流动性提供：库存、费用与比较基准

把两种资产放进自动做市池以后，取回的数量通常会变化。价格上涨时，池子可能已经卖掉一部分上涨的资产；价格下跌时，它又可能买入更多。手续费是这一投资的收入之一，但不是唯一的财富变化。要知道到底赚了什么，我们需要同时看库存、交易路径和比较基准。

这篇先用一个两步模型把账算清，再转到集中流动性。单位约定始终不变：风险资产叫X，计价资产叫Y，价格 \(P\) 的单位是Y/X；库存 \(x\) 为X，现金 \(y\)、财富、费用和LVR均为Y。这里没有真实链上池的成交或gas数据，所有费用数字都是独立教学假设。

1. 恒定乘积池为什么会卖涨买跌

从 \(x_0=y_0=1\) 开始，池子保持 \(xy=1\)。把参考市场价格记为 \(P\)，在这个无费、充分套利的模型中池内边际价格与参考价一致，故 \(P=y/x\)。联立两个式子便得到

\[x^*(P)=\frac1{\sqrt P},\qquad y^*(P)=\sqrt P.\]

于是库存市值为

\[V(P)=Px^*(P)+y^*(P)=2\sqrt P.\]

价格从1涨到1.4，X库存从1降到0.845154，Y库存从1增至1.183216。池子不是仍然持有原来的1X；它在价格变化过程中卖出了X。价格下跌时方向相反。这种库存响应是策略本身，不是计算误差。¹

先与“什么都不动”比较。同样初始1X+1Y，静态持币的财富是 \(H(P)=P+1\)，所以

\[V(P)-H(P)=2\sqrt P-P-1=-(\sqrt P-1)^2.\]

只看起点与终点时，这个差额非正，价格回到1就回到零。但这没有告诉我们：如果用同样的库存调整规则，在参考市场上逐次交易，会得到什么结果。这个第二基准才是LVR讨论的对象。

2. 同样的风险库存，可以有不同的现金

考虑四条路径：\(1\to1.4\to1.8\)、\(1\to1.4\to1\)、\(1\to0.6\to1\)、\(1\to0.6\to0.2\)。这是参考论文有限树的教学重建：每个节点上下各半的模型概率，使价格为鞅；不是对未来币价的预测。原文正文的最后节点与图有出入，这里采用Figure 3的0.2，并按自融资关系重新算库存。²

再平衡基准始终把X库存调到池子的 \(x^*(P)\)，但每次都按变化后的参考价交易。若第 \(k\) 次价格为 \(P_k\)，则

\[ \begin{aligned} x_k&=1/\sqrt{P_k},\\ y_k^{R}&=y_{k-1}^{R}-P_k(x_k-x_{k-1}),\\ R_k&=P_kx_k+y_k^{R}. \end{aligned} \]

第二式是自融资条件：买X减少Y，卖X增加Y，没有外部注资。注意它的 \(y_k^R\) 不必等于池子的 \(\sqrt{P_k}\)。

我们慢慢走一次上涨后回归的路径。价格到1.4时，基准卖出 \(1-1/\sqrt{1.4}=0.154846\) X，按1.4收到0.216784 Y，因此 \(y_1^R=1.216784\)。此刻总财富2.4，而池子只有 \(2\sqrt{1.4}=2.366432\)。两者持有相同0.845154 X，差别全在Y。

下一步价格回到1，基准买回0.154846 X，支出0.154846 Y，剩1.061938 Y。加上1X，财富2.061938。池子回到1X+1Y，财富2。它相对原封不动的持币没有亏损，却比同库存再平衡基准少0.061938。

同终价的两条路径，LVR仍不同

无手续费与成本；四路径是模型状态，不是时间

• 池子V
• 静态持币H
• 再平衡R

财富Y

0.671.261.852.443.03

上→上上→回1下→回1下→下

3. LVR不是相对持币损失的新名字

这里定义无费的 \(\mathrm{LVR}_k=R_k-V(P_k)\)。它比较的是同风险库存基准与池子，不是直接比较静态持币。

价格路径	池子V，Y	静态持币H，Y	再平衡R，Y	LVR=R−V，Y
1→1.4→1.8	2.683282	2.800000	2.738062	0.054780
1→1.4→1	2.000000	2.000000	2.061938	0.061938
1→0.6→1	2.000000	2.000000	2.116398	0.116398
1→0.6→0.2	0.894427	1.200000	1.083602	0.189175

两条回到1的路径，\(V-H\) 都为零，LVR却不同。这不是两个损失指标互相矛盾，而是它们问了不同的问题：前者问“比一直拿着初始资产怎样”，后者问“同样改变风险库存，但在参考价交易，会怎样”。

还有一个直接的数学检查。因为 \(V'(P)=x^*(P)\) 且 \(V\) 凹，单步有

\[V(P_k)-V(P_{k-1})\le x^*(P_{k-1})(P_k-P_{k-1}).\]

右边恰是再平衡基准在价格变化、尚未调仓前的财富增量。于是每一步 \(R-V\) 的增量非负。证明只用正价、凹函数切线不等式及自融资，不需要读者先学随机微积分。

在这棵模型Q树上，基准与持币的期望均为2Y，池子期望1.894427Y，所以期望无费LVR为0.105573Y。这个Q期望用于检查模型的公平参考交易，不是现实LP预期收益。现实的参考市场也有成本，不能把理想基准的收益直接当作可实施套利。

4. 手续费另放一层，不能悄悄改掉基准

前面的V与R都是无费库存财富。现在独立假设池子另收0.02Y费用、支出0.005Y成本，费用提取到池外现金，不再投入库存。净费用现金为0.015Y，总净所得为

\[W_{\rm LP}=V+0.02-0.005=V+0.015.\]

四条路径的无费库存和结构LVR并未改变，只是总所得多了0.015Y。期望净所得变成1.909427Y，与R的期望差变成0.090573Y；这个含费差额不能重新叫作刚才定义的结构LVR，也不能直接继承它每步非负的结论。若某段费用较高，净差额完全可能减小甚至反号。

这种单列费用的处理对应论文的简化假设：费用用计价资产支付，不改变池子曲线。³ 真实协议是否把费用再投入、怎样分配，以及调整头寸要付多少成本，需要另读具体协议和实际记录，而不是给V多加一个“年化APR”。

5. 集中区间：价格越界以后，你拿着什么

Uniswap v3的集中流动性允许把流动性放在有限区间。价格越过区间后，头寸变为单一资产、不再提供该区间内的活跃交换流动性；重新进入时才重新活跃。⁴

我们用连续价格近似，区间 \([p_a,p_b]=[0.64,1.44]\)，起点P=1，初值2Y。区间内的实际库存为

\[ \begin{aligned} x(P)&=L\left(\frac1{\sqrt P}-\frac1{\sqrt{p_b}}\right),\\ y(P)&=L\left(\sqrt P-\sqrt{p_a}\right). \end{aligned} \]

在P=1时，\(x=L/6\)、\(y=L/5\)，因此初值 \(x+y=11L/30=2\)，解得 \(L=60/11\)，\(x_0=10/11\) X、\(y_0=12/11\) Y。

若价格涨到1.69，已经超过上界。头寸变成 \(x=0\)、\(y=L(\sqrt{1.44}-\sqrt{0.64})=24/11\) Y，总库存价值2.181818Y。它卖完了X，不再跟随X继续上涨。相同初始库存的静态持币此时是

\[H=1.69\times\frac{10}{11}+\frac{12}{11}=2.627273\text{ Y}.\]

集中区间：上界以后库存全为Y

区间[0.64,1.44]；越界不再收取新的swap费

• 区间库存市值
• 原库存持币市值

财富Y；横轴价格Y/X；费用另列

0.671.291.912.533.15

0.41.22.0

本分支另设累计费用0.05Y、成本0.01Y，净所得2.221818Y。这里绝不沿用上一节的0.02／0.005；两组是不同教学分支。若要追平此路径上的静态持币，需要累计费用

\[H-V+\mathrm{cost}=2.627273-2.181818+0.01=0.455455\text{ Y}.\]

这只是给定路径的门槛，不是交易量会产生该费用的预测。区间外也不能继续拿此前费率乘时间。若主动移区间，需要新交易、资产转换及gas；这些改变原有策略，应作为新决策记录。本例没有声称这两个边界是某个已部署池的有效tick。

6. 选读：连续时间里同一个差额

主线有限树已经足以理解库存和基准。熟悉Itô公式的读者可以再把它连到连续形式。在零利率、正的连续价格过程、固定池子曲线、\(V\in C^2\)、\(V'=x^*\)，以及使随机积分成立的局部平方可积条件下，自融资基准为

\[R_t=V(P_0)+\int_0^t x^*(P_s)\,dP_s.\]

对V用Itô公式并相减，完整得到

\[R_t-V(P_t)=-\frac12\int_0^t V''(P_s)\,d[P]_s.\]

凹性令被积量非负。若 \(d[P]_t=\sigma_t^2P_t^2dt\)，瞬时增长率就是 \(\tfrac12\sigma_t^2P_t^2|x^{*\prime}(P_t)|\)。若还要把R称为期望保持不变的Q鞅，需要相应真鞅/可积条件，不能仅凭形式随机积分就跳到期望等式。⁵

这段推导属于连续、无摩擦参考市场模型。跳跃价格、离散成交、费用改变曲线或主动增减流动性时，必须重新检查条件，不能原样贴上“保证净盈利”或“永远亏损”的结论。

7. 实验、自测与完整解析

先不勾选费用，比较两条回到P=1的路径，逐行检查再平衡现金。接着启用0.015Y净费用层，观察总所得变化而结构LVR不变。最后切换集中区间，移动终点价格跨过上界，确认X变为0，以及费用参数切换为独立0.05／0.01。

解释题。 为什么1→1.4→1与1→0.6→1的相对静态持币差均为零，而LVR分别为0.061938和0.116398？

静态持币只保留初始1X+1Y，回到同一终价便回到同一财富。再平衡基准在上行路径先卖后买，在下行路径先买后卖；两条路径的交易数量不同，因此留下不同Y余额。LP虽然回到初始库存，却没有取得按参考价逐次交易的那份现金。

迁移题。 若有限树净费用提高到0.12Y，是否应该把所有原LVR减0.12并继续叫它“非负LVR”？

不应该。结构LVR仍由无费R−V定义。变化的是总净所得V+0.12及其相对R的净差额；部分路径此差额会变负，并不违反无费凹性结论。名称和比较对象不能随显示方便而更换。

区间题。 越过上界后还能用此前每日期望手续费继续累计收入吗？

不能。头寸已不活跃，直到重新进入区间才重新参与交换。即便在区间内，手续费也依赖真实交易流量和所占流动性，而非已知固定息票。恢复活跃的主动移仓又有新的成本与风险。

完成标准。 能用单位一致的库存与现金账同时重建LP、HODL和再平衡基准，分清无费LVR、费用层和区间层，再讨论实际收益，而不是先把一个APR当成投资结论。