持有期回报与资金基数

“这笔投资赚了多少”至少可能是在问两件事：资产本身怎样变化，以及一个在不同日期投入、取出资金的人最后得到什么。没有追加资金时，这两个问题很容易得到相同的数字；一旦资金中途进出，它们就不能再混着回答。

我们先把一笔钱的变化算清，再带读基金的历史回报披露，最后在同一条资产路径上改变出资安排。你不需要先读完投资目标那一篇。本篇只要求确定：我们在计算哪个资产或组合、从哪一天到哪一天，以及从谁的角度记录现金。

一、价格不是全部所得，账户增加也不一定是收益

令期初每份资产的价格为 \(P_0>0\)，期末价格为 \(P_1\)，持有期间每份收到分配 \(D\)。若分配放在现金中、不产生额外收益，且没有其他出入金或费用，一期总回报是

\[ R=\frac{P_1+D-P_0}{P_0}. \]

分子是持有带来的净所得，分母是开始承担风险的资金。只用 \((P_1-P_0)/P_0\) 算的是价格回报，会漏掉分配。反过来，若你已经用分配买入更多份额，并把新增份额计入期末财富，就不能再把同一笔分配额加一次。分配发生在期间中途时，再投资日期和买入价格会影响最终份额；“包含分红”不是不需要现金账的理由。¹

现在把视角放大到一个组合。初始有100，期间投资赚了10，所有者又投入50，期末160。账户增加60，其中只有10来自投资，另50是外部资金。若直接计算 \(160/100-1=60\%\)，就是把投入本金当作收益。

现金边界约定。 本篇把所有者对组合的投入记作组合的外部入金 \(C>0\)，取走资金记作 \(C<0\)；从所有者的现金视角，符号恰好相反。组合内收到的股息、出售资产的款项和支付的费用，都先属于组合内部活动。某笔股息后来被所有者取走，应分别记作“资产产生股息”和“组合向所有者支付”，而不是二选一地抹掉其中一项。

这个分类决定收益计算的边界。基金收到所持公司的分红，与基金份额持有人另行申购，是两种不同的变化。费用则会减少所得，不是为了美化表现就可以剔除的外部提款。GIPS 的计量讨论同样把总回报、外部现金流与估值时点分开；这里借用其计算解释，不要求一个教学账户承担机构报告的全部合规义务。²

二、读一份真实披露：两年回报不能直接相加

Vanguard 500 Index Fund Admiral Shares，证券代码 VFIAX，是基金的一种份额类别。本篇使用其截至2026年6月30日的事实表，文件标识 F0540 062026。第1页的年度回报表给出如下两项数据，并说明回报包含分配再投资、已经扣除基金费用。我们只截取计算需要的两年；这是根据后来披露做的历史演算，不是一份当时的买入决策记录。³

日历年	基金披露的总回报
2022	−18.15%
2023	+26.24%

设初始投入10,000，不追加也不取走资金。第一年结束后为 \(10{,}000\times0.8185=8{,}185\)，第二年结束后为 \(8{,}185\times1.2624=10{,}332.744\)。因此两年累计回报为

\[ (1-0.1815)(1+0.2624)-1=0.0332744=3.32744\%. \]

两个年度回报相加得到8.09%，但第二年的26.24%是在已经减少的8,185上赚取，不是在原来的10,000上赚取。把两个百分比相加，等于偷偷让第二年重新使用第一年的资金基数。

一般地，如果每一期结束时把所得继续留在同一投资中，且没有外部资金流，财富递推为 \(V_j=V_{j-1}(1+r_j)\)。逐期代入就得到

\[ V_n=V_0\prod_{j=1}^n(1+r_j). \]

这里不需要独立同分布或正态假设。它是对已经实现的财富变化的记账关系，不是对未来收益的概率模型。¹

为了把两年的变化写成一个等效年增长率，令 \(g\) 满足 \((1+g)^2=1.0332744\)，则 \(g=1.65010575\%\)。它回答“若每年按同一比例增长，需要多大的比例才能得到相同终值”。两个年度回报的算术平均4.045%回答的是年度观测的平均值，不能替代这个复合增长率。计算的输入只有披露到小数点后两位的百分比，后面的更多位数用于复算核对，不意味着原始数据具有同样精度。

三、把追加资金放进来：先切开现金边界

现在只改变一件事：第一年结束后，所有者再投入10,000，然后继续持有第二年。为了只使用已取得的数据，我们把时点记为等长教学年 \(t=0,1,2\)。追加发生在两年之间的估值边界，不指定某个真实申购日。

时点与顺序	组合中的变化	所有者现金流
\(t=0\)，建立投资	初始价值10,000	−10,000
\(t=1\)，追加前	价值8,185	0
\(t=1\)，追加10,000后	价值18,185	−10,000
\(t=2\)，第二年结束	价值22,956.744	若全部退出，收到22,956.744

最后一行来自 \(18{,}185\times1.2624\)。期末财富比不追加时多了12,624，其中10,000是新增本金，2,624是新增本金参与第二年投资的所得。不能把增加的12,624全算成原来10,000的投资能力。

怎样去掉外部入金对收益率的直接影响？在每次外部现金流前后分开估值。用 \(V_j^-\) 表示第 \(j\) 个边界处流入前的组合价值，\(V_j^+=V_j^-+C_j\) 表示流入后价值。相邻两次流入之间的回报是

\[ r_j=\frac{V_j^-}{V_{j-1}^+}-1, \qquad R_{\mathrm{TWR}}=\prod_j(1+r_j)-1. \]

这就是本篇使用的精确时间加权回报：先计算各段投资回报，再几何连接。此例的两段仍然是−18.15%和+26.24%，因此 TWR 的两年累计值仍为3.32744%，年化值仍为1.65010575%。²

“TWR 不受出入金影响”应这样理解：在各段投资回报既定、边界估值正确时，单纯往账户加入本金不会被记成收益。它不意味着现实中的大额申购永远不会改变持仓、成交成本或策略，也不意味着一个 TWR 数字已经证明了管理能力。后两个问题需要另外的分析。

缺少现金流发生前的估值时，不能凭期初、期末和出资总额反推出精确 TWR。按资金在场时间作权重的 Modified Dietz 等办法可以给近似，但近似的条件和误差应当另说，不能把插值当成已经观测到的净值。²

四、资金加权回报：这个出资人经历了什么

TWR 刻意去除了出资金额的直接影响，但出资人可能正想知道：自己先后投入的这些钱，整体相当于取得了怎样的收益？这时现金流的大小与时间不能被删掉。

本例可用内部收益率 IRR 表达资金加权回报 MWR。令 \(i>-1\) 为等效年利率，使各笔现金在同一时间尺度下相抵：

\[ -10{,}000-\frac{10{,}000}{1+i} +\frac{22{,}956.744}{(1+i)^2}=0. \]

令 \(y=1+i>0\)，变为 \(10{,}000y^2+10{,}000y-22{,}956.744=0\)。取满足 \(y>0\) 的根，得到

\[ i=\frac{-1+\sqrt{1+4\times2.2956744}}{2}-1 =9.55169695\%. \]

TWR 年化约1.65%，而这位出资人的 MWR 年化约9.55%，两者都可以算对。原因不是某个公式美化了回报，而是较多本金参与了上涨的第二年。这里 MWR 高于 TWR，不证明追加时点具有可重复的择时能力；它首先是在描述这条已经给定的现金路径。²

实际日期不等间隔时，可以保留全部现金日期，写成 \(\sum_k CF_k/(1+i)^{\tau_k}=0\)。若采用实际天数除以365，则 \(\tau_k\) 是从起点到该笔现金的天数除以365；采用其他日数惯例时，应明确说明。期末仍未卖出的资产可以作为估值终点放入方程，但应标作“按该估值计算”，不称已经收到了卖出款。

IRR 在这里是现金路径的结果，不是为了给资产定价而事先指定的折现率。对期初投入、随后继续投入、最终正额收回这类本例现金流，有一个有效的正 \(y\) 根；更复杂的多次收付可能没有唯一有意义的 IRR。遇到这种情况，日期现金表和终财富比较仍然有效，不能挑一个最好看的根作为答案。

现在也能说清两种口径的用途：比较既定区间内投资过程的复合变化，常需要 TWR；描述特定出资人在不同日期投入的资金经历，则需要 MWR 或完整日期现金分析。选哪个取决于问题，而不是看哪个更高。

五、名义、实际与税费后：逐层改变的是哪一项？

基金已经报告扣费后的总回报时，再扣一次同一基金费用会重复减少所得。本例 VFIAX 数据还包含分配再投资，因此也不能另加一份分红。真正需要额外加入的，是这个使用者另外承担、而原回报尚未包含的费用或税款；它们是什么、什么时候支付，需要单独给出。³

用一个不对应任何现行税制的独立教学例说明顺序。初始100，投资在额外费用前变成110；期末另付费用2。假设教学税款恰好为扣除该费用后收益8的20%，即1.6，则最后剩106.4，名义净回报为6.4%。若同期物价水平上涨5%，期末购买力相对于期初为 \(1.064/1.05\)，实际回报就是

\[ R_{\mathrm{real}}=\frac{1+R_{\mathrm{nominal}}}{1+\pi}-1 =\frac{1.064}{1.05}-1=1.33333333\%. \]

直接算 \(6.4\%-5\%=1.4\%\) 是近似，不是精确关系。税率、税基和支付日期在这里都是明示假设；这组数不与 VFIAX 的披露拼接。实际回报的换算来自名义财富除以价格水平，而不是再造一个投资策略。¹

本篇最后应留下的不是一个孤立百分比，而是这样一条记录：投资边界与币种、估值时点、外部出入金、已含及未含的所得与费用、计算公式和用途。它让下一篇讨论损失时知道，我们究竟是在研究资产变化，还是某位出资人的财富变化。

六、练习与完整解析

练习一：第二年开始前改为取走4,000

仍使用前述两段回报，但 \(t=1\) 不追加，而是取走4,000，取出的现金不再投资。求期末组合价值、TWR 和 MWR。期末价值加已取走的钱为什么不等于一个已经年化的收益率？

解析。 第一年后为8,185，取款后剩4,185；期末为 \(4{,}185\times1.2624=5{,}283.144\)。TWR 仍连接原来两段回报，累计3.32744%。所有者现金流为 \((-10{,}000,+4{,}000,+5{,}283.144)\)，故 \(10{,}000y^2-4{,}000y-5{,}283.144=0\)，有效根给出年化 MWR −4.61336989%。

期末5,283.144加上早先取出的4,000，共9,283.144，名义净所得为−716.856。这种直接相加保留了未再投资现金的总金额，却没有把4,000提早收到的时间压成一个等效年率。它可以回答总共拿回多少，不可冒充年化回报。这个结果也说明，资产最终略有盈利，不意味着每一种提款路径都盈利。

练习二：只有期初、入金和期末，能算精确TWR吗？

初始100，第一年结束时投入100，两年末价值240。没有追加前的中间估值。比较两种可能：追加前价值80，或追加前价值120。

解析。 若中间为80，两段增长因子为 \(0.8\) 和 \(240/180\)，累计 TWR 为 \(0.8\times240/180-1=6.66666667\%\)。若中间为120，则为 \(1.2\times240/220-1=30.90909091\%\)。两种路径与已知的期初、入金和期末数据都相容，因此精确 TWR 无法识别。

两种情况的所有者日期现金相同，MWR 则相同：\(y^2+y-2.4=0\)，年化为 12.78820596%。缺少的信息限制的是哪个计算，应当具体指出，而不是笼统说“数据不够，所以什么都算不了”。

练习三〔选读〕：两个IRR根

等间隔现金流为 \((-100,+230,-132)\)。证明10%和20%都满足IRR方程，并解释为什么不应直接采用20%。

解析。 乘以 \(y^2\) 后得到 \(100y^2-230y+132=0\)，即 \(100(y-1.1)(y-1.2)=0\)。两根都在 \(i>-1\) 的范围内。这条路径既有回收又有后续付款，无法仅靠“使现值相抵”给出唯一等效回报。应保留原现金路径，并在明确的资金安排或共同终点上比较；采用20%只是选择较有利的根，并没有补充任何经济依据。