数学、统计与计算方法 · 条件期望
从信息分组到积分与投影
保持一张四状态表，分别检查条件概率、可测性、条件平均和均方误差。积分面板另使用三个明确模型，不依赖四状态权重。
四状态情景、信号和概率全部是假设；只借用 SPX 每点 100 美元的支付约定。金额确定、实际现金交付与账户入账不是同一时点。这里不输出市场价格、收益率或可执行交易结果。
共用输入：一张合约的模型支付
| 状态 | 信号 | 结算值（点） | 模型概率 | 支付（美元） |
|---|---|---|---|---|
| ω1 | L | 5900 | 0.1 | 0 |
| ω2 | L | 6000 | 0.3 | 0 |
| ω3 | H | 6100 | 0.4 | 10000 |
| ω4 | H | 6200 | 0.2 | 20000 |
行权价 6,000 点；X=100×max(结算值−6,000,0)。先收到 L/H 信号，之后才知道合约结算值。上表显示默认输入；下方编辑只改变模型概率，各面板的分组选项互相独立。
QT05
选事件，再选条件
同一份联合分布中，选择一个事件和一个条件。先找分母，再比较交换条件前后的结果。
默认输入的静态核算
| P(T) | P(H) | P(T∩H) | P(T|H) | P(H|T) |
|---|---|---|---|---|
| 0.2 | 0.6 | 0.2 | 1/3 | 1 |
QT06
信息分组与条件平均
在同一支付变量上改变信息分组，逐组检查 M×P(组) 是否等于 X 在该组的加权总量。
默认输入的静态核算
| 信息组 | 概率 | 支付积分（美元） | 条件平均（美元） |
|---|---|---|---|
| L | 0.4 | 0 | 0 |
| H | 0.6 | 8,000 | 40,000/3 |
全期望：0.4×0 + 0.6×(40,000/3) = 8,000 美元。完整状态已知时条件期望等于 X。
QT09
信息能否辨认这个函数
可测性先看函数在每组是否恒定，而不是先看哪个组的概率很小。
默认输入的静态核算
| 信息 | 事件数 | (0,1,2,2) 可测？ |
|---|---|---|
| 平凡信息 | 2 | 否 |
| L/H | 4 | 否；L 组中取值不同 |
| 完整状态 | 16 | 是 |
零概率不会改变函数是否在每个信息组内恒定的检查。
QT10
积分、封顶与极限条件
下面三个模型各自固定：Pareto 封顶、尖峰序列、Uniform 简单函数。它们各自独立，不使用四状态概率。
默认输入的静态核算
| α | b | 完整均值 | 封顶均值 | 超阈值置零均值 |
|---|---|---|---|---|
| 1.5 | 100 | 3 | 2.8 | 2.7 |
| n | 尖峰高度 | 支撑长度 | 积分 | fₙ(0.02) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 1/2 | 1 | 2 |
| 10 | 10 | 1/10 | 1 | 10 |
| 100 | 100 | 1/100 | 1 | 0 |
二进简单函数：n=4 时积分 0.46875，极限 0.5。尖峰的逐点极限为零，但各项积分恒为一。
QT11
合法预测与正交误差分解
平方误差以美元²计。候选不依赖未来信息，才属于当前信息允许的比较集合。
默认输入的静态核算
| 量 | 精确值（美元²） | 近似值 |
|---|---|---|
| E[(X−M)²] | 40,000,000/3 | 13,333,333.33 |
| E[(M−Y)²] | 20,000,000/3 | 6,666,666.67 |
| E[(X−Y)²] | 20,000,000 | 20,000,000 |
Y=(0,0,10,000,10,000) 只用 L/H 信息，合法；Y=X 虽为零误差，却在 H 组有不同取值，因此不是该信息下的合法候选。
QT11-P1
两个密度与结果的正负部分
先分别平均 W 的正负部分，再相减；观察这两个平均与结果自身的正负部分为什么不同。
默认输入的静态核算
| 组 | U=E[W⁺|G] | V=E[W⁻|G] | M=U−V | M⁺ | M⁻ |
|---|---|---|---|---|---|
| L | 0 | 15,000 | −15,000 | 0 | 15,000 |
| H | 5,000/3 | 10,000/3 | −5,000/3 | 0 | 5,000/3 |
ν₊ 总量 1,000 美元，ν₋ 总量 8,000 美元，所以 E[W]=−7,000 美元。U、V 不是 M 的正负部分。