预期收益、CAPM与多因子模型

看到一个资产过去收益很高，我们常会问：这是承担了共同风险，还是获得了模型解释不了的收益？这两个问题还不同于“未来预期回报有多高”。本篇把理论预期、历史均值、因子敞口与样本alpha分开。我们会先给出一条紧凑的CAPM推导，再用同一份真实公开研究数据比较两个回归模型，而不把回归结果当未来承诺。

1. 为什么自身波动不是风险价格的全部？

假设某资产在你的其他财富缩水时反而支付较多。即使它自身波动很大，也可能帮助你在更需要钱的时候取得资源。相反，另一资产平时很稳定，却恰好在整个组合最脆弱时一起下跌，未必真的更适合你。因此风险评价需要看与其他财富的共同变化，不能只给每只资产按标准差排序。

CAPM把这个直觉放进一组很强的模型条件：单期决策；投资者按均值与方差选择；共同的收益分布判断；相同的无风险借贷利率；没有关键交易摩擦；可交易的风险资产组成市场组合。共同判断不意味着人人风险厌恶程度相同；后者影响各人承担多少风险，但在这些条件下，风险资产组合的方向相同。¹

2. 从最优化到市场beta：把中间一步写出来

令 \(\mu\) 是风险资产超额收益的期望向量，\(\Sigma\) 是正定协方差矩阵。对风险厌恶系数 \(a_h>0\) 的投资者，若风险头寸向量为 \(z_h\)，均值—方差目标为

\[ \max_{z_h}\;z_h^\top\mu-\frac{a_h}{2}z_h^\top\Sigma z_h. \]

一阶条件给 \(z_h=a_h^{-1}\Sigma^{-1}\mu\)。所以不同投资者的风险头寸沿同一个方向，只是规模不同。市场清算要求这些头寸的总和等于市场风险资产供给；适当规范化后，存在标量 \(\lambda\) 使

\[ \mu=\lambda\Sigma w_M. \]

第 \(i\) 个分量是 \(\mu_i=\lambda\operatorname{Cov}(R_i,R_M)\)。两边按市场权重加总，得 \(\mu_M=\lambda\operatorname{Var}(R_M)\)。在市场方差非零时消掉 \(\lambda\)：

\[ \mathbb E[R_i]-r_f =\underbrace{\frac{\operatorname{Cov}(R_i,R_M)}{\operatorname{Var}(R_M)}}_{\beta_i} \bigl(\mathbb E[R_M]-r_f\bigr). \]

这说明为什么共同协方差进入定价关系，而不是资产自己的方差单独进入。证明也让限制变得清楚：异质信息、借贷约束、非交易财富和交易摩擦，都会使中间的共同方向或市场清算关系不再如此简单。现实研究拿一个股票指数作 \(R_M\) 代理，也不代表那个指数就是理论里的全部市场财富。

理论链与样本链，不是同一个推断

共同风险进入两种关系，但成立条件不同

1. 理论起点

   均值—方差优化、共同预期、无摩擦借贷

   正定协方差 → 个体风险头寸沿共同方向

2. 市场清算

   个体头寸总和对应市场供给

   得到期望超额收益与市场beta的均衡关系

3. 经验回归

   给定一段真实已实现收益与所选因子

   最小二乘正交 → 样本均值归因

4. 判断边界

   正截距不是未来收益或技能的证明

   换模型/窗口会改变解释，而不会改变历史收益

3. 样本回归回答的是另一个问题

现在有一段已经发生的月度数据。将某资产超额收益 \(y_t=R_{i,t}-R_{f,t}\) 回归到因子 \(f_t\)：

\[ y_t=\alpha+\beta^\top f_t+\epsilon_t. \]

含常数项的普通最小二乘，在样本内使残差与常数和解释变量正交，因此残差均值约为零。这个投影恒等式不需要CAPM在现实中完全正确。它只表示：在选择的模型、样本与计量方法下，有多少变化被共同变量解释，剩下多少没有。

多因子回归加入更多共同变量，也不自动证明APT。APT的无套利价格限制需要关于因子结构、分散与套利机会的额外条件；Fama–French因子则有具体的组合构造，是经验模型的输入。理论条件、因子构造和样本回归是三层不同对象。²

一个正alpha可能来自遗漏变量、样本选择、某段行业繁荣、会计或数据口径，也可能有真正的额外回报机制；只凭截距本身不能判断原因。要预测未来，还需要说明这个条件均值如何在未来保持，而不是将过去十年的平均截距照搬。

4. 用同一120个月数据，看看基准怎样改变解释

本篇使用Kenneth French的BusEq市值加权行业研究组合，与同一202607 CRSP数据库版本的FF3月因子相接，区间2016年1月至2025年12月，共120期。它不是基金净收益，也不是逐月当时可下载的历史版本；完整月度底层CSV随文提供。RF数据源在2024年6月由Ibbotson转为ICE BofA US 1-Month Treasury Bill Index，因子原始百分数已转换成小数。³

这120个月的月算术平均原始收益为2.1445%，无风险收益均值0.1741667%，超额均值1.9703333%。对同一个超额收益序列，使用两个模型：

模型	截距/月	市场载荷	SMB载荷	HML载荷	样本R²
仅Mkt−RF	0.7019047%	1.1752871	—	—	0.7521400
FF3	0.6608288%	1.1899483	−0.0570139	−0.3758147	0.8089633

同一资产并没有因为换模型而改变历史收益；变的是解释方式。加入SMB与HML后，R²提高，截距略降。负HML载荷说明样本收益与HML变量呈负的条件关联，不表示“每个月都卖空价值股”，也不保证这种载荷未来稳定。

含常数项的FF3回归可以在均值层面核对：

\[ \begin{aligned} 1.9703333\%\approx{}&0.6608288\%+1.2842517\%\\ &+0.0098444\%+0.0154084\%. \end{aligned} \]

右边依次为alpha、市场、SMB、HML均值贡献。SMB和HML载荷虽然为负，本样本因子均值也略负，所以均值贡献为正；不要仅看载荷符号便推断累计收益方向。

FF3的月均贡献可以逐项相加

同一120个月；百分数/月；不是分别复合贡献

单位：% / 月

• 市场
  1.284正值
• SMB
  0.010正值
• HML
  0.015正值
• 截距alpha
  0.661正值
• 超额均值
  1.970正值

5. 加总、复利与样本选择不能混成一件事

上一行是算术均值恒等式。若将每一因子贡献单独复合十年，再相加，不会一般等于资产十年复合收益，因为逐期乘积中有交叉项。对长期财富，应逐月把总收益相乘；对因子归因，则说明自己采用何种多期连接方法。把月alpha简单乘12，得到的是年化算术尺度，不是一个真实独立策略的年复合回报。

实验从同一底层CSV重建全样本与两个预设子窗口的回归。先在全样本切换单因子/FF3；再只改变窗口，观察载荷和截距是否仍相同。窗口开关是教学敏感度，不是让你挑出最大alpha后称作样本外发现。若从许多窗口中按结果选择一个，还必须把选择过程计入验证。

这个回归没有模拟经理的成交、借款、申赎和手续费，所以不能叫净基金alpha。若真实投资者持有的是收费基金，还要接上P12的净回报与现金时点，再比较适当基准。理论市场组合也不能与这里的数据股票市场代理悄悄互换。

6. 自测与解析

解释题。 FF3回归截距0.6608288%/月，是否意味着可以每月稳定获得这笔超额收益？

不是。这是120个月样本的常数项，依赖因子集合、数据版本和样本窗口。残差可很大，实际结果不会每月等于截距；BusEq也不是一个已经扣了所有成本的实盘基金。把这个数当未来承诺，还缺机制、稳定性与样本外证据。

迁移题。 将超额收益百分数误当小数，但因子仍用小数，会发生什么？如果把因变量和因子全部按一致单位转换又怎样？

前者把因变量放大100倍，截距和载荷都会受到错误尺度影响，结果不能解释为原单位的beta。若因变量和所有收益因子都从小数改成百分数，载荷仍相同，截距改为百分数单位，R²不变；单位转换必须逐列一致。原始数据说明是计算的一部分，不是附带书目。

完成标准。 看到alpha时，能先问模型、样本、版本与收益分母；也能区分理论预期限制与样本正交条件。若只记住“beta高预期收益高”，就跳过了本篇最重要的条件。