可测空间与概率测度

“目前知道什么”不必等于“目前知道哪个精确数值”。我们可以只知道结果落在哪一组，却仍能判断许多事件有没有发生。可测空间先记录哪些问题可以被辨认，概率测度随后给这些事件赋予权重；两层不要混在一起。

定义与必要约定

令 \(\Omega\) 为集合，则 \(\Omega\) 上的 \(\sigma\)-代数是指集合族 \(\mathcal F\subseteq\mathcal P(\Omega)\)，满足 \(\Omega\in\mathcal F\)、对补集封闭、对可数并封闭。由 De Morgan 律，它也对可数交封闭。二元组 \((\Omega,\mathcal F)\) 称为可测空间；\(\mathcal F\) 中的集合称为可测集，在概率语境中称为事件。¹

令 \((\Omega,\mathcal F)\) 为可测空间，则其上的概率测度是函数 \(P:\mathcal F\to[0,1]\)，满足 \(P(\Omega)=1\)、\(P(\varnothing)=0\)，并对两两不交的事件 \(A_n\) 满足

\[ P\!\left(\bigcup_{n\ge1}A_n\right)=\sum_{n\ge1}P(A_n). \]

对一般测度可允许总质量不是 \(1\)，甚至为无穷。是否可测由集合族决定；概率是多少由测度决定。²

实线的 Borel \(\sigma\)-代数 \(\mathcal B(\mathbb R)\) 由开集生成。实值函数 \(Y\) 对 \(\mathcal G\) 可测，是指对每个 \(B\in\mathcal B(\mathbb R)\)，都有 \(Y^{-1}(B)\in\mathcal G\)。检验时可只看半直线原像 \(\{Y\le a\}\)，因为这些半直线生成 Borel \(\sigma\)-代数，原像运算又保留补集与可数并。³

有限信息：究竟包含哪些集合

取 \(\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4\}\)，只知道信号

\[ L=\{\omega_1,\omega_2\},\qquad H=\{\omega_3,\omega_4\}. \]

则可以判断 \(L\) 或 \(H\) 是否发生，也能判断空集与全空间，但不能区分 \(H\) 内的两个结果。相应信息就是

\[ \mathcal G=\{\varnothing,L,H,\Omega\}. \]

用更一般的记号说，它是包含 \(L,H\) 的最小 \(\sigma\)-代数 \(\sigma(L,H)\)。⁴

有限分区命题。 若非空集合 \(A_1,\ldots,A_m\) 两两不交并覆盖 \(\Omega\)，则 \(\sigma(A_1,\ldots,A_m)\) 恰是这些组的所有并集。

证明。 所有组的并集组成的集合族包含各 \(A_i\)，对补集、可数并均封闭，所以是一个 \(\sigma\)-代数；由最小性，生成的 \(\sigma\)-代数包含在它里面。反过来，任何包含各 \(A_i\) 的 \(\sigma\)-代数也包含它们的所有并集。因此两者相等。

这一步说明，分组不是随手画的图：每个框就是当前信息不能再拆开的一个最小非空事件，称为原子。全部可辨认事件从这些原子组成。

可测性判据。 对上述有限分区，实值 \(Y\) 可测，当且仅当它在每个原子上为常数。

证明。 若同组中两个函数值不同，选一个夹在它们之间的阈值 \(a\)，则 \(\{Y\le a\}\) 会把这个原子拆开，不能是原子的并，故不可测。反过来，若每组取常数，则任意 Borel 集的原像都是某些组的并，因而可测。

例如 \(Y=(0,1,2,2)\) 对 \(L/H\) 信息不可测，因为 \(L\) 中两个值不同。若完整状态已知，对应事件域是 \(\mathcal P(\Omega)\)，这个函数就可测。改变的不是函数，而是允许使用的信息。

信息分组	全部可辨认事件个数	\(Y=(0,1,2,2)\) 是否可测
\(\{\Omega\}\)	\(2\)	否
\(\{L,H\}\)	\(4\)	否
四个单点	\(16\)	是

这个判据正是 有限条件期望 ↗ 要求“同组取同一条件平均”的原因。它不保证预测准确，只保证函数没有要求区分当时尚无法区分的状态。

零概率、几乎处处与版本

若 \(N\in\mathcal F\) 且 \(P(N)=0\)，称 \(N\) 为零概率事件。性质在某个可测零概率事件以外都成立，就称几乎处处成立，在概率空间也称几乎必然成立，记作 a.s.。零概率事件不必是空集；例如给四状态中的某个状态赋零权重，并没有把这个状态从集合里删除。²

但不能由此推断“零概率部分怎样修改都可测”。看一个更小的例子：

\[ \Omega=\{a,b,c\},\quad \mathcal G=\{\varnothing,\{a,b\},\{c\},\Omega\},\quad P(\{a,b\})=0,\quad P(\{c\})=1. \]

函数 \(f=(0,0,1)\) 对 \(\mathcal G\) 可测；函数 \(g=(0,1,1)\) 只在零概率组里改了值，却不再可测，因为它把 \(\{a,b\}\) 拆开了。

如果测度空间包含所有可测零测集的子集，就称为完备空间；在未假设完备时，任意修改可能离开原来的可测函数类。即使较大的事件域 \(\mathcal F\) 完备，某个较小的信息域 \(\mathcal G\) 也不必自动包含这些子集。因此条件期望的“版本”必须先满足所要求的 \(\mathcal G\)-可测性，再谈只差一个零概率事件。⁵

自检与解析

题 1。 在四状态 \(L/H\) 信息下，\(Y=(3,3,7,7)\) 是否可测？\(\{Y>5\}\) 是哪个事件？若四状态概率改为 \((0.25,0.75,0,0)\)，答案是否改变？

解析。 它在每组取常数，故可测；\(\{Y>5\}=H\)。概率改动不改变这个结论，因为可测性只看函数和事件域。但新的概率会改变期望以及“哪些差异可以忽略至 a.s.”。

题 2。 \(\mathcal G_1\) 由 \(\{1,2\},\{3,4\}\) 生成，\(\mathcal G_2\) 由 \(\{1,3\},\{2,4\}\) 生成。是否可以说 \(\mathcal G_2\) 比 \(\mathcal G_1\) 信息更多？

解析。 不能。\(\{1,2\}\) 属于 \(\mathcal G_1\) 而不属于 \(\mathcal G_2\)，\(\{1,3\}\) 反过来；二者互不包含。这也是使用 塔式性质 ↗ 前必须检查嵌套条件的原因。