条件期望：按已有信息分组平均

我们有时不知道最终落在哪个状态，却已知道它属于哪一组。此时要计算的平均既不能忽略已知信息，也不能偷偷使用组内尚未揭晓的结果。本页只需要有限概率、条件概率 ↗和加权平均，不需要先学尾部风险。

有限分组的定义

令有限样本空间 \(\Omega\) 上的状态概率为 \(p_\omega\)，\(X\) 为有限实值随机变量。取非空集合 \(A_1,\ldots,A_m\) 两两不交并覆盖 \(\Omega\)，并假设目前能辨认的恰是这些组及其并集，记为 \(\mathcal G=\sigma(A_1,\ldots,A_m)\)。这个记号的含义可在 可测信息 ↗ 中查询。

若 \(P(A_i)>0\)，则在第 \(i\) 组中的条件平均为

\[ m_i=\frac{\sum_{\omega\in A_i}p_\omega X(\omega)} {\sum_{\omega\in A_i}p_\omega}. \]

给定这份信息的条件期望是随机变量

\[ M=E[X\mid\mathcal G]=\sum_i m_i\,1_{A_i}. \]

在零概率组上可选择任一有限常数作为 \(m_i\)；以下统一取 \(0\)。这是一个版本约定，不是给 \(0/0\) 定义了数值。¹

\(M\) 是一个函数：收到第 \(i\) 组的消息时，我们使用数 \(m_i\)。所以“给定某个已经发生的组后的平均数”和“在消息到达前定义的条件期望随机变量”有关，但不是同一种对象。

看见信号后，支付怎样平均

下面使用一份教学情景表。支付约定参考标准 SPX 欧式现金结算看涨期权：每指数点对应 \(100\) 美元。这里的行权价 \(6000\)、四个结算值、信号和概率均为人为设定，不是实际挂牌报价或估出的市场概率。\(S_T\) 表示合约规则指定的结算值，而不是随便选的一笔最后成交价。支付 \(X=100(S_T-6000)^+\) 是一份合约的美元金额。²

状态	模型概率	先收到的信号	\(S_T\)（点）	\(X\)（美元）
\(\omega_1\)	\(0.1\)	\(L\)	\(5900\)	\(0\)
\(\omega_2\)	\(0.3\)	\(L\)	\(6000\)	\(0\)
\(\omega_3\)	\(0.4\)	\(H\)	\(6100\)	\(10000\)
\(\omega_4\)	\(0.2\)	\(H\)	\(6200\)	\(20000\)

模型约定先收到 \(L/H\)，以后才知道结算值。金额被确定，不等于经纪账户已收到现金；本例没有另建账户入账和交收账本。这里计算的是模型支付的条件平均，也没有扣权利金或贴现，不是期权利润或价格。

收到 \(L\) 后，两行支付都为零，所以 \(m_L=0\)。收到 \(H\) 后，组内概率不是各一半，而是

\[ P(\omega_3\mid H)=\frac{0.4}{0.6}=\frac23,\qquad P(\omega_4\mid H)=\frac13. \]

因此

\[ m_H=\frac23(10000)+\frac13(20000)=\frac{40000}{3}. \]

换句话说，\(M\) 在前两行取 \(0\)，在后两行取 \(40000/3\) 美元。不能在后两行分别填 \(10000,20000\)：那需要已经知道完整状态，而当前只知道同一个 \(H\) 信号。

保持概率和支付不变，只改变可用信息，得到下面的静态对照：

状态	尚无信号：\(E[X]\)	只知 \(L/H\)：\(E[X\mid\mathcal G]\)	完整状态已知：\(X\)
\(\omega_1\)	\(8000\)	\(0\)	\(0\)
\(\omega_2\)	\(8000\)	\(0\)	\(0\)
\(\omega_3\)	\(8000\)	\(40000/3\)	\(10000\)
\(\omega_4\)	\(8000\)	\(40000/3\)	\(20000\)

信息变细并不使条件期望在每条状态上都上升：从中间列走到最后一列，第三行下降，第四行上升。变多的是可区分的结果，而不是每个结果中的平均数。

为什么这个平均保留了正确的信息

对每个正概率组，定义直接给出

\[ \sum_{\omega\in A_i}p_\omega M(\omega) =m_iP(A_i) =\sum_{\omega\in A_i}p_\omega X(\omega). \]

零概率组的两边均为零。任意 \(B\in\mathcal G\) 都是若干组的并，把这些组的等式相加，便有

\[ E[M1_B]=E[X1_B]. \]

此外，\(M\) 在每组中为常数，因此由当前信息便能确定它的值，即 \(M\) 是 \(\mathcal G\)-可测的。这两点正好成为 一般条件期望 ↗ 的定义。

特别地，取 \(B=\Omega\) 得到全期望公式。本例中

\[ E[M]=0.4(0)+0.6\left(\frac{40000}{3}\right)=8000 =0.4(10000)+0.2(20000)=E[X]. \]

这里必须按组的概率加权，不能把 \(0\) 和 \(40000/3\) 直接各乘一半。

仅保留总体平均仍不够。例如常数 \(8000\) 的确与 \(X\) 有相同期望，但它在 \(L\) 上的积分是 \(8000(0.4)=3200\)，而 \(X\) 在 \(L\) 上的积分为零。已经知道的 \(L\) 消息被它忽略了。

自检与解析

题 1。 改为三个可辨认组 \(\{\omega_1\}\)、\(\{\omega_2,\omega_3\}\)、\(\{\omega_4\}\)，重新计算条件期望及其总体平均。

解析。 三组概率为 \(0.1,0.7,0.2\)，组内平均依次为 \(0\)、\(4000/0.7=40000/7\)、\(20000\)。因此条件期望向量为 \((0,40000/7,40000/7,20000)\)，其期望是 \(0.7(40000/7)+0.2(20000)=8000\)。第二组必须把零支付状态 \(\omega_2\) 的概率放进分母。

题 2。 保持原来的 \(L/H\) 信息，但另设概率为 \((0.25,0.75,0,0)\)。在 \(H\) 上取 \(M=0\) 和取 \(M=100\)，哪一个是条件期望？能否在 \(\omega_3,\omega_4\) 上分别取 \(0,100\)？

解析。 前两种都是版本：它们在 \(H\) 这整个零概率组上取常数，因而仍可测，且不改变任何积分。后一种在同一组中取不同值，不再对 \(L/H\) 信息可测；“只差在零概率集合上”不能自动免除可测性要求。应在选定事件域下讨论版本。