自动做市：沿报价曲线交换，怎样算实际得到多少

一、报价不一定来自一排买卖订单

订单簿告诉我们各价格上可成交的数量；自动做市也可以把可成交条件写进一条随库存移动的曲线。二者都要回答同一问题：我送入一笔确定数量，实际得到多少，成交后别人还面对什么价格？只读开头的边际价格，再乘整个数量，通常遗漏了自己的交易会改变库存这件事。

本篇采用Uniswap v3的集中流动性机制和固定v1.0.0代码作原件。它是一种有特定版本的机制，不把v3称为“最新协议”，也没有取得某个真实池的区块、tick或链上余额。下面的数值是连续实数教学例，用来把一次交换算完整；实际合约还有整数舍入、tick间距和结算条件。¹²³

二、真实库存与虚拟库存，为什么要同时存在

令 \(P\) 表示一单位X的Y价格，流动性为 \(L\)，允许提供流动性的价格范围为 \([P_a,P_b]\)。在当前价格位于区间内部时，v3可以用虚拟储备

\[ x_v=\frac{L}{\sqrt P},\qquad y_v=L\sqrt P \]

描述局部曲线，因而 \(x_vy_v=L^2\)。但某个有限区间头寸真正需要的代币是

\[ \begin{aligned} x&=L\left(\frac1{\sqrt P}-\frac1{\sqrt{P_b}}\right),\\ y&=L\left(\sqrt P-\sqrt{P_a}\right). \end{aligned} \]

虚拟储备是表达价格曲线的变量，不是池子另外收到的代币；真实库存则把区间之外不提供的流动性扣掉。用真实的 \(x,y\) 直接套 \(xy=L^2\) 会错，正确的平移关系是

\[ \left(x+\frac{L}{\sqrt{P_b}}\right) \left(y+L\sqrt{P_a}\right)=L^2. \]

这也解释了集中流动性的设计：只在一段价格范围内承诺交换，可以用较少实际库存支持该区间的局部流动性；代价是出了区间以后，头寸不会继续在外面提供同样的双币交换。它不是无条件更高的投资回报。¹

设 \(L=1000,P=1,P_a=0.81,P_b=1.21\)，平方根为1、0.9、1.1。初始虚拟X、Y各1000；真实X为 \(1000(1-1/1.1)=90.9090909\)，真实Y为100。本默认例只有这一位活跃LP，因此头寸L等于全池active L。 后面单独的费用分配例会明确换成多位LP的环境。

三、送入50Y：先扣费，再沿曲线移动

固定手续费率 \(\phi=0.003\)，协议分成取零，费用不自动复投进流动性。用户送入50Y，其中0.15Y是费用，真正推动曲线的是49.85Y。令 \(s=\sqrt P\)，区间内 \(y_v=Ls\)，因此

\[ \begin{aligned} \Delta y&=50(1-0.003)=49.85,\\ s_1&=s_0+\Delta y/L=1.04985,\\ P_1&=s_1^2=1.1021850225,\\ X_{\rm out}&=L\left(\frac1{s_0}-\frac1{s_1}\right)\\ &\approx47.4829737582. \end{aligned} \]

最后的边际价格约1.102185 Y/X，但这笔交易的含费平均执行价是 \(50/47.4829737582\approx1.0530090271\) Y/X。它既不是初始边际价1，也不是最终边际价。沿曲线看，后面买到的X越来越贵；这个平均价概括的是整段交换。³

从微积分也能看出差别：在活跃区间内 \(dy=-P\,dx\)，边际价格是瞬时的比率，而有限成交量来自这条关系在交易路径上的积分。这里直接用两个端点的虚拟库存差算出X输出，等价于做完整个积分，不是用一个端点价格乘数量。

成交后真实X约43.4261171509，真实Y为149.85，另有费用0.15Y。检查守恒：用户拿走47.4829737582X，加池内43.4261171509X，恢复初始90.9090909091X；用户50Y中49.85进入曲线库存，0.15进费用账，没有凭空少钱或多出L。

四、送入150Y：不能越过用户自己设的价格上限

这一次仍用相同初始状态，但用户最多愿意把价格推到1.21，恰好也等于当前区间上界。要把 \(\sqrt P\) 从1推到1.1，只需要净输入 \(1000(1.1-1)=100\) Y。因此含费输入的上限是

\[ \begin{aligned} Y_{\rm consumed}&=100/(1-0.003)\approx100.3009027081,\\ \mathrm{Fee}&\approx0.3009027081,\\ Y_{\rm unused}&=150-100.3009027081\approx49.6990972919. \end{aligned} \]

到上限时，X输出90.9090909091，真实库存X为0、Y为200，费用另计。用户未被消耗的49.6990972919Y不是手续费；含费平均执行价应以实际消耗100.3009027081除X输出，约1.1033099298，而不是用最初指定的150去除。

单次从相同初始状态出发	指定Y输入	实际消耗Y	费用Y	未用Y	得到X	最后边际价
区间内成交	50	50	0.15	0	47.48297376	1.10218502
达到用户价格上限	150	100.30090271	0.30090271	49.69909729	90.90909091	1.21

这两行是两笔独立地从同一个初始状态开始的例子，不是先做50、再从新库存接着做150。

价格上限和区间边界在本例数值相同，但规则职责不同。达到本次用户的price limit就停止，即使外面还有别人的活跃流动性。 若用户事先允许更远的价格、首先碰到的只是一个已初始化tick，代码才会先按该tick的净流动性变化更新active L，再用新的L处理剩余量。不能跨tick之后仍拿旧L外推，更不能因为存在另一LP而越过这次用户的限价。²³

这里不再添加一组跨tick成交数据；读者只需把“用户不许再走”和“这段流动性已走完、后面要换L”这两个原因分开。

五、费用按活跃L分配，不把一位LP当全池

白皮书把fee growth描述为每单位流动性的累计费用；在其式(6.9)的印刷表达与这个单位有差异时，应回到固定代码看实际含义。v1.0.0的Pool.swap先处理协议分成，再用 feeAmount × Q128 / state.liquidity 更新累计量。\(Q128\) 是定点数刻度；忽略数值编码后，经济关系就是分给LP的费用除以当时全池活跃L。¹²

现在另开一个独立分配例：池active L=1000，其中我们考察的头寸L=100，其他LP有900；合计可分LP费用为3Y。于是

\[ \Delta g=3/1000=0.003\ \text{Y/单位L},\qquad \text{该头寸所得}=100\Delta g=0.3\ \text{Y}. \]

这不是把刚才唯一的L1000头寸偷偷缩成100，也不是说刚才50Y输入产生了3Y手续费。两个例子各负责一次交换和比例分配，金额身份必须保留。若某段价格上头寸已经不活跃，它不会继续按原L分到该段的新交换费用；历史累积费用则仍是另外的资产余额。⁴

六、让曲线、库存和现金同时变化

从50Y输入开始，读三条不同的线或标记：边际价格、含费平均执行价、用户价格上限。增加至150，观察输出X达到本区间可交付库存以后，实际消耗不再增加、未用输入出现。价格上限保持1.21，实验不会把“更多输入”解释为授权越价。再展开费用分配卡，确认它仍是另一个L100占池L1000的例子。

这一步只讨论一次兑换的金额和交换后的库存。是否值得长期提供流动性，还要选路径、费用、成本及比较基准；“相对一直持币的变化”和“相对自融资再平衡的变化”不是同一个问题，本篇不把一次交换的手续费自动升级成LP长期收益。

七、检验：每一笔代币去了哪里

题一：开头边际价为1，为什么50Y得不到50X？

解析：先扣0.15Y费用，且49.85净输入沿曲线推高价格；后面的X不是都按开头价格卖给你。完整端点差给47.4829737582X；只用1乘整个输入同时忽略了费用和价格路径。

题二：150Y指定输入的那一行，平均价为什么不能用150除90.9090909？

解析：只有100.3009027081被消耗，49.6990972919没有用于成交。含费平均价的分子是实际花掉的代币，未用额不是成本，更不是手续费。

题三：在1.21之外出现另一位LP，原150Y订单能否自动继续？

解析：不能，1.21也是用户价格上限。只有另一个允许更远价格的指令，才可能先跨tick、更新active L、再继续处理剩余数量。区间外有流动性不等于用户授权越价。

题四：池active L=1000，某LP L=100，LP费用合计3Y，为什么该LP不能得3Y？

解析：它只提供其中十分之一的活跃L；每L费用为0.003Y，所得0.3Y。分母应是全池活跃L，不是该LP自己的L。费用单独累计，也没有自动变成额外L。

题五：上界时真实X为零，虚拟X仍为1000/1.1，这些虚拟X能继续交给交易者吗？

解析：不能。虚拟储备是表达曲线的平移变量，不是可交付资产；本区间真实X已用完。把虚拟储备当余额，会同时违反库存守恒、区间约束和用户限价。