情景、事件与概率

定义与约定

我们先固定观察期限，再说明期末可能发生哪些结果。讨论“未来某次合约结算”与“明天收盘”是不同的问题，不能共用一张未注明期限的情景表。

定义。 令 \(\Omega\) 为非空集合，\(\mathcal F\) 为其上的 \(\sigma\)-代数，即包含空集、对补集和可数并封闭的一族子集，则 \(\Omega\) 称为样本空间，\(\omega\in\Omega\) 是一个基本结果，\(A\in\mathcal F\) 称为事件。给定概率测度 \(\mathbb P\colon\mathcal F\to[0,1]\)，要求 \(\mathbb P(\Omega)=1\)，且对两两不交的可数事件族满足可列可加性。¹

有限模型中可取 \(\mathcal F=2^\Omega\)。设 \(\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_n\}\)，给定 \(p_i\ge0\) 且 \(\sum_i p_i=1\)，则 \(\mathbb P(A)=\sum_{\omega_i\in A}p_i\)。权重 0 允许出现，不因此删除该结果；“概率为零”与“事件为空”不是同一句话。

一个足以分清边界的例子

约定期限为教学模型中的一次期末结算 \(T\)，不是某个已核挂牌到期日。三个基本结果分别标记为结算值 5,900、6,000、6,100 点，权重为 0.2、0.5、0.3。数值和权重都由教学模型给定，不是观测频率或市场隐含概率。

于是 \(\mathbb P(A)=0.7\)、\(\mathbb P(B)=0.8\)，但并集概率不是 1.5。两者覆盖全部模型结果，却在 \(\omega_2\) 处重叠。穷尽不等于互斥。 三个基本结果在本模型内穷尽，也不等于它们已覆盖现实市场的所有结算可能性。

命题（二事件容斥）。 对事件 \(A,B\)，有 \(\mathbb P(A\cup B)=\mathbb P(A)+\mathbb P(B)-\mathbb P(A\cap B)\)。

证明。 把并集分成两两不交的 \(A\setminus B\)、\(A\cap B\)、\(B\setminus A\)，用可加性求和。分别展开 \(\mathbb P(A)\) 与 \(\mathbb P(B)\)，会把中间一块数两遍，减去一次便得到结论。这个证明不要求 \(A,B\) 独立。

本例结果为 \(0.7+0.8-0.5=1\)；补事件 \(A^c=\{\omega_3\}\) 的概率为 0.3。事件属于哪些结果，与采用什么权重，是两层输入；改权重不必改变事件集合。

检查与使用位置

解释题。 刚才 \(A\)、\(B\) 的概率和超过 1，是否说明模型权重不合法？

解析。 不是。基本结果权重仍非负且和为 1；超过 1 来自重复计入交集。应检查集合重叠，而不是强行把 \(0.7,0.8\) 归一化。

迁移题。 把 \(B\) 改为“严格大于 6,000”。哪些概率改变？

解析。 \(B=\{\omega_3\}\)，概率降为 0.3；它与 \(A\) 不交，交集概率变成 0；并集仍为全部模型结果，概率仍为 1。变化来自把边界情景 \(\omega_2\) 移出 \(B\)，不是重新估计了市场概率。

交互页 可以点选结果组成 \(A,B\) 并修改三项权重。权重非法时应停算，不能自动归一化掩盖问题。没有脚本时，上表与两道题的结果就是静态替代。

本页用于 QT03 的映射、QT05 的条件概率，以及 QT07 的信息分组。不要求先读 QT01；只有需要处理真实历史数据时，才按任务调用数据版本方法。概率权重的数学自洽并不证明其经验合理性，市场报价也不在这里自动变成现实发生率。