信息流与可执行策略

一、从一条信号到一笔真实持仓，中间还隔着什么

上一节把数据整理成带版本和可得时点的记录。现在我们有了一个合法输入，却还不能立即把它变成策略收益。看到某个数、作出决定、发出订单、取得成交，是几个不同的事件。只有成交以后形成的实际持仓，才承担之后的价格变化。

本篇先给这些事件一个准确的数学表达，再把它落实为可逐行核对的资金账。目标不是证明某条规则赚钱，而是判断一份规则和它声称的计算结果，能否放在同一条时间线上。

沿用真实的 GDP 例：2020Q2 初值在 7 月 30 日 08:30 EDT 公布为 −32.9%，次值在 8 月 27 日 08:30 EDT 公布为 −31.7%。观察期相同，公开时点不同。¹² 这只建立来源的发布时间；实际系统收到它的时间仍未知。我们把“发布事件”和“收到事件”保留为两列，而不是用前者自动替代后者。ALFRED 日期元数据同样不能替代特定系统的盘中接收日志。³

假设两位观察者看着同一个市场，一位已经收到公告，另一位还没有。他们面对的未来可能性可以相同，但此刻能据以决定的事项不同。数学上，我们因此既要描述未来结果，也要描述每一时点已经能够区分哪些结果。

二、用信息分组把“此刻知道什么”写清楚

先用一个完整但很小的模型。设 \(\Omega=\{u+,u-,d+,d-\}\)。字母表示第一阶段已经观察到的信号，正负号表示下一阶段才揭晓的价格变化。此时能区分的两组是 \(C_u=\{u+,u-\}\) 和 \(C_d=\{d+,d-\}\)。看见 \(u\) 以后，我们知道结果属于 \(C_u\)，却不知道它是 \(u+\) 还是 \(u-\)。

相应信息由 \(\mathcal F_1=\{\varnothing,C_u,C_d,\Omega\}\) 表示；第二阶段结果完全揭晓后，信息变成 \(\mathcal F_2=2^\Omega\)。这里的 \(\sigma\)-代数不是装饰：它精确列出此时可以判断真假的事件。MIT Lecture 1 §4.1 用有限观察说明这一解释，Lecture 25 的 Background 接着引入随时间增长的信息。⁴⁵

定义（滤过与适应）。 在概率空间 \((\Omega,\mathcal F,\mathbb P)\) 上，满足 \(\mathcal F_s\subseteq\mathcal F_t\subseteq\mathcal F\)（\(s\le t\)）的一族子 \(\sigma\)-代数 \((\mathcal F_t)\) 称为滤过。若过程 \(X\) 的每个 \(X_t\) 都是 \(\mathcal F_t\)-可测的，则称 \(X\) 关于该滤过适应。

这个递增条件表示我们保留已经收到的记录。后来出现更正时，新记录可以否定旧说法，却不会抹去“此前曾公布过旧值”这件事。因此信息增长与数据值被修订并不矛盾。

现在我们能证明一个真正可以拿来审查规则的判据。

命题（有限信息分组与决策）。 设有限集 \(\Omega\) 被非空集合 \(C_1,\ldots,C_m\) 分割，\(\mathcal G=\sigma(C_1,\ldots,C_m)\)。函数 \(h\colon\Omega\to\mathbb R\) 为 \(\mathcal G\)-可测，当且仅当它在每个 \(C_j\) 内为常数。

证明。 先把这里唯一需要的集合论事实写完整。由于 \(C_1,\ldots,C_m\) 是有限分割，所有这些分组的并组成一个 \(\sigma\)-代数；它包含每个 \(C_j\)。反过来，\(\sigma(C_1,\ldots,C_m)\) 必须包含每个 \(C_j\) 以及它们的任意有限并。因此

\[ \mathcal G=\sigma(C_1,\ldots,C_m) =\left\{\bigcup_{j\in J}C_j:J\subseteq\{1,\ldots,m\}\right\}. \]

若 \(h\) 在每组内为常数，那么任意 Borel 集 \(B\) 的原像 \(h^{-1}(B)\) 都是若干整组的并，故属于 \(\mathcal G\)，所以 \(h\) 可测。反过来，若同组中存在 \(\omega,\omega'\)，使 \(h(\omega)<h(\omega')\)，取严格介于两值之间的 \(c\)。事件 \(\{h\le c\}\) 包含该组中的一个点却不包含另一个点，不是若干整组的并，因而不属于 \(\mathcal G\)，与 \(h\) 的可测性矛盾。证毕。

可测性在这里检查的是：面对完全相同的已知信息，规则是否给出相同决定。 这个判据不需要先计算条件期望，也不需要为四个情景指定概率。

完整情景	此刻已知信号	之后价格变化（美元/股）	规则甲持仓（股）	规则乙持仓（股）
\(u+\)	\(u\)	+2	2	1
\(u-\)	\(u\)	−2	2	−1
\(d+\)	\(d\)	+2	0	1
\(d-\)	\(d\)	−2	0	−1

规则甲在每个已知分组内相同，可以由当前信号决定。规则乙在同组内随尚未揭晓的涨跌改变，因此此时不可实施。若把乙的每一项持仓乘以后来的变化，就会得到每个情景都赚 2 美元的表面结果；那只是事后按答案选择方向。所有表中数值都是教学模型输入，不是实际交易记录。甲合法也不代表甲盈利：其毛损益分别是 4、−4、0、0 美元。

三、适应不等于来得及承担这一期的收益

规定离散时点 \(0,1,\ldots,T\)，\(S_k\) 是时点 \(k\) 已经取得的价格记录。我们把 \(H_k\) 定义为在区间 \((k-1,k]\) 内保持的股数。这里先采用理想化约定：在 \(k-1\) 时点观察并决定后，能够立即按指定价格完成调仓，没有成交延迟。

定义（离散可预测持仓）。 若对每个 \(k\ge1\)，\(H_k\) 都是 \(\mathcal F_{k-1}\)-可测的，则称 \(H\) 为离散可预测过程。这里“可预测”指第 \(k\) 段使用的系数在这一段结果出现以前已经能够确定，不是指可以预报未来涨跌。Tropp 的公开讲义 Definition 24.1 采用同一离散定义，并直接把它解释成一项下注必须在第 \(k\) 局结果揭晓前确定。⁶

在上述理想化、无分配的区间内，股票价格变化带来的毛增益是

\[ G_n=\sum_{k=1}^{n}H_k(S_k-S_{k-1}). \]

量纲是“股 × 美元/股 = 美元”。价格变化不是收益率，\(H_k\) 也不是无量纲资金权重；若换成权重模型，必须另外给出财富分母。

若令 \(H_k=\operatorname{sgn}(S_k-S_{k-1})\)，乘积就变成绝对价格变化。这个 \(H_k\) 可以在 \(k\) 时刻被算出，即关于当前信息适应，但通常不属于上一时点的信息。把“当前已经算出”误当“本期开始前已知”，就是差一个下标的前视错误。

实际成交存在延迟时，不能硬把一天当作一个无法拆开的步骤。至少要分开四个层次：execution/fill 是市场上实际成交发生；fill report received 是本系统收到成交回报；booking 是本地账本把回报写入持仓与现金记录；settlement 是合约或市场规则规定的证券与资金交收。决策时可以确定目标 \(q^*\)，但实际成交数量 \(\Delta q\) 在成交前仍可能未知。经济敞口从 execution 发生时就已改变，即使 fill report 稍后才到达；本地“已知持仓”则可能要到收到回报甚至完成 booking 后才更新。事后核账须以 execution 还原敞口，不能用 report 或 booking 的时间倒替成交时间。本篇不模拟 settlement，也不从教学账本推断真实可用现金的交收状态。

这也说明为什么“把信号整体向后移动一行”不总是足够。该行究竟代表发布日、接收日、开盘还是收盘？成交价格和数量是否对应那个事件？只有这些口径固定，移一行才有清楚含义。即使以上全部合法，资金、交易权限和成交条件还可能限制执行；可预测性只是信息条件，不是完整的成交保证。

四、用一笔交易把现金和收益接起来

以下是完全虚构的执行实验，不与 GDP 公布日的真实行情绑定。价格单位为美元/股。初始财富全部是现金 1,000 美元，持股 0；不计利息、税和现金分配，不借款、不卖空。完整价格记录为 100，规则在收到记录后决定购买 2 股；随后实际成交 2 股，每股 103，整笔入场费用 1 美元；之后按 105 估值。

先把事件顺序本身写成数据。E0–E6 只是教学标签，不是任何交易所的真实延迟：

事件	发生什么	经济上的实际持股	本地已记账持股	本篇是否给出交收现金
E0 observation	完整价格记录 100 已取得	0	0	不适用
E1 decision	目标变成买 2 股	0	0	不适用
E2 order submitted	指令已发出，是否成交仍未知	0	0	不适用
E3 execution/fill	实际买到 2 股，每股 103	2	0	不模拟
E4 fill report received	系统收到“2 股 @ 103”的回报	2	0	不模拟
E5 booking	本地账本把成交写入持仓记录	2	2	不模拟
E6 valuation	后续按 105 估值	2	2	不模拟

这里故意让 report 和 booking 分成两个事件，使层次可见；真实系统可能把它们处理得几乎同时，也可能有其他中间状态。最重要的是：E3 已改变经济敞口，不能等到 E4 或 E5 才把 103 之后的价格变化算给新持仓；另一方面，本地系统在 E3 尚未收到回报时，也不能假装已经知道实际成交数量。

为了核算这笔交易，我们另建一条经济账本：在 E3 按实际成交立即确认买入成本和费用。它是事后重建 execution 经济效果的教学约定，不是“已交收/可提取现金”字段。于是 \(C^{econ}=1000-2\times103-1=793\) 美元；按成交价 103 标记时，股票价值 206，总值 999；按 105 标记时，股票价值 210，总值 1,003。价格从 100 到 103 的变化发生在持股形成之前，所以这两股不能取得那 6 美元的账面涨幅；103 到 105 的股票增益是 4 美元，扣掉 1 美元入场费，标记损益为 3 美元。settlement 的实际时间与可用现金状态本篇保持“未建模”，绝不把 793 冒充为已完成交收的现金余额。

命题（单次成交的经济账本恒等式）。 设 execution 前模型经济现金和股数为 \(C^-,q^-\)，实际有符号成交量为 \(\Delta q\)（买入为正），成交价为 \(P^{exec}\)，费用为 \(\kappa\ge0\)。若无外部资金流入流出，并采用“成交时确认交易经济效果”的本篇账本约定，则

\[ q^+=q^-+\Delta q,\qquad C^+=C^- -P^{exec}\Delta q-\kappa. \]

在前后均采用同一个固定标记价 \(M\) 时，\(V=C+Mq\) 满足

\[ V^+-V^-=(M-P^{exec})\Delta q-\kappa. \]

证明。 把股数和现金更新式代入 \(C^++Mq^+-(C^-+Mq^-)\)，\(C^-\) 与 \(Mq^-\) 抵消，剩余 \((M-P^{exec})\Delta q-\kappa\)。当 \(M=P^{exec}\) 时，变化正好为 \(-\kappa\)。若标记价与成交价不同，则还存在按标记价计算的执行差额，不能笼统说“每次调仓只损失费用”。证明逐路径成立，不需要独立同分布、正态性或鞅假设。

现在故意把这笔成交改记成 100：现金会显示为 \(1000-2\times100-1=799\)，后续价值变成 1,009。这个反事实的算术没有错，但按我们的事件设定，100 出现时还没有基于完整记录的订单，更没有该订单的成交证据。它与实际设定的差额 \(2(103-100)=6\)，正是时钟错配。

再改变一个真实执行中必须面对的输入：假设目标仍为 2 股，却只成交 1 股，费用仍为每笔已发生入场 1 美元。现金变成 896，后续价值为 \(896+105=1001\)，标记损益 1 美元。不能继续用目标 2 股计算收益。若完全没有成交，本实验不收费用，现金和价值都是 1,000；这是一项明确的费用假设，而不是适用于所有经纪商的规则。

最后，1,003 不是退出所得，更不是“已经交收的现金”。若另假设随后以 105 全部卖出且再付 1 美元退出费用，按同一经济账本约定得到退出后经济现金 1,002，已实现净损益 2 美元；部分成交的一股同样退出时为 1,000。这里仍没有模拟卖出交易的 settlement。若要计算收益率，还必须明确分母（例如初始财富、投入资本或其他资金口径）；本页只报告美元价值与美元损益，不把 2/1000 或 2/207 中任何一个自动命名为“回报率”。

五、信息条件也要贯穿训练过程

把交易时钟写对以后，信号本身仍可能含有未来信息。一个模型可能只用昨天的特征发出今天的订单，却用整段历史的均值标准化输入，或用测试期结果挑出参数。此时泄漏发生在模型生成之前，不在最后的下单时点。

FPP3 §5.10 用逐次前移的预测起点组织训练与检验，训练数据在被预测观测之前；其单步与多步示意图提醒我们，预测期限属于实验设定。⁷ 本篇只接过这一时间原则，不把其预测误差结果解释成交易收益，也不在这里展开调参和多重检验。

更具体地，设第 \(s\) 个训练样本的特征实际就绪时点为 \(b_s\)，目标标签就绪时点为 \(\ell_s\)。在时点 \(t\) 拟合模型时，样本至少要满足 \(b_s\le t\) 且 \(\ell_s\le t\)；预处理参数、训练选择和版本选择也必须只使用届时允许的信息。若目标是未来五天累计收益，样本起点早于 \(t\) 不足以证明标签已经完整出现。这个条件是把前面的信息约束应用到训练数据，不是另一种神秘的“回测技巧”。

历史训练标签有时按“后来公布的最终估计”定义，有时按“首次发布数”定义。两者可以研究不同问题，但必须先选定目标；即使目标定义为最终估计，在历史训练时也不能使用尚未获得的最终标签。后续 QT21 会用完整实验处理这一层。

配套 交互页 同时保留三种视角：信息分组、正确与错配的成交账本、部分成交。先预判从 2 股改到 1 股会改变哪些行，再打开结果。无法运行脚本时，本篇的情景表与资金账就是静态等价说明，不需要猜图中的隐藏状态。

六、自检：指出哪一步错了，而不只说“有泄漏”

题一：解释与证明。 表中规则乙在第二阶段结束后已经知道所有持仓数字。为什么这不能说明它可用于赚取第二阶段的价格变化？用分组判据回答。

解析。 第二阶段结束后的可测性只对应 \(\mathcal F_2\)。要承担从第一阶段到第二阶段的变化，持仓应在 \(\mathcal F_1\) 下确定。乙在 \(C_u\) 和 \(C_d\) 内都取不同值，违反第二节命题，所以不能从第一阶段信息生成该持仓。把记录事后补齐不等于事前有这项信息。

题二：迁移计算。 初始现金 1,000；目标买 2 股，但只在 104 成交 1 股，入场费 1；之后按 102 估值。再假设全部按 102 卖出，退出费 1。分别求标记价值和最终现金。

解析。 成交后现金 \(1000-104-1=895\)，实际持股 1；标记价值 \(895+102=997\)，标记损益 −3。卖出后现金 \(895+102-1=996\)，最终净损益 −4。目标数量 2 不进入实际资金账；102 的标记本身也没有使持股变成现金。

题三：信息时间迁移。 一条发布记录 08:30:00 公开，假设系统 08:30:05 才收到，08:30:06 完成计算。08:30:03 的决定能否用它？08:30:05 的决定呢？

解析。 08:30:03 只有来源公开，系统尚未收到，不能用。08:30:05 收到原始信息并不代表该计算结果已经生成；若决定依赖计算结果，还要等到 08:30:06 及明确的事件顺序。五秒与一秒都是题目假设，不是 BEA 或 ALFRED 的延迟测量。数学可测性只说明结果是已有信息的函数，不保证计算已经完成；计算耗时是执行层的额外约束，应与信息条件分别记录。

读到这里，我们能检查信号使用了什么信息、持仓何时形成，以及损益是否由同一笔实际成交产生。要进一步问“给定当前信息，未来平均结果是多少”，才进入 QT11 的条件期望；该问题不需要倒过来成为本篇的先修。