股指期货的beta对冲：目标、张数与剩余风险

我们先从一个容易混淆的目的开始：暂时不想承受那么多市场涨跌，并不等于不再看好手里的公司。卖掉股票能直接减少风险，但也会改变公司组合；用股指期货，则可以先调整组合与某个指数共同变化的那一部分。本篇要完成的任务是：从目标推出方向和张数，再把取整、剩余风险与现金要求放回同一个决定里。

这里的组合市值、beta、指数点位及费用都是教学输入，不是账户记录或当前报价。合约单位采用 CME Micro E-mini S&P 500 期货（MES）的真实规格：每点5美元，最小变动0.25点，也就是每张1.25美元。日常结算与到期最终结算不是同一个价格事件。¹

1. 对冲的是共同变化，不是把股票名称换成指数

设股票组合市值为950,000美元，相对指定指数的 beta 估计为1.15；希望在接下来的一段持有期，把这个共同敞口降到0.25。可以先用局部关系 \(r_p\approx\beta_p r_m+\epsilon\) 理解它：指数变动 \(r_m\) 时，组合中约有 \(\beta_p r_m\) 的共同部分，另有没有被该基准解释的部分 \(\epsilon\)。beta 的定义是协方差除以基准方差，不是“组合会准确涨跌指数的1.15倍”。²

真实研究还应写清估计窗口、日或月频率、币种、是否包含分红，以及组合权重是否在样本内改变。本例直接给定1.15，不假装已经用一个真实组合重新估计。行业新闻、个股业绩和风格差异都可能留在 \(\epsilon\) 中；股指空头不会把这些风险自动出售出去。

还要问为什么目标是0.25。它表达的是“仍保留一些市场上涨，也接受对应下跌”，而不是“保证下跌不超过某个金额”。beta 对冲主要调整局部斜率；它没有期权保护所提供的非线性下限。若真正目标是某天必须有足额现金，那需要另做支付预算，不能让0.25这个数字代答。

2. 从一元指数变化推到合约张数

假设期货起点为5,000点，一张 MES 的名义额是 \(5,000\times5=25,000\) 美元。这里先假设期货相对基准的百分比变化近似一致。指数上涨1%时，一张多头大约盈利250美元，一张空头大约亏损250美元。因此，需要降低的共同敏感度是 \((1.15-0.25)\times950,000=855,000\) 美元，而不是整个950,000美元。

令 \(N\) 表示空头张数，\(m\) 为每点乘数。对一小段共同变动，对冲后的美元变化近似为

\[ \Delta W\approx(\beta_pV-NmF_0)r_m+V\epsilon. \]

让共同部分等于目标 \(\beta_*Vr_m\)，就得到

\[ N^*=\frac{(\beta_p-\beta_*)V}{mF_0} =\frac{(1.15-0.25)\times950,000}{5\times5,000} =34.2. \]

公式里的每一项都有单位：分子是“以基准衡量的美元敞口”，分母是“每张期货的基准美元敞口”，相除才是张数。若目标 beta 高于原值，\(N^*\) 为负，意思是增加多头，而不是去卖更多空头。若基准与期货不是近似一比一共同变化，还需另估期货的相对敏感度，不能继续不加说明地使用上式。

真正下单只能选整数。34张空头对应850,000美元名义额，剩余 beta 为

\[ \beta_{34}=1.15-\frac{850,000}{950,000}=0.2552631579. \]

35张则留下 \(1.15-875,000/950,000=0.2289473684\)。两者相对0.25的偏差分别约0.00526和−0.02105，因此在“绝对 beta 误差最小”的这项目标下，34张更合适。若目标改成“绝不能高于0.25”，取整选择可能变为35张；整数答案取决于风险约束，而不只是计算器的舍入键。

取整以后，目标并未消失

教学组合950,000美元；目标beta 0.25

• 取整后的beta
• 目标beta

beta（无量纲）；横轴为空头张数

0.190.220.260.290.32

323436

3. 一次上涨检查：组合赚钱，为什么还需要付款？

现在只做一个给定状态检查：指数上涨4%，期货也从5,000升到5,200，组合残差暂设为零。股票增加 \(950,000\times1.15\times4\%=43,700\) 美元；34张空头的期货变化为 \(34\times5\times(5,000-5,200)=-34,000\) 美元。合计仍赚9,700，因为本来就保留了正 beta。

项目	金额（美元）	是什么
股票共同部分变化	+43,700	股票市值变化，未假设已经卖出
期货结算损益	−34,000	给定结算区间的现金变动
两腿毛合计	+9,700	不等于可立即支付的现金
开仓费用	−68	教学每张每边2美元
平仓费用	−68	同一费用约定
两腿净合计	+9,564	不含未给出的保证金融资成本

日结算把期货亏损兑现为现金流，抵押品的账户转移又是另一笔记录。34,000美元不是损失以后再交一次“亏损保证金”，也不是850,000名义本金的付款；它是价格变化产生的损益。初始保证金则是为履约占用的资产，原则上不能当作一笔立即消失的费用。³

我们没有这一假设组合的实际保证金安排，也没有5,000到5,200之间的逐日价格路径，所以只能确认这一段累计现金变化，不能凭端点画出“最高追加资金”。若某个日间截止前没有足够可用现金，股票账面盈利也未必能及时转过来。此时应先减小规模、增加事先确定的流动性或选择直接卖股，而不是把净赚9,700当成资金可行的证明。P23会把这一步展开成完整事件账。

市值变化与结算现金分开

指数+4%、残差0；金额不能当作可用流动性

单位：美元

• 组合共同项
  43,700.000正值
• 组合残差
  0.000零值
• 期货现金
  -34,000.000负值
• 费用
  -136.000负值
• 净合计
  9,564.000正值

4. 用实验检查残差，而不是寻找一个完美张数

先保留默认34张，把指数冲击从上涨4%切到下跌4%。期货方向反过来，净结果不再是同一个正数；费用依然支出。再把组合残差改成−2个百分点，观察股票额外损失19,000美元并没有被期货对冲掉。最后比较34与35张：35张会略微降低共同市场敏感度，但不能消除这个个股/行业残差。

实验显示的是透明的线性变式，不是重新估出的统计模型。它适合回答“如果这组敏感度成立，会发生什么”，不能回答“beta未来一定是多少”。一旦组合权重明显改变、指数代表性变差，或者临近换月，先更新风险关系，再决定是否交易。换月意味着平旧合约、开新合约、支付相关价差与费用；一张旧合约的名义额与新合约未必相同。

5. 自测与解析

解释题。 有人计算 \(950,000/25,000=38\) 张，然后说“这样就没有市场风险了”。哪里错了？

38张抵消的是950,000美元的基准敞口，而组合给定的原基准敞口是1,092,500美元。即使期货跟踪完全一致，仍留下142,500美元，beta为0.15，不是零；而题目要求0.25，又被多对冲了。正确次序是先确定目标，再算需要减少的差额。若真要 beta 零，理想张数是43.7，还需另做取整与资金检查。

迁移题。 34张不变，指数上涨4%，组合残差−2个百分点，双边费用仍136。合并结果是多少？能否由这个结果评价所有未来路径？

股票变动为 \(43,700-19,000=24,700\)；期货仍为−34,000；净额是 \(24,700-34,000-136=-9,436\) 美元。这说明共同风险缩小并不消除残差风险。它只评价一个给定状态；若把残差设置为另一个值，或把指数冲击改为下跌，结果会变。还没提供的资金轨不能由该终点补出来。

完成标准。 不看答案，写出基准、目标、理想张数、采用整数、剩余敞口和现金缺口需要的材料。能把这六项连起来，才真正完成了本篇，而不只是会套张数公式。