成本、约束与稳健决策

预测给出的是关于结果的判断，决策还要回答“现在允许买多少、花掉哪些现金、愿意承受什么风险”。本篇先完整求解一个比例费用模型，再换成整股委托和实际最低佣金规则。两层使用同一种预算思路，却不是同一个优化问题。读完后，你应能独立核对现金、推导不交易带，并解释为什么最优数量可能不唯一。

1. 决策变量先有分母，成本才有位置

先取一期现金收益 \(r_f=0\)，调仓前财富为 1，原风险资产金额为 \(w_0\)。令 \(x\) 表示调仓后风险资产的中价金额，仍除以调仓前财富；交易成本为 \(C(x)\)，从期初现金扣除。无新增资金时

\[ c=1-x-C(x),\qquad x+c+C(x)=1. \]

\(c\) 是留下的现金金额，而非在交易后财富下重新归一化的权重。期初中价标记的剩余财富是 \(1-C\)，因此真正的交易后权重是 \(x/(1-C)\) 与 \(c/(1-C)\)，两者才合计为 1。把 \(x+c=1\) 和另一处“费用已扣掉”同时写入账本，会让同一笔现金出现两次。¹

若风险资产一期简单收益为 \(R\)，期末财富是 \(x(1+R)+c\)，所以以原财富为分母的组合净回报为 \(R_p=xR-C\)。若另取确定现金收益 \(r_f\)，相同推导给 \(R_p=x(R-r_f)+r_f-(1+r_f)C\)；费用在期初支付，会同时失去相应现金利息。本篇固定 \(r_f=0\)，不把这项时点差异藏进近似。

下面的收益均值、波动、价差和风险参数都是教学设定，不是从 BusEq 历史均值直接宣称得到的预测。只有后面注明的佣金组件来自真实公开规则。

2. 比例成本为什么产生不交易带？

本实验取 \(0\le w_0,u\le1\)、\(0\le\kappa<1\)、\(c_{\min}\ge0\)，并要求 \(\gamma>0,\sigma>0\)；可能没有可行解，届时先报告预算不成立。取 \(E[R]=\mu\)、\(\operatorname{Var}(R)=\sigma^2\)，成本为 \(C(x)=\kappa|x-w_0|\)。明确选择一个均值—方差准则：最大化净回报期望减去 \(\gamma/2\) 倍方差。这是本例的决策目标，不宣称代表所有人的效用。¹

\[ J(x)=\mu x-\tfrac12\gamma\sigma^2x^2-\kappa|x-w_0|, \]

约束为 \(0\le x\le u\)，以及 \(1-x-\kappa|x-w_0|\ge c_{\min}\)。上限 \(u\) 限风险金额，现金约束又会进一步缩小可行范围；它们不是一回事。

令 \(a=\gamma\sigma^2>0\)。目标是连续严格凹函数，可行集若非空且有界，就是一个闭区间，因此存在唯一最优解。这里的一维证明不需要先讲整套 KKT。凸目标的支撑不等式，或等价地凹目标的切线界，保证符合可行方向条件的解是全局最优。²

在 \(w_0\) 两侧，普通导数分别为

\[ J'(x)= \begin{cases} \mu-ax+\kappa,&x<w_0,\\ \mu-ax-\kappa,&x>w_0. \end{cases} \]

若 \(w_0\) 是可行区间内点，不交易恰好要求左导数非负、右导数非正，于是

\[ |\mu-aw_0|\le\kappa. \]

若 \(\mu-aw_0>\kappa\)，向右买入，先求 \(x=(\mu-\kappa)/a\)；若 \(\mu-aw_0<-\kappa\)，向左卖出，先求 \(x=(\mu+\kappa)/a\)。再将该无约束候选截到可行区间。严格凹性使这一局部导数判断足够：越过最优点后，导数不可能再升回正值。

这个带的经济含义是：小幅改变持仓带来的边际好处，还不足以支付买卖方向上的边际费用。不是所有预测变动都值得下单。但若原持仓本身违反新现金要求，就不能拿内点不等式为“不交易”辩护，只能沿可行方向重新选择。

3. 把默认解与资金账一起算出来

固定 \(w_0=0.5,\mu=0.015,\sigma=0.1,\gamma=2,\kappa=0.002,u=0.8,c_{\min}=0.2\)。\(a=0.02\)，不交易的均值带为 \([0.008,0.012]\)。默认均值在带上方，所以

\[ x^*=\frac{0.015-0.002}{0.02}=0.65. \]

此处候选满足所有约束。费用 \(0.002(0.65-0.5)=0.0003\)，现金为 \(0.3497\)，成本后的财富是 \(0.9997\)。真正的风险权重为 \(0.65/0.9997=500/769\approx0.650195\)，不是恰好 65%。

默认连续解：均以调仓前财富为基数	数值
风险资产金额 \(x\)	0.65
现金 \(c\)	0.3497
费用 \(C\)	0.0003
名义均值下净回报期望 \(\mu x-C\)	0.00945
风险罚项 \(\gamma\sigma^2x^2/2\)	0.004225
目标 \(J\)	0.005225

目标 0.005225 不是期望净回报，更不是某一期会赚到的回报。三者必须分开。默认可行上界实际为 \(\min(0.8,(1+\kappa w_0-c_{\min})/(1+\kappa))=267/334\approx0.799401\)，所以仅看 \(u=0.8\) 会遗漏费用占用。³

把风险金额上限收紧到 \(u=0.6\)，最优点被截到 0.6；不是重新发现了一个不同的市场均值。如果把最低现金改为 0.8，原持仓 0.5 已不可行。卖出侧现金为 \(1-\kappa w_0-(1-\kappa)x\)，因此 \(x\le(1-\kappa w_0-0.8)/(1-\kappa)\approx0.199399\)，必须大幅减仓。

4. 预测不确定性怎样进入目标？

现在不改名义 \(\mu\)，而是指定一组可能均值 \(\mu+\delta\)，其中 \(|\delta|\le\rho\)。对 long-only 的 \(x\ge0\)，最坏均值是 \(\mu-\rho\)。多资产盒集的计算同样直接：

\[ \inf_{|\delta_i|\le\rho_i}(\mu+\delta)^Tx =\mu^Tx-\sum_i\rho_i|x_i|. \]

证明是逐项选择 \(\delta_i=-\rho_i\operatorname{sign}(x_i)\)；各坐标约束互不耦合，所以可以同时达到这个下界。它来自明确指定的集合，不是把所有未知量统一打折。Boyd 等人的 2024 稿件把这类均值区间放进组合构建，并分开讨论约束、交易成本预测和非凸实施。⁴

本例取 \(\rho=0.004\)，最坏均值成为 0.011，落入不交易带，所以 \(x^*=0.5\)。名义净回报期望仍按 0.015 算，是 0.0075；最坏均值下是 0.0055；风险罚项 0.0025；稳健目标为 0.003。不同 \(\rho\) 改变的是所优化的问题，不能比较两次目标的大小，就宣称哪次预测更准确。

若要把 \(\rho\) 称为统计置信半径，必须另外给出估计对象、数据和推断条件。本例没有这样做，也没有把论文中对未来成交量的预测换成事后已知成交量。现金预算仍按这里的精确期初账执行，不沿用忽略费用的权重近似。

5. 真正下整股委托时，连续模型还剩下多少？

换一个独立但同类的教学账户：财富 \(W=10000\) 美元、原持仓零，假设中价 100、买价 100.05，\(q\) 为 0—80 的整数，最低现金 2000，现金收益为零。假设一期股票收益为 \(\mu\pm\sigma\)，各概率 \(1/2\)，其中 \(\mu=0.002,\sigma=0.02,\gamma=10\)。这些是研究概率下的构造情景，不是报价或定价测度。

作为真实规则组件，2026-09-21 所核 IBKR Pro 美国 Fixed 普通整股单笔委托的佣金写成：下单时

\[ C_{comm}(q,p)=\min\{0.01p|q|,\;\max(1,0.005|q|)\}, \]

不下单则为零。这里 \(p\) 为成交价，规则包括每股费、最低费与成交金额上限。100 股×25 美元收 1 美元；1000 股×25 收 5；1000 股×0.25 收 2.50；10 股×0.20 时上限只有 0.02，即按 0.02 而不是 1 收取。其他监管、交易所等费用、税、冲击及退出交易没有包含，不能称作全部账单。⁵

本例还计入假设价差 \(0.05q\)。令 \(C_q=0.05q+C_{comm}(q,100.05)\)，于是

\[ \begin{aligned} \text{现金}&=W-100q-C_q,\\ x&=100q/W,\\ J_{\$}(q)&=100q\mu-C_q-\frac{W\gamma}{2}(x\sigma)^2. \end{aligned} \]

\(J_{\\)}$ 是原财富乘以均值—方差准则的美元表示。整数和最低佣金使它不再是前面那个连续凸优化问题；这里只有 81 个候选，逐个枚举即可，无须用求导假装获得唯一整股解。

默认整股例	\(q=37\)	\(q=38\)
假设价差（美元）	1.85	1.90
佣金组件（美元）	1.00	1.00
剩余现金（美元）	6297.15	6197.10
名义净损益期望（美元）	4.55	4.70
风险罚项（美元）	2.738	2.888
目标（美元）	1.812	1.812

两个股数并列最优。显示 37 只是预先约定的同分取较小股数，不把另一个最优解藏起来。在选中的 \(q=37\) 下，两个期末中价标记财富分别为 9930.55 和 10078.55，按原财富计算回报是 −0.6945% 和 0.7855%；平均净损益 4.55。期末尚未发出退出委托，所以不称为往返交易净利。³

改一项条件	全部最优股数	最优目标（美元）
无费用对照：按中价交易	50	5
只计假设价差	37、38	2.812
价差与佣金组件	37、38	1.812
名义 \(\mu=0.0012\)	0	0
指定 \(\rho=0.0006\)	22、23	0.012
教学可买数量上限为 10	10	0.300
最低现金为 9000	9	0.188

稳健行的数字是稳健目标，不是实际利润。默认 \(q=80\) 的现金只有 1995，现金低于最低要求，即使它没有违反股数上限；最大可行数量是 79，现金为 2095.05。³

先在连续模式指出预计会生效的约束，再改变均值或费用；随后在整数模式同时看所有候选、并列最优、现金和期望净损益。曲线最高的位置必须属于可行集，且目标轴不是利润轴。

6. 独立重建与解析

解释题。 连续默认解 \(x=0.65\)，为什么风险权重不是恰好 65%？为什么目标 0.005225 不是净回报期望？

解析。 \(x\) 以调仓前财富为分母，费用后财富为 0.9997；重新归一化后风险权重为 \(0.65/0.9997\)。净回报期望是 \(0.015\times0.65-0.0003=0.00945\)，再减风险罚项 0.004225 才得到目标。风险罚项没有付给交易所，也不从现金中再扣一次。

迁移题一。 连续模型改成 \(\mu=0.011\)，其余默认，是否交易？若另把最低现金改成 0.8，能否继续使用相同答案？

解析。 原默认可行域下 \(|0.011-0.02\times0.5|=0.001\le0.002\)，原持仓为可行内点，所以不交易。最低现金 0.8 时原持仓不可行，内点条件的前提失效；卖出侧可行上界约为 0.199399；整个可行区间内 \(J'(x)=0.011-0.02x+0.002>0\)，所以最优点就是该上界，不能继续维持 0.5。

迁移题二。 重算 \(q=37\) 的现金、平均净损益和目标；再判断 \(q=80\) 是否可行。

解析。 现金 \(10000-3700-1.85-1=6297.15\)；名义毛损益期望 \(3700\times0.002=7.4\)，净期望 \(7.4-2.85=4.55\)；罚项 \(10000\times10\times0.37^2\times0.02^2/2=2.738\)；目标 \(4.55-2.738=1.812\)。\(q=80\) 的现金为 \(10000-8000-4-1=1995<2000\)，不可行。反过来，37 和 38 的目标相同并不表示两者的风险或期望损益相同。

迁移题三。 多资产盒集中有一项 \(x_i<0\)，为什么最坏均值是 \(\mu_i+\rho_i\) 而非 \(\mu_i-\rho_i\)？

解析。 负头寸乘以更高收益，贡献更差，因此对手在该坐标选最大均值。最坏贡献统一写作 \(\mu_i x_i-\rho_i|x_i|\)。换成耦合的不确定性集合后不能再逐坐标独立取端点，必须重做极小化。

至此，预测、验证与决策的分工才闭合：预测量需要合适的数据与评价，决策把它当作有不确定性的输入，在实际资金边界内求解。求得最优只说明模型内比较已完成，不能替代对输入和制度的核实。