": 10,
"remaining_units": null,
"terminal": null,
"terminal_shortfall": null
}
}
},
{
"id": "SIM-P03-TAIL-01",
"title": "离散尾部",
"anchor": "p03-tail-branch",
"description": "明确标注的教学参数及复算结果，与固定披露身份分开。",
"inputs": {
"losses": [
0,
10,
100
],
"probabilities": [
0.94,
0.05,
0.01
],
"confidence": 0.95
},
"outputs": {
"default": {
"confidence": 0.95,
"max_loss": 100,
"var": 10,
"es": 27.999999999999982,
"mass_above": 0.01,
"mass_at_q_used": 0.04000000000000004
},
"c99": {
"confidence": 0.99,
"max_loss": 100,
"var": 10,
"es": 99.99999999999991,
"mass_above": 0.01,
"mass_at_q_used": 8.673617379884035e-18
},
"c995": {
"confidence": 0.995,
"max_loss": 100,
"var": 100,
"es": 100.0,
"mass_above": 0,
"mass_at_q_used": 0.0050000000000000044
},
"max200": {
"confidence": 0.95,
"max_loss": 200,
"var": 10,
"es": 47.999999999999964,
"mass_above": 0.01,
"mass_at_q_used": 0.04000000000000004
},
"mean_loss": 1.5,
"conditional_ge_10": 25,
"conditional_gt_10": 100
}
}
]
```
## Sources
- [MIT 15.401, Lecture 13–14: Risk Analytics and Portfolio Theory](https://ocw.mit.edu/courses/15-401-finance-theory-i-fall-2008/dd628e151309a7f23962b1a31b9356e5_MIT15_401F08_lec13.pdf): 回报分布、固定权重、协方差与分散
- [Liquidity Preparedness for Margin and Collateral Calls: Final Report](https://www.fsb.org/uploads/P101224-1.pdf): 历史保证金/抵押现金压力与情景检查机制
- [On the Coherence of Expected Shortfall](https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0104295): 分位数积分、离散点质量处理
## Content relations
```json
[
{
"from": "zh-p03",
"relation": "part_of",
"to": "portfolio-objectives",
"reason": "主要 topic 归属"
},
{
"from": "zh-p03",
"relation": "requires",
"to": "p02-cash-boundary",
"reason": "避免把所有者提款误算为资产亏损",
"required_competence": "区分资产收益与外部出入金；同等能力可替代阅读",
"scope": "只需该局部定义，不锁定P02全篇"
},
{
"from": "p03-path-branch",
"relation": "illustrated_by",
"to": "SIM-P03-PATH-01",
"reason": "同终点资产路径在中途提款后产生不同实际财富"
},
{
"from": "p03-tail-branch",
"relation": "illustrated_by",
"to": "SIM-P03-TAIL-01",
"reason": "展示分位点原子质量与ES的部分质量处理"
},
{
"from": "p03-distribution-path",
"relation": "supported_by",
"to": "P-R04a",
"reason": "随机回报的均值与方差框架",
"scope": "slides 9–11"
},
{
"from": "p03-liquidity",
"relation": "supported_by",
"to": "P-R06",
"reason": "历史资金压力机制及压力检查范围",
"scope": "§1.2 pp.5–8；§3.2 pp.15–18"
},
{
"from": "p03-tail-branch",
"relation": "supported_by",
"to": "P-R08",
"reason": "离散分布的尾部平均需要处理分位点质量",
"scope": "§2；Proposition 3.2及证明；式(3.3)；本篇转为损失高尾记号"
}
]
```
## Related entries
## Optional reading path
做一次投资或对冲安排: step 3/9
用路径、回撤与尾部结果刻画具体风险。
将风险对象落到持仓与共同业务因素上。
Next: [风险敞口、相关性与分散](https://ou-liu-red-sugar.github.io/zh/notebook/exposures-correlation-diversification/)