产业链、投入产出与上下游联系

EI-05 · 经济与行业分析 · 核心
学习任务：把一项最终需求追到直接和间接投入，算出给定生产结构下的总产出要求，再说明把这个要求变成现实交付还需要哪些条件。共同部分加一条选读分支约 18–20 分钟。

一、从一家企业的采购，走到整张生产网络

我们先把产业链理解为生产活动之间的交易联系：电池厂采购金属、塑料与化学品，供应这些材料的生产者又采购能源、设备维护和其他材料。一笔下游采购同时是某个上游的销售。把这些联系放到一起，我们关心的就不只是“谁给谁供货”，而是满足一项最终需求，需要整张网络完成多少生产。

这里有三个不同对象。企业名单回答谁和谁有交易；产品分类回答交易的是什么；行业分类回答哪些生产活动使用或生产这些产品。一个行业可以生产多种产品，同一种产品也可以来自多个行业。因此，不能把公司的供应商名单直接改名为官方投入产出表，也不能把行业产出当成某家公司的收入。

我们用 BEA 的一组三产品方法例走完计算，再回到电池这个真实行业。方法例来自 2009 年更新的官方手册，不代表某个当前行业的投入系数；字母 A、B、C 是示例标签。下文把产品叫作“甲、乙、丙”，与原表字母逐一对应。¹

使用表（use table）的各行列出产品，各列列出使用产品的行业与最终需求。沿一列向下读，是该行业采购了什么；沿一行向右读，是该产品交给哪些行业使用，又有多少交给最终使用者。下面保留原表的主要构成与余额。金额使用原例的统一货币单位，原表未指定百万或十亿。

产品或项目／使用者	行业甲	行业乙	行业丙	最终需求	产品总产出或合计
产品甲	50	120	120	40	330
产品乙	180	30	60	130	400
产品丙	50	150	50	20	270
废料（scrap）	1	3	1	0	5
增加值	47	109	34	—	190
行业总产出	328	412	265	190	—

原件：BEA Chapter 12，Table 12.5，印刷 p.12–10；中文重排。横杠表示此处没有对应的交叉项目，不是额外的零产出。

例如行业甲的中间投入为 \(50+180+50+1=281\)，再加增加值 47，得到行业产出 328；产品甲则有 \(50+120+120+40=330\) 的去向。两条等式各自闭合，但 328 和 330 回答的是不同问题。

另一张生产表（make table）说明各行业生产了哪些产品。原例中，行业甲生产产品甲 300、产品乙 25 和废料 3，总计 328；三个行业合起来生产产品甲 330。因此“每一元行业甲产出需要什么投入”和“每一元产品甲产出需要什么投入”不会天然相同。¹

二、把交易金额变成可用于追踪的系数

先从行业的采购配方出发。令 \(U_{ij}\) 表示行业 \(j\) 使用产品 \(i\) 的金额，\(g_j>0\) 表示该行业的总产出。产品对行业的直接需要系数是 \(B_{ij}=U_{ij}/g_j\)。于是行业甲每生产一元产出，直接使用的产品甲约为 \(50/328=0.152439\) 元。这是在固定计价与生产结构下的比例，而不是供应商毛利率。

为了追踪最终的产品需求，我们还要把“哪些行业生产该产品”纳入计算。BEA 用生产表推导行业市场份额矩阵 \(D\)，并针对废料等副产品作调整，得到转换矩阵 \(W\)。在该例采用的行业技术假设下，\(W\) 把产品产出要求转换为所需行业产出，再由 \(B\) 转为产品投入。本站将产品对产品的直接需要矩阵记为 \(A\equiv BW\)。 这是教学记号；BEA 原文的 \(D\) 仍指市场份额矩阵。

这一步为何有必要？下游只说“需要一元产品甲”，没有指定由哪个行业生产。先按原表给定的生产结构分配到行业，再使用各行业的投入结构，才能算出这一元产品的直接需要。原例的转换还处理废料：它随其他生产产生，不作为独立的最终需求来驱动生产。因此不能把 \(W\) 的每个数都当普通企业市场份额。¹

以产品甲需要产品甲的系数为例，使用手册展示的圆整数：

\[ \begin{aligned} A_{\text{甲甲}}&\approx 0.152\times0.917\\ &\quad+0.291\times0.091\\ &=0.165865\approx0.166. \end{aligned} \]

从这里往后，我们直接固定 Table 12.11 展示的三位小数矩阵，不继续用其他圆整表格逐层倒推它：

\[ A=\begin{bmatrix} 0.166&0.290&0.441\\ 0.510&0.109&0.215\\ 0.173&0.346&0.202 \end{bmatrix}. \]

始终先看列，再看行：\(A_{\text{甲乙}}=0.290\) 表示生产一元产品乙，直接需要 0.290 元产品甲。沿产品实物流的方向，这是“甲供应乙”；沿需求追踪的方向，则是“乙的生产要求引出甲的投入要求”。两种箭头方向相反，描述的关系并不冲突。

这里采用固定比例、固定计价和给定产品结构。若价格相对变化、改换技术、投入替代或企业构成显著变化，旧的金额系数就未必仍然描述新的生产过程。先把条件固定住，才有下面清楚的比较。

三、上游也要采购：从一轮需要到完全需要

令 \(y_i\ge0\) 为产品 \(i\) 向最终需求的交付，\(x_i\) 为其总产出。总产出包括交给其他生产者作投入的部分，也包括最终交付。对每个产品都有

\[ x_i=\sum_j A_{ij}x_j+y_i. \]

写成向量就是 \(x=Ax+y\)。如果 \(I-A\) 可逆，代数解是 \(x=(I-A)^{-1}y\)。不过，“矩阵可以求逆”还不足以保证非负、可解释的生产要求。我们在这里使用更明确的充分条件：\(A\) 逐项非负，而且 \(\rho(A)<1\)。这保证逆矩阵可由非负的各轮需要相加得到。

本例甚至可以直接用列和来验证。矩阵的三个列和为 0.849、0.745、0.858，所以 \(\|A\|_1=0.858<1\)；因而 \(\|A^k\|_1\le0.858^k\to0\)。独立数值计算给出的谱半径约为 0.8155418743，与这个充分条件一致。

我们不必把逆矩阵当成黑箱。令

\[ S_m=I+A+\cdots+A^m. \]

逐项相减有 \((I-A)S_m=I-A^{m+1}\)。当 \(m\to\infty\)，右边趋于 \(I\)，因此

\[ R_A=(I-A)^{-1}=I+A+A^2+\cdots, \]\[ x=R_Ay=y+Ay+A^2y+\cdots. \]

现在每一项都有生产含义：\(y\) 是最终交付本身；\(Ay\) 是生产这些最终产品所需的直接投入；\(A^2y\) 是生产第一轮投入又需要的投入。以 \(A^2_{\text{甲乙}}\) 为例，

\[ \begin{aligned} A^2_{\text{甲乙}}&=\sum_k A_{\text{甲}k}A_{k\text{乙}}\\ &=0.048140+0.031610\\ &\quad+0.152586\\ &=0.232336. \end{aligned} \]

三项分别经过中间产品甲、乙、丙。网络中可以绕回同一类产品，因此路径不是一根不分叉的“上游—下游”直线。轮次是投入关系的层数，不是日历上的生产期数；要问交货需要几周，还必须加上交期和库存资料。

取原例最终需求 \(y=(40,130,20)^\top\)，第一轮投入需要为

\[ Ay=(53.16,38.87,55.94)^\top. \]

其中产品甲的 53.16 来自 \(0.166\times40+0.290\times130+0.441\times20\)。只准备这些投入还不够，因为它们也要生产。以下把累加过程完整地展示出来：

累计范围	产品甲	产品乙	产品丙
最终交付 \(y\)	40.000000	130.000000	20.000000
\(y+Ay\)	93.160000	168.870000	75.940000
\(y+Ay+A^2y\)	137.926400	212.245530	109.885580
累加至 \(A^{10}y\)	292.023770	363.032451	238.550412
全部轮次 \(R_Ay\)	329.605853	399.672461	269.810131

这些数字是同一展示矩阵的重建，单位沿原例。它们是总产出要求，不是新增加值。把各环节销售计入总产出本来就会包含中间交易；若把这些金额再当 GDP 相加，就把同一生产过程的中间使用重复当作最终结果。

四、同一张原表，为什么会出现三组接近而不同的数

手册 Table 12.14 另外发表了三位小数的完全需要矩阵：

\[ R_{\mathrm{pub}}=\begin{bmatrix} 2.487&1.500&1.778\\ 1.736&2.300&1.579\\ 1.292&1.322&2.323 \end{bmatrix}. \]

用它乘原例 \(y\)，得到 \((330.04,400.02,270.00)^\top\)；使用表的原产品总产出则是 \((330,400,270)^\top\)。下面三种对象都值得保留，但各自负责不同的核查。¹

对象	产品甲	产品乙	产品丙	回答的问题
展示 \(A\) 求逆后乘 \(y\)	329.605853	399.672461	269.810131	本页路径算法收敛到哪里
发表的 \(R_{\mathrm{pub}}y\)	330.040000	400.020000	270.000000	圆整完全需要表怎样重建原例
使用表原产品总产出	330.000000	400.000000	270.000000	原例记录的总量

矩阵求逆会把直接系数的细小差别传到整张网络；先圆整 \(A\) 再求逆，与先用更完整精度计算再展示 \(R\)，是不同操作。这里不把未公开的内部精度补出来，只分别重算可见输入。因此，逐轮动画必须收敛到第一行；第二行的 0.04、0.02 是相对于第三行的差额，并不是同一条动画的剩余项。

再看一处容易读反的系数。\(R_{\mathrm{pub},\text{甲乙}}=1.500\) 表示每一元产品乙最终需求所引出的产品甲完全需要。因为这是非对角项，\(I_{\text{甲乙}}=0\)，其中没有“最终交付产品甲自身的一元”。只有对角项，例如 \(R_{\text{乙乙}}\)，才含最终交付产品乙本身的那一元。

先用下面实验完成两步：保持 \(y\) 不变，逐渐增加路径层数；然后只把产品乙的最终需求从 130 改为 140。使用展示矩阵计算，新增总产出要求为

\[ \begin{aligned} \Delta x&=R_A(0,10,0)^\top\\ &=(14.980276,22.986523,13.214191)^\top. \end{aligned} \]

产品乙需要增加的不止最终交付的 10，因为其他行业为支持这项交付也会反过来需要产品乙。实验里的原表总产出卡仍然是原例快照；改了 \(y\) 以后，它不是新情景应当追平的目标。

五、回到现实：网络要求怎样变成可交付的供给

前面的计算回答“按这套结构生产，需要多少”，而现实还要回答“谁能在所需时点交出来”。矩阵没有替我们安排生产排程、资金、运输或采购合同。选择下面一条分支，把这一步接上。

应用分支：电池的采购列与供应行

BEA 在 2026 年 5 月 4 日的官方文章中，用 2017 年详细供给使用表介绍蓄电池制造业。文章让读者沿使用表的 EK 列看金属、塑料、橡胶、化学品等投入，再沿供给表第 144 行看哪些国内行业和进口供应蓄电池，并报告约 53% 国内生产、47% 进口的历史构成。本篇引用的是该官方文章的历史摘例，不把这两个比例改称当前供应结构或独立工作簿复算。²

这两种阅读方向正好对应两个任务。使用列帮助定位“生产电池依赖什么”；供给行帮助定位“电池还可以从哪里取得”。有替代来源并不意味着它在本周有可用数量，也不意味着其产品已符合客户要求。研究具体公司时，应在这条来源边上补上规格、合同、交期和可替代数量。

用一个明确虚构的采购过程练习。这里的千克级用量是另行给定的业务物量/BOM 信息，不是由前面的金额投入产出系数直接换算出来。假设一家工厂每周生产既定数量的产品需 20 千克某投入，原供货降至每周 16 千克，已有可用库存 8 千克；投入比例固定，暂不考虑损耗或其他瓶颈。每周缺口是 4 千克，库存可以维持两周。若新来源要到第 5 周开始才能交货，第 3、4 周仍各缺 4 千克。此时“找到了第二来源”还没有完成交付桥；要维持原产量，还须借调库存、加快认证，或找到这两周可到货的补充供应。

它也说明比较静态和供给约束怎样接合：\(R_A\Delta y\) 给出新增需求的生产要求；采购、库存与可用产能决定这组要求是否可行。若某个产出要求超过容量，不能分别把向量各项截到上限，再称其仍满足 \(x=Ax+y\)；网络内其他投入与最终交付必须重新协调。

研究分支：容量紧张时，企业会怎样调整

Comin、Johnson、Jones 的 FEDS 2023-075 版本在国内生产者设定中允许上游投入以及国内、国外来源之间的替代，并给生产者设置容量约束；国外生产者也有相应的容量和定价设定。本篇只借 §§2.2–2.3 看这些额外条件，不使用该文的通胀分解数值。³

我们把其中的约束逻辑写成紧凑形式：实际产出满足 \(q\le\bar q\)，容量约束的乘子满足 \(\mu\ge0\)，并有 \(\mu(\bar q-q)=0\)。容量松弛时乘子为零；当容量限制生产时，放松约束可能有正的边际价值。这个“多一单位可用产能值多少”的对象，没有包含在前面的固定投入矩阵里。

由此可以正向搭出一条传导：下游最终需求增加，先提高网络所要求的投入；上游若有闲置资源，可增加产出；若某项容量紧张，则需要比较提价、改换来源、重新组合投入或延后交付。价格改变又可能改变客户需求。选择哪条路径，取决于库存、可替代性、价格调整和时间条件。正因为这些条件不同，同一张静态结构图可以对应不一样的现实数量和价格响应。

六、自己重建一次，再换一个对象

任务一：从一个矩阵格走完两层路径

不看前面的展开式，说明 \(A_{\text{甲乙}}\) 的经济方向，再计算 \(A^2_{\text{甲乙}}\)。发表的完全需要系数 1.500 能否先减去 1，当作间接需要？

解析。 每一元产品乙产出直接需要产品甲 0.290 元。第二层经由甲、乙、丙，分别需要 \(0.166\times0.290=0.048140\)、\(0.290\times0.109=0.031610\)、\(0.441\times0.346=0.152586\)，合计 0.232336。1.500 是非对角完全需要系数，单位阵项本来就是零，不能减去 1。若要区分直接与更高轮次，可以在同一精度对象下减去直接系数；例如展示矩阵自身的完全系数约 1.498028，减 0.290 后约 1.208028 才是第二轮及以后的需要。

任务二：增加十元最终需求

产品乙最终需求增加 10，甲和丙不变。用展示 \(A\) 计算新增完全需要，再解释为什么产品乙的总产出要求增加超过 10。若产品乙原本恰好只能生产基准需要量，还能照此交付吗？

解析。 取 \(R_A\) 的第二列乘 10，得到 \((14.980276,22.986523,13.214191)^\top\)。其中乙的 22.986523 包括新增最终交付 10 和网络各层所需的乙投入。若乙没有额外可用容量，这只是需要量，不是可实现量；应重新考虑扩产、替代、库存或减少最终交付，不能把乙独立截断而保留甲丙的原计算结论。

任务三：把方法迁移到自己的行业

假设你研究食品加工，一份行业表显示某类包装投入系数很小，但工厂必须取得合格包装才能交货。你已经知道上游供应中断四周。请画出一条可检验的生产路径，并指定最先需要的三项资料。

解析。 金额系数小并不排除它成为不可替代的瓶颈。路径应从订单所需产品数量出发，转成包装规格和物量要求，再对照现有合格库存、已确认到货与替代供应的认证时间。最先取得的资料可以是每件产品的包装用量及规格、可用库存和未来四周的确定交付、替代来源通过认证并到货的最早时间。资料齐全后先算周度缺口，再判断对产出、交付和收入确认的影响。这样，投入产出结构负责发现关系，具体业务资料负责判断这条边在研究期限内是否真正限制交付。

回到整张图，我们已经走完“交易记录—直接系数—多轮需要—现实供给条件”。下一步把节点加上国家与所有权属性，就可以进一步讨论全球生产网络与贸易布局 ↗。