积分与可积性

期望可以是有限数，也可以是扩展实数中的无穷；有正有负时，甚至可能根本没有定义。这页用于核对这些边界，以及“把极限移进期望”究竟需要什么条件。可测性记号见 可测空间与概率测度 ↗。

从加权和到积分

固定测度空间 \((\Omega,\mathcal F,\mu)\)。令 \(s=\sum_{i=1}^m a_i1_{A_i}\) 为非负简单函数，其中 \(a_i\ge0\)、\(A_i\in\mathcal F\)，则定义

\[ \int s\,d\mu=\sum_i a_i\mu(A_i), \]

并约定 \(0\cdot\infty=0\)。表示中的集合可以重叠；把两种表示的集合共同细分为不交小块，两种写法在每块的总函数值相同，故积分相同。积分不依赖这项表示选择。¹

对非负可测函数 \(f\)，定义

\[ \int f\,d\mu =\sup\left\{\int s\,d\mu:\ 0\le s\le f,\ s\text{ 为简单函数}\right\}. \]

结果允许是 \(+\infty\)。例如用逐渐加高的截断与逐渐变细的二进网格，可以构造简单函数 \(s_n\uparrow f\)；单调收敛定理会保证它们的积分趋于同一上确界。定义本身并没有先假定这项极限交换成立。

概率空间中取 \(\mu=P\)，积分便是期望。有限状态的加权平均是它的特例，而不是另一种互不相干的“经验平均”。

有符号期望：三个不同的问题

令 \(X\) 为实值可测随机变量，记 \(X^+=\max(X,0)\)、\(X^-=\max(-X,0)\)。先分别定义两个非负期望，再讨论相减：

\(E[X^+]\)	\(E[X^-]\)	\(E[X]\) 的状态
有限	有限	有限实数；称 \(X\in L^1\)
\(+\infty\)	有限	扩展期望为 \(+\infty\)，但不在 \(L^1\)
有限	\(+\infty\)	扩展期望为 \(-\infty\)，但不在 \(L^1\)
\(+\infty\)	\(+\infty\)	未定义；不能作 \(\infty-\infty\)

因此可积指 \(E|X|<\infty\)，等价于两部分期望都有限。这比“某种截断求和看起来能抵消成一个数”强。²

例如令 \(Z\ge1\) 满足 \(P(Z>x)=x^{-0.8}\)（\(x\ge1\)），再独立选择等概率正负号 \(\varepsilon\)。虽然 \(\varepsilon Z\) 的分布对称，但其正负部分期望都无穷，不能凭对称性写 \(E[\varepsilon Z]=0\)。

一般条件期望 [[QT11|\(E[X\mid\mathcal G]\) 的定义与投影]] 在主篇中使用 \(X\in L^1\)；谈有限均方误差时还需更强的 \(E[X^2]<\infty\)。不能把“期望存在”和“方差有限”当作同一条件。

两张极限条件卡

单调收敛定理。 在任意测度空间上，若可测函数满足 \(0\le f_n\uparrow f\)，则 \(\int f_n\,d\mu\uparrow\int f\,d\mu\)，允许极限为无穷。a.e. 版本可先在共同可测零测集上修正。非负性和单调性都是这里的条件。³

控制收敛定理（DCT）。 若 \(f,f_1,f_2,\ldots\) 均为实值可测函数，\(f_n\to f\) a.e.，且存在同一个非负可积函数 \(g\)，使对所有 \(n\) 都有 \(|f_n|\le g\) a.e.，则 \(f\) 与各 \(f_n\) 可积，而且

\[ \int |f_n-f|\,d\mu\longrightarrow0,\qquad \int f_n\,d\mu\longrightarrow\int f\,d\mu. \]

每个 \(f_n\) 各自有界或各自可积都不够；支配函数必须统一，并且本身可积。Dembo 的证明先由 \(|f_n|\le g\) 与 a.e. 收敛得到 \(|f|\le g\)，再对 \(|f_n-f|\le2g\) 使用反向 Fatou 不等式，得到 \(\int|f_n-f|\,d\mu\to0\)；于是 \(|\int f_n\,d\mu-\int f\,d\mu|\le\int|f_n-f|\,d\mu\to0\)。相关证明见原文 pp.42–43。⁴

最容易误用的反例是在 \((0,1)\) 的 Lebesgue 概率空间上取

\[ f_n(x)=n\,1_{(0,1/n)}(x). \]

每个固定 \(x>0\) 最终都会在支撑外，因此 \(f_n(x)\to0\)；但每项积分都是 \(n(1/n)=1\)。这里不能交换极限与积分。

\(n\)	高度	支撑长度	积分	\(f_n(0.02)\)
\(2\)	\(2\)	\(1/2\)	\(1\)	\(2\)
\(10\)	\(10\)	\(1/10\)	\(1\)	\(10\)
\(100\)	\(100\)	\(1/100\)	\(1\)	\(0\)

质量挤到越来越窄的区间，不会因为每个固定点最终归零就自动消失。这个例子既不满足递增条件，也不存在统一可积支配，否则 DCT 会与积分恒为 \(1\) 矛盾。

截断平均不能证明原期望有限

取无量纲的 Pareto 教学模型：\(Z\ge1\)，\(P(Z>x)=x^{-\alpha}\)，\(x\ge1\)、\(\alpha>0\)。直接积分密度 \(\alpha x^{-\alpha-1}\) 得到

\[ E[Z^q]=\alpha\int_1^\infty x^{q-\alpha-1}\,dx =\frac{\alpha}{\alpha-q}\quad(0<q<\alpha); \]

\(q\ge\alpha\) 时该积分发散。

\(\alpha\)	\(E[Z]\)	\(E[Z^2]\)
\(0.8\)	\(+\infty\)	\(+\infty\)
\(1.5\)	\(3\)	\(+\infty\)
\(3\)	\(3/2\)	\(3\)

若显示的是封顶变量 \(\min(Z,b)\)，其中 \(b\ge1\)，则计算结果为

\[ E[\min(Z,b)] =1+\int_1^b x^{-\alpha}\,dx =\begin{cases} 1+\dfrac{b^{1-\alpha}-1}{1-\alpha},&\alpha\ne1,\\[2mm] 1+\log b,&\alpha=1. \end{cases} \]

积分式也可直接从封顶分布的密度部分与 \(b\) 处的点质量相加得到。

默认 \(\alpha=1.5,b=100\) 时，封顶平均为 \(2.8\)，低于完整均值 \(3\)。它不等于“超出 \(b\) 的值全部删为零”后的平均：后者是

\[ E[Z1_{\{Z\le b\}}]=E[\min(Z,b)]-bP(Z>b)=2.8-0.1=2.7. \]

保持 \(\alpha=1.5\)，取 \(b=10,100,1000\)，封顶平均依次约为 \(2.368\)、\(2.800\)、\(2.937\)。精确值仍由上式直接计算。若改成 \(\alpha=0.8\)，任何有限 \(b\) 的封顶平均仍然有限，但不能因此说未封顶的均值存在于有限实数中。

积分面板还给出一个独立的简单函数例：在 \(U\sim\mathrm{Unif}[0,1)\) 上，\(s_n=2^{-n}\lfloor2^nU\rfloor\uparrow U\)，其平均为 \((1-2^{-n})/2\)。\(n=1,2,4,8\) 时依次为 \(0.25,0.375,0.46875,0.498046875\)。这是从下方逼近一个固定可积函数，和不断挤向零点的尖峰序列不同。

自检与解析

题 1。 \(\alpha=1.5\) 时，\(Z\) 可积吗？\(Z-3\) 的平方可积吗？有限样本中没有观察到极端值，能否改变答案？

解析。 \(E[Z]=3<\infty\)，所以 \(Z\in L^1\)。但 \(E[(Z-3)^2]=\infty\)：在 \(Z>6\) 时，\((Z-3)^2\ge Z^2/4\)，而这部分二阶矩发散。矩是否存在是给定模型的性质，有限样本没有出现极端值不能证明总体二阶矩有限。

题 2。 有人说“\(f_n(x)\to0\) 且每个 \(\int|f_n|=1\)，所以可由 DCT 推出 \(\int f_n\to0\)”。错误在哪一步？

解析。 各项 \(L^1\) 范数一致有界，不等于存在统一可积的点态支配函数。尖峰例恰好满足前者而不满足后者。DCT 的缺口不能用一组相同的积分值补上。

题 3。 某函数的正部期望无穷、负部期望为 \(2\)。可以说它“没有任何期望”吗？能否使用本篇所指的 \(L^1\) 条件期望定理？

解析。 它有扩展期望 \(+\infty\)，但没有有限期望，且不属于 \(L^1\)，所以不能直接套用该定理。非负扩展条件期望可以另行定义，但不能据此把有符号的 \(\infty-\infty\) 运算合法化。