风险敞口、相关性与分散

持有十个证券名称，不一定承担十种相互独立的风险。两个基金可能重复持有同一批公司；看起来属于不同行业的公司，也可能共同依赖一种客户预算、融资条件或投入品。另一方面，共同上涨或下跌本身又不能证明它们存在某种具体业务关系。

我们先读一份基金披露，把外层持仓拆到已知的底层暴露；再从回报的加权和推导协方差与beta。这样可以分别看清“实际持有什么”和“这些资产在一个统计模型中怎样共同变化”。不必先读完风险篇，收益口径、方差和协方差的必要定义都会在这里接上。

一、从证券名称走到底层持仓

本篇使用 VFIAX 截至2026年6月30日的事实表，文件标识 F0540 062026。第2页的十大持仓列表包括 NVIDIA、Apple、Alphabet、Microsoft、Amazon、Broadcom、Micron、Meta、Tesla、Eli Lilly；十项合计占基金净资产37.9%。原表没有给出各自权重，持仓脚注还排除了临时现金投资和权益指数产品，因此不能把37.9%均分给十家公司，也不能把这组直接当成一个行业。¹

在这个披露上建立一份虚构的100单位组合：60买入该基金，40保留现金。已知的底层十大持仓组对应 \(60\times37.9\%=22.74\)，剩余基金净资产对应37.26。外层只有基金和现金两个项目，内部已经有不同的价格敞口。

更一般地，若组合投向基金 \(i\) 的权重为 \(w_i\)，该基金投向底层对象 \(j\) 的净资产比例为 \(a_{ij}\)，那么在这份同日期、口径一致的现金权益持仓表中，底层权重为

\[ e_j=\sum_i w_i a_{ij}. \]

直接持有股票可以看作只投向该股票的一行。这个公式来自金额逐层相乘再相加；若两只基金都持有同一股票，两部分必须加到同一个对象上，不能因为基金名称不同就保留成两份独立风险。

现在指定一个压力变式：十大持仓组的价值统一下降30%，其他基金净资产及现金不变；没有交易、分配或再平衡。初始权重下组合的静态损失为 \(22.74\times30\%=6.822\)，即6.822%。

教学组合的组成	冲击前价值	设定的变化	冲击后价值
基金内十大持仓组	22.740	−30%	15.918
基金其余净资产	37.260	0	37.260
组合外部现金	40.000	0	40.000
合计	100.000	−6.822%	93.178

37.9%来自固定期次披露，60%组合权重和−30%冲击来自教学设定。这个结果既不是VFIAX的实际历史亏损，也没有说明该冲击的概率。它回答的是一个条件问题：若这一组发生指定变化，而其他部分按假设不变，组合会怎样？

披露的局限也能准确定位：不知道十项各自权重，就不能计算其中某一家公司单独下跌的精确损失；没有各项同期回报，就不能从这张持仓表估计相关性。这里已经识别了部分暴露，但没有假装看见整张风险地图。

二、为什么组合风险不是各项风险直接相加？

从这里开始换成一组独立的两风险资产参数实验，不再指称上面的基金与现金。考虑一个期间，初始权重 \(w_i\) 固定、总和为1，没有外部资金流、交易或另计费用，各资产同期间总回报为 \(R_i\)。期初资金 \(V_0\) 投向第 \(i\) 项的金额为 \(w_iV_0\)，期末合计为 \(\sum_iw_iV_0(1+R_i)\)，所以

\[ R_p=\sum_iw_iR_i. \]

这里的权重是期间开始时的权重，不是价格变动后重新计算的期末权重；如果期间持续再平衡，应分段记账，不能仍称一段固定权重。

这个加总还要求各项 \(R_i\) 使用同一计量期间、同一回报口径和同一计价货币。例如一项写美元总回报、另一项写本币价格回报，或一项用月度而另一项用年度，不能直接塞进同一个协方差矩阵。若跨币种投资要以某一投资者货币评价，应先把汇率变化按同一现金边界并入相应回报；这一步属于数据构造，不由相关系数替我们完成。

设各项回报二阶矩有限，均值为 \(\mu_i\)，协方差为 \(\Sigma_{ij}=\mathbb E[(R_i-\mu_i)(R_j-\mu_j)]\)。均值的线性性先给出 \(\mu_p=\sum_iw_i\mu_i\)，然后展开平方：

\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(R_p) &=\mathbb E\left[\left(\sum_iw_i(R_i-\mu_i)\right)^2\right]\\ &=\sum_i\sum_jw_iw_j\Sigma_{ij} =w^\mathsf T\Sigma w. \end{aligned} \]

协方差项不是为修正某个经验规则附加的，它是在计算加权和的波动时自然出现的交叉项。两项经常向相反方向偏离均值，会减少一些合计偏离；经常同向偏离，则会保留更多共同变化。这是精确的矩关系，不要求正态分布。²

对两项资产，令 \(\sigma_A,\sigma_B>0\)，相关系数 \(\rho=\operatorname{Cov}(R_A,R_B)/(\sigma_A\sigma_B)\)，就有

\[ \sigma_p^2=w_A^2\sigma_A^2+w_B^2\sigma_B^2 +2w_Aw_B\rho\sigma_A\sigma_B. \]

令 \(w_A=0.6,w_B=0.4\)，一年回报波动率分别为20%、10%。输入都用小数，得到 \(\sigma_p^2=0.0144+0.0016+0.0096\rho=0.016+0.0096\rho\)。

假设相关系数	一年回报方差	一年回报波动率
−0.5	0.0112	10.58300524%
0	0.0160	12.64911064%
+0.5	0.0208	14.42220510%
+1	0.0256	16.00000000%

各项资产自身的波动率没有改变，只改变共同变化的程度，组合波动就不同。\(0.6\times20\%+0.4\times10\%=16\%\) 对应本例完全正相关的边界，不是任意相关性下的波动率公式。方差的单位是回报小数的平方，开方后才恢复回报单位。

也要注意，这一比较使用的是两项都为正的权重。若改变为多空结构，交叉项的符号会随权重改变，不能把“相关越小，风险一定越低”脱离持仓方向写成一般定理。

三、增加持仓数量，究竟消掉了哪一部分？

为了看清“多买几只”的作用，考虑 \(n\) 项等权资产，各自波动率都为 \(\sigma\)，任意两项相关系数都为 \(\rho\)。对角线上有 \(n\) 项自身方差，非对角线上有 \(n(n-1)\) 项共同变化。因此

\[ \sigma_p^2 =\frac{n\sigma^2+n(n-1)\rho\sigma^2}{n^2} =\sigma^2\left(\rho+\frac{1-\rho}{n}\right). \]

公式告诉我们，单个资产的那部分偏离可随数量分摊，但共同变化的项不会因为名称增加就自动消失。这与MIT讲义从平均方差和平均协方差分析分散的方式一致。²

例如 \(\sigma=20\%,\rho=0.4\) 时，1项的波动率为20%，10项约13.564660%，100项约12.743626%，继续增加数量趋近 \(20\%\sqrt{0.4}\approx12.649111\%\)，不是零。这里是等相关的教学模型，不是说任意100只股票都有这个风险。

模型条件同样重要。当 \(n>1\) 时，等相关矩阵在常数向量方向上的特征值为 \(1+(n-1)\rho\)，在其正交补上的特征值为 \(1-\rho\)；两者非负才是合法的协方差结构，故需有 \(-1/(n-1)\leq\rho\leq1\)；因而不能固定一个负相关系数，再让资产数量无限增长。本例选择非负0.4，才可以在同一设定下讨论这个极限。

对实际组合，下一步不是只数名称，而是寻找共同条件：同一客户预算下降、某种融资渠道收紧、关键投入变贵，是否会同时改变多个持仓的结果。业务关系可以提供有经济含义的压力情景；协方差则描述指定模型或样本中的共同回报。两者互相帮助，但一张相关矩阵本身不能证明某两家企业有采购关系。

四、Beta必须相对于一个基准来解释

相关系数衡量共同变化的紧密程度，beta则把协方差除以基准自身的方差。给定基准回报 \(R_b\) 且 \(\operatorname{Var}(R_b)>0\)，定义

\[ \beta_{p,b}=\frac{\operatorname{Cov}(R_p,R_b)} {\operatorname{Var}(R_b)}. \]

它也可以从最佳线性描述推导出来：用 \(a+bR_b\) 近似 \(R_p\)，在均方误差 \(\mathbb E[(R_p-a-bR_b)^2]\) 最小时，先得到 \(a=\mathbb ER_p-b\mathbb ER_b\)；代回并对 \(b\) 求极小，便得到上述协方差比。这里是带截距的线性投影，不需要假设真实关系处处为一条直线。MIT的beta单元提供了这一定义与组合关系。³

因为协方差对第一个变量线性，固定权重下 \(\beta_{p,b}=\sum_iw_i\beta_{i,b}\)。但数值只有带着基准才完整。

继续用同一个两风险资产参数实验。在 \(\rho=0.5\) 时，协方差为 \(0.5\times0.2\times0.1=0.01\)。若以A为基准，

\[ \beta_{p,A}=\frac{0.6\times0.04+0.4\times0.01}{0.04}=0.7. \]

若改用B为基准，则 \(\beta_{p,B}=(0.6\times0.01+0.4\times0.01)/0.01=1\)。组合没有变化，同一期间的方差仍是0.0208，却可以同时拥有“相对于A的0.7”和“相对于B的1”。

因此beta为1不意味着持有基准的完全复制品，beta较低也不意味着总波动一定较低。线性投影之外仍有残余变化。若用历史样本估计beta，还需注明基准、日期窗口、频率、总回报还是价格回报，以及是否统一采用超额回报；这些选择不能藏在一个无下标的数字里。³

因此，这里算的是相对于指定基准的回报敞口，不是资产的未来价格。更换基准可以改变描述方式，却不能替我们删掉组合中仍然存在的风险。

五、选读：为什么不能把一次估计永久冻结？

BIS于2023年12月发表的Box A研究美国股票与国债回报的相关性变化。作者讨论了自2021年中以来转为正相关的历史阶段，并结合通胀、增长及利率反应解释不同环境下的共同变化。图A1的部分回归使用递归扩展窗口，从2003年1月至2018年1月的初始样本，延伸至2023年9月；它不是截至2026年的实时相关性。⁴

这个例子对本篇的作用，是提醒我们检查估计所处的环境：某次增长变化可能对两类资产产生不同作用，某次通胀和利率变化又可能使它们同向调整。这里没有一个无需检验、永远不变的符号规则。原文的经验关系也不等于排除了所有竞争解释的因果证明，本篇未复现其底层数据。

因此，组合维护至少有两条更新线：新的持仓披露会改变底层权重；新的经济条件和回报数据会改变我们采用的共同变化假设。二者分别记录。不能看到一个季度价格相关上升，就改写长期业务关系；也不能因为业务长期不同，就拒绝检查它们在某个压力下共同下跌的可能性。

六、练习与完整解析

练习一：把一个基金拆成两个名字

假设将60单位基金改为各30单位的两只基金，二者在本题中被明确定义为持有完全相同的底层比例、产生完全相同的回报。现金仍为40。十大持仓组暴露和上述−30%压力损失如何变化？

解析。 底层暴露为 \(30\times0.379+30\times0.379=22.74\)，损失仍为6.822。两个基金名称并没有改变底层资产或回报过程。这是说明“名称不是风险单位”的假设反例，不是关于某两只真实基金重叠程度的事实。若实际两只基金不同，必须取得同日同口径持仓，不能照搬本题结论。

练习二：完全负相关为何还剩8%的波动？

在第二节的两风险资产例中，设 \(\rho=-1\)。保持60%/40%权重，求波动率。再求使这份给定模型的方差为零的多头权重。

解析。 方差变为 \((w_A\sigma_A-w_B\sigma_B)^2\)，故波动率为 \(|0.6\times0.2-0.4\times0.1|=8\%\)。方向完全相反也不够，还需波动幅度匹配。令 \(w_A+w_B=1\) 且 \(0.2w_A=0.1w_B\)，得 \(w_A=1/3,w_B=2/3\)，该模型中的一期回报方差为零。

这个结论依赖真实的完全负相关和给定参数，不是把样本估计代入后就获得了保证。即使一期随机回报被消除，实际合约的兑现时间、融资和交易条件也仍需检查；它们不在这份两变量模型中。

练习三：改变基准，还是改变了投资？

保持 \(\rho=0.5\)，有人看到组合相对于A的beta为0.7、相对于B为1，认为换成B后组合风险增加。指出错误。再让基金其余净资产也下跌10%，计算第一节真实披露加教学冲击的组合损失。

解析。 更换描述基准没有改变组合的资产、权重或回报随机变量，方差仍为0.0208。两个beta使用了不同协方差和不同分母，不能按大小直接比较“换基准前后”的总风险。

第一节另一个冲击中，十大持仓组损失6.822，其余基金净资产损失 \(37.26\times10\%=3.726\)，现金不变，合计损失10.548，终值89.452。这个结果依赖新增冲击假设；它与两资产的相关系数实验不是同一份输入，不能把二者拼接成一份实测基金风险报告。