Greeks：把局部导数变成带单位的风险

一、先问“对哪个变量求导”

上一篇用价格模型把报价变成IV。本篇暂时固定模型，问一个更局部的问题：如果一个输入稍微改变，当前价格大约怎样改变？Greeks就是把这个问题按不同变量拆开。它们不是关于下一步涨跌的独立预测，也不是在任何变动幅度下都精确的赔付规则。

令期权价格为 \(V(S,\sigma,\tau,r,q_{\rm div})\)，其中 \(\tau\) 是剩余年数。固定其他变量，

\[ \Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2},\qquad \text{Vega}_{\rm abs}=\frac{\partial V}{\partial\sigma}. \]

若用日历时间前进一日来定义theta，固定到期日时剩余年数减少 \(1/365\)，本篇的日theta是 \(-\frac1{365}\frac{\partial V}{\partial\tau}\)。有些资料按年、交易日或其他单位报告，数值不能不经换算就拼在一张表上。¹²³⁴

二、固定同一张合成call，给每个数标单位

使用与价格一篇完全相同的合成切片：\(S=K=5,000\)，\(\tau=90/365\)，\(r=4\%\)，\(q_{\rm div}=0\)，\(\sigma=23.5\%\)，欧式call，乘数100美元／期权点。我们不是从某个真实期权链取得这些Greeks，而是从同一BSM函数计算。⁵

对象	默认值	单位及解释
价格	256.855895	期权报价点
delta	0.556803	每变动1指数点，期权点数的局部变化
gamma	0.000676807	每变动1指数点，delta的局部变化
vega	9.804437	波动率提高1个百分点时，期权点数的局部变化
theta	−1.556972	日历前进1日时，固定其余输入的局部变化
合约乘数	100	每期权报价点对应美元

一份合约的delta金额敏感度约为55.68美元／指数点；vega约为980.44美元／波动率百分点。将 \(\sigma\) 从0.235变成0.245是提高1个百分点，而不是把 \(\sigma\) 加1。若使用数学导数 \(\partial V/\partial\sigma\)，其数值应比每百分点vega大100倍。

SPX指数也不是可直接买入的“一股股票”。0.556803可以是模型对冲比率的起点，但实际用何种ETF、期货或组合实施，需要再做单位、基差和可成交性转换；这张表只给模型对指数水平的导数。⁶

三、一次移动50点与500点，近似误差会发生什么

只改变 \(S\) 时，泰勒展开给出

\[ \Delta V\approx\Delta\,\Delta S +\frac12\Gamma(\Delta S)^2. \]

保留第一项是delta近似，加入第二项是delta加gamma近似。这里的 \(\Delta,\Gamma\) 都在起点计算，不是在看到终点以后重新选择。

标的变动	delta一阶变化	delta＋gamma二阶变化	完整BSM重算变化
＋50指数点	27.840133	28.686142	28.679412
＋500指数点	278.401326	363.002261	353.164687

对50点变动，一阶少算约0.839279点；二阶误差仅约0.006730点。对500点变动，二阶仍然比一阶更近，却高出约9.837574点。现金误差还要乘100。加入gamma不是给近似加一个“精确保证”，而是多保留一阶曲率信息。

曲率为正也可以从图上读出来：call价格随 \(S\) 上升时斜率逐渐变大，起点切线会低于完整凸曲线。但移动大时，gamma自身也变；沿全区间使用起点gamma，仍是近似。OIC的局部解释和MIT的价格模型在这里各承担一层：一个教你导数意义，一个提供可重新计算的函数。²⁵

四、波动率和时间的单位同样会放大错误

把 \(S\) 固定，改 \(\sigma\)。本例的每百分点vega给出的比较为：

波动率变化	vega局部预测	完整重算
23.5% → 24.5%	＋9.804437点	＋9.805146点
23.5% → 33.5%	＋98.044371点	＋98.067826点

这一次大幅变化下误差仍小，是本切片的具体结果，不是vega在所有行权价、期限上都线性的证据。换到临近到期或远离平值的合约，敏感度形状会不同。

日theta为−1.556972，意思是保持现价、模型波动率、利率和股息输入不变，日历时间前进一日的局部效应。真实市场到明天会同时改变许多输入，所以不能把theta直接当作明天必然少掉的价格。欧式put还可能因收取 \(K\) 的时点接近而出现正的日历时间效应；上一篇的深度价内反例正说明“持有期权每天必亏时间价值”不是无条件定理。⁴

若同时改变 \(S,\sigma\) 和日历时间，可以先加起点delta、gamma、vega、theta项作局部估算，但跨变量项以及各导数的变化并不会消失。本实验同时展示完整重算，避免把这类估算结果误当成真实账户路径。

五、delta不是“上涨概率”

在本无股息BSM call中，delta等于 \(N(d_1)\)；同模型定价概率下的到期价内概率为 \(N(d_2)\)。本例两者分别为

\[ N(d_1)=0.556803,\qquad N(d_2)=0.510441. \]

即使在这个非常规则的模型里，它们已经不同；更不能把任意产品的delta直接解释成现实概率 \(P\) 下的胜率。⁵

把一项价格导数叫成概率，常常是因为0到1之间的数看起来很像概率。但是它们的定义不同：delta问“当前价格对输入怎样变”，价内概率问“在某个概率模型下哪些终值状态发生”；还要再区分定价权重 \(Q\) 和现实／研究概率 \(P\)。后面复制一篇会从交易资产价格解释这种权重区别。

实验第一视角画完整价格曲线、起点切线和起点二阶曲线；第二视角比较两种近似相对于完整重算的误差。默认可直接选50点和500点，或者改波动率百分点、时间天数。切到美元显示时只做100倍单位换算，不改变模型。

六、把“近似”写进答案

题一。 一份本例call，指数上升50点，delta近似的美元变化是多少？二阶与完整重算分别是多少？

解析。 期权点变化依次为27.840133、28.686142和28.679412，乘100得到约2,784.01、2,868.61和2,867.94美元。不要再乘一次5,000，也不要把delta当作要买入0.556803股“指数股票”的实盘指令。

题二。 某人把每百分点vega 9.804437乘以0.01，计算波动率从23.5%变24.5%的变化。错在哪里？

解析。 9.804437本来已经是每一个百分点的报价量，应乘1。若要乘0.01，应使用按一整个绝对 \(\sigma\) 单位报告的导数980.443707。两种单位正确换算后结果相同。

题三。 本例500点移动中二阶近似高于完整重算，是否否定gamma为正？

解析。 没有。gamma为正是价格函数在起点的曲率信息；大区间移动时曲率本身改变，还存在更高阶项。二阶多项式不是整条价格函数。

题四。 delta为0.556803，能否宣称“我有55.68%的真实概率盈利”？

解析。 不能。首先delta是导数，本例连 \(Q\) 下的价内概率都只有0.510441；其次价内不等于覆盖权利金后盈利；最后 \(Q\) 不等于现实 \(P\)。这三个区别要依次保留。