基差、持有成本与期限结构

用约20分钟，完成一次从报价到现金账的推演：先确认比较的是哪些资产、月份和时点，再算把一批货留到未来究竟花多少钱。需要合约月份与报价单位 ↗；资金时间价值与逐日结算在用到时就地回顾。

一、两个价格能相减，不等于两笔交易能互相替代

本篇固定基差约定为\(b=S-F\)：现货价减去指定月份的期货价。 只写“基差扩大”还不够，必须给出现货地点、品级、期货月份、报价时点以及这个符号约定。有人使用相反的定义时，变化方向也会相反。

下面是一组真实历史日度观测。现货来自EIA的Cushing WTI FOB日度序列，期货及月差来自CFTC报告；单位均为美元/桶。June列由May减去报告中的May−June价差得到，并非另一个独立报价来源。¹²³

2020年交易日	EIA现货\(S\)	May结算\(F_M\)	May−June	June推算值\(F_J\)	\(S-F_M\)
4月17日	18.31	18.27	−6.76	25.03	0.04
4月20日	−36.98	−37.63	−58.06	20.43	0.65
4月21日	8.91	10.01	−1.56	11.57	−1.10

这个表告诉我们：选定的两个合约月之间价差变化很大，现货与May日度结算之差也并非恒为零。但EIA日度现货观测和期货结算不是同瞬间的可执行买卖价，更不保证你能按这两个数字完成交收。

若只拿4月21日的−1.10说“现货便宜，所以一定有套利”，就跳过了最重要的一步：你买到的是不是相同可交割油品，能否及时存储、运输并交付，报价是否同时可得，融资和交易费用是多少？基差首先是一个比较量，只有补齐交易路径，才能讨论可实施的约束。

二、先给期限坡度命名，再讨论它为何会受收敛约束

固定同一观察时点，把不同到期月份的期货报价按月份排列，就得到期限结构。上表只有May、June两个点，是一小段期限结构，不是整条曲线。在同一观察时点，所选期限段里远月价格高于近月，本文称为正向结构（contango）；远月低于近月，称为反向结构（backwardation）。 这是期货合约月份之间的坡度命名，不是上一节定义的现货基差 \(b=S-F\)，更不是“市场已经预测未来现货一定涨或跌”的同义词。4月17日May为18.27、由月差推得June为25.03，因此这一小段是contango；它本身仍不能说明未来六月现货一定比五月高6.76美元。

我们先用经济关系理解这种差异。未来用货有两条候选路径：到时买；或者现在买、融资并保存到时。仓储、损耗、资金占用、交付能力都会影响两条路径是否可比。MIT讲义用这个比较引入持有成本；在把远期和期货暂时近似处理以前，它也明确先忽略二者差别。⁴

同一组两路径也给出一个正面的收敛机制。在一个更强、也更干净的复制设定里：比较的是同一可交付对象、同一地点、同一交付时点，现货持有、融资、仓储以及反向交易都可以实际实施。随着当前时点逼近交付时点，剩余融资期和剩余仓储期缩短，库存服务价值也必须按剩余期间重新衡量；“现在取得并持有到交付”与“通过临近到期合约在该时点取得同一对象”越来越接近两条可替代路径。若两条可实施路径仍存在超过剩余成本的价格差，交易会把这个差异作为复制约束来利用。因而在这些条件下，标准模型中的现货与临近到期远期/期货价格会受到收敛约束；用最简的单一到期时点写法，就是当 \(t\uparrow T\) 时，\(F_{t,T}-S_t\) 应趋向零或趋向仍可解释的剩余交付差异。

这里的条件不能删除。CL有具体的可交割品级、地点和交付程序，而我们采用的EIA日度现货与CFTC期货结算又不是同步可执行报价。因此“收敛约束为什么存在”与“某一天两列公开数据是否恰好相等”是两个问题；后者必须先对齐对象、时点和可实施交易条件。

因此，我们不先把所有成本塞进一个“利率加仓储费”的简写。先问每笔钱何时付。对可融资并可持有的确定货物，若\(B(t,T)\)表示从\(t\)到\(T\)的确定资金增长因子，\(c_j\)是\(t_j\)支付的仓储等费用，那么到\(T\)的现金成本可以写作

\[ C_T=Q S_0 B(0,T)+\sum_j c_j B(t_j,T)+c_T. \]

这里的求和只包含末期以前的费用，\(c_T\)单独表示末期费用，不能与求和项重复。这个表达式的用处是保留时间：起点支付的仓储费会融资，到期才付的不会产生此前的借款利息。若中间有真正可收到的现金，也要按其日期另列；库存的便利服务并不因此自动变成一笔现金收入。

三、把1,000桶油从今天带到第90天

下面全部是教学条件，不是市场套利报价。假定合格的1,000桶油现在每桶75美元，仓储费每桶1美元在起点支付，交付手续费每桶0.20美元在第90天支付；起点购油与仓储全部借款，年单利5%，ACT/365，第90天还款。交付渠道与融资都可取得，对方按约履约，其他摩擦设为零。

我们同时卖出一份第90天交付并收款的教学远期，每桶78美元。把货物和钱分开列：

时点	货物/合同	现金账，美元
第0天	买入并入库1,000桶；约定未来卖价78	借入76,000；支付油款75,000、仓储1,000
第90天	按约交出这批货	收取78,000
第90天	清偿借款及交付费用	还本息76,936.99；支付200

精确到内部计算的终值成本为

\[ \begin{aligned} C_{90} &=1{,}000(75+1)\left(1+0.05\frac{90}{365}\right)+1{,}000(0.20)\\ &=77{,}136.9863. \end{aligned} \]

每桶成本约77.13699美元，78,000远期收入减去成本，净额约863.01美元。这是所有设定腿都能完成时的账本结果；并不是从一条报价就已经获得的利润。

现在只把仓储付款改到第90天，价格和总仓储费不变。起点只借75,000，最终另外付1,000仓储和200交付费：

\[ C_{90}^{\text{后付仓储}}=75{,}000\left(1+0.05\frac{90}{365}\right)+1{,}000+200 =77{,}124.6575. \]

成本减少12.3288美元，正好是那1,000美元仓储款90天的融资利息。相同“仓储费1美元/桶”，支付时点不同，不能套同一总成本。

交互默认展示这两种付款时点。每次改变费用，先在时间轴上找对应现金，再检查结果；不要只盯最后的差额数字。

四、复制哪一条腿做不到，结论就在哪里改变

若所有腿都能锁定并履行，远期卖价高于上述可交付总成本，会给“买现货、持有、卖远期”的方向提供一个条件现金差额。由此讨论价格约束时，依赖的是同一批货可以沿两条路径到达相同终点，而不是依赖我们预测油价会涨。

但这个逻辑不是对任何商品、任何参与者都成立的双向等式。没有可用仓储，持有腿无法建立；借不到现金，融资腿受阻；油品或接入不合格，交付腿无法用于抵销远期义务。此时即使算术差额仍为863.01，也不能继续标成可取得的收益。交互关掉任一可用条件后，会保留说明并撤下可执行净额。

反方向也不能照搬：若远期较便宜，要现在卖出、未来补回，可能需要借到可交付的现货。借货困难、已经承诺的库存用途及业务连续性，都可能阻碍这条路径。即使某企业已经有油，把库存拿去卖掉也可能损失保障生产的服务。

这正是“便利收益”要表达的经济内容之一：库存能让经营者应对急需，而不仅仅等待未来变卖。它可以进入持有与不持有的价值比较，却不是货币红利，不能在我们的美元账上凭空填“收到便利收益200美元”。CFTC对2020年窗口的讨论也把仓储与实物物流约束列为背景；它不提供一条万能公式，把全部价格变化精确分解给这些原因。¹

五、换成逐次结算后，别把融资成本算两遍

保留上面的现货、仓储和90天融资，只把卖出工具换成一个离散教学期货账户。起点78，第30天79，第90天77.5；仅这三个价格阶段发生结算。本例另假定第90天按77.5出售实物并收款，保证金8,000全额借入、担保余额期间不获利息，第90天释放并归还。这不是CL真实交割付款日程。

空头的两次VM是−1,000、+1,500。不计资金时间，\(77{,}500-1{,}000+1{,}500=78{,}000\)，恰好等于之前远期的收款。但第30天流出的1,000需借款60天，利息为8.2192；8,000保证金需融资90天，利息为98.6301。原油与仓储的融资已经包含在77,136.9863中，不能再扣一次。

完整的末期现金重建可以这样看：

第90天发生的项目	收到 / 支付，美元
出售实物	+77,500
第二次VM	+1,500
退回教学保证金	+8,000
归还购油及仓储本息	−76,936.9863
交付费用	−200
归还第30天VM借款本息	−1,008.2192
归还保证金借款本息	−8,098.6301
净额	756.1644

第30天的借入1,000和付出1,000彼此抵销；第0天各借款也与购油、仓储和保证金划入相配。若改用“实物收入+累计VM”的简写，已经包括−1,000本金，末期只额外扣这笔借款的8.2192利息，不可又扣本金：

\[ 77{,}500+(-1{,}000+1{,}500)-77{,}136.9863-8.2192-98.6301=756.1644. \]

保证金本金的划入、退回与借款归还应成对出现，只有资金成本留在净额里。这个例子说明同样未折现累计价格结果，可以有不同资金成本；它不是远期与期货公允价格恒相等或恒不等的完整定理。我们给了融资规则与特定离散路径，才得到这个净额。

六、先检查路径，再解释价格

题一：仓储付款推迟。 为什么净额从863.01增加到875.34，而不是增加1,000？

解析。 仓储总价仍要付，只是免去它起点支付所需的90天融资。节约\(1{,}000\times0.05\times90/365=12.3288\)，新净额\(78{,}000-77{,}124.6575=875.3425\)。

题二：无法存储。 报价78和算出的每桶成本77.13699都没变，能否继续称有863.01套利？

解析。 不能。这个成本以取得90天存储服务为前提；关闭仓储条件后，无法建立与远期交付相匹配的现货腿。算术条件值不等于能执行的交易。若想恢复结论，须有替代仓储或其他真实交付路径及其价格。

题三：期货中段上涨更多。 只把第30天结算改为82，其他默认输入不变，空头VM和终值净额如何变化？

解析。 VM成为−4,000和+4,500，累计仍+500；多融资的中间流出利息为\(4{,}000\times0.05\times60/365=32.8767\)。净额为\(863.0137-32.8767-98.6301=731.5068\)美元。终点相同并未保证资金成本相同。

题四：先说明收敛机制，再看4月21日的−1.10。 在同一可交付对象、同一地点、同一交付时点且两条复制路径都可实施的标准设定里，为什么临近交割时现货和期货会受到收敛约束？那么本例4月21日的基差−1.10能否证明“不收敛”？

解析。 随着剩余持有期缩短，剩余融资、仓储和库存服务都只对应越来越短的期间；如果现货持有到交割与临近到期合约最终取得的是同一对象，而且正反两条交易路径都能做，持续存在、超过这些剩余差异的价差会被复制交易约束，所以价格应趋同。可是本例的−1.10混合了EIA日度现货观测和CFTC期货结算，并没有同步bid/ask，也没有把交付期间、可交割条件和实际可实施交易完全对齐。因此它可以提示我们继续查对象和时点，却不能单独成为无条件套利或收敛机制失效的证明。

题五：谁把本金扣重了？ 有人从“实物收入+累计VM−持有成本”后再扣1,008.2192和8,098.6301，但没有加入保证金退回。他漏了什么？

解析。 累计VM已含第30天的−1,000，再扣该借款本金重复；保证金8,000最终退回又归还借款，不能只留下还款一边。按上述简写只增加8.2192与98.6301两项融资成本，或从头列全每个时点的借入、支出、退回和还本付息。