平价与合成：同样的支付，需要哪些现金腿

一、先在终点比较，再谈价格

平价不是因为两条曲线长得像就把价格写成等式。我们先约定：同一标的、同一行权价 \(K\)、同一到期日，欧式call和put，无股息；允许持有股票和现金、借贷利率相同、没有费用或交易约束。在这些条件下，再逐状态检查支付。¹

无论 \(S_T\) 大于还是小于 \(K\)，

\[ (S_T-K)^+-(K-S_T)^+=S_T-K. \]

所以“买call、卖put”在到期时相当于收到一股的价值再支付 \(K\)。这不是裸股票：还差一笔到期付款。若同时存入足够到期变成 \(K\) 的现金，支付才变为 \(S_T\)。

这一现金腿特别容易在“合成股票”的简称中消失。我们以后每遇到“某组合等于某资产”，都先问等的是到期支付、当前成本，还是已经扣除融资后的收益。一个简称不能同时替代三种关系。

二、把冻结两状态例完整勾稽一次

采用共同有限市场：\(B_0=1\)，\(B_1=R=1.02\)，股票100变为120或90；本分支 \(K=105\)。两种期权到期支付分别为call的 \((15,0)\) 与put的 \((0,15)\)。²

到期状态	call支付	put支付	call−put	到期支付105的现金＋call−put	股票价值
上涨	15	0	15	120	120
下跌	0	15	−15	90	90

若今天存入 \(K/R=105/1.02\)，到期可支付105。因此相同终端支付的价格关系为

\[ C+\frac K R=P+S_0, \qquad C-P=S_0-\frac K R. \]

共同模型中 \(C=100/17\)，\(P=150/17\)，两侧均为 \(-50/17\approx-2.941176\)。这个负数不是call“负价格”，而是call比put便宜的差额。下一篇会从股票与现金解出两个期权各自的复制价格；本篇先完成支付和资金腿的核对。³

平价也给价格界提供直觉。例如无股息欧式call不低于 \(\max(S_0-K/R,0)\)，而不是无条件不低于 \(S_0-K\)；put的相应融资关系涉及 \(K/R-S_0\)。对立刻允许行权的美式，决策集合改变，不能把上述欧式等式原封不动套过去。已知现金股息还需把持股期间现金计入；不同借贷成本与借券约束则把理想等式变成需要逐腿检查的区间或单向约束。¹

三、中间价有缝，为什么仍然可能没有交易

现在离开无价差的核心市场，进入一个另有身份的教学报价变式。\(K=105\)、现金因子仍1.02，但股票、call、put都有bid／ask：

工具	bid	ask	mid
股票	99.95	100.05	100.00
call	5.80	6.20	6.00
put	8.70	9.10	8.90

若只把中价代入，得到

\[ 6-8.9-100+\frac{105}{1.02}=0.041176. \]

这个“偏离”来自中价，但你不能要求所有腿按中价足额成交。为了核可交易现金，先定义初始净现金为收到减付出；正数表示手里剩下现金，负数表示还需投入。

第一条方向是卖call、借入 \(K/R\)、买put和股票。卖用bid，买用ask：

\[ a_1=5.8+\frac{105}{1.02}-9.1-100.05=-0.408824. \]

到期支付 \(-C_T-K+P_T+S_T=0\)，但起点已经需要净付0.408824。

反方向是卖股票和put、买call并存入 \(K/R\)：

\[ a_2=99.95+8.7-6.2-\frac{105}{1.02}=-0.491176. \]

到期 \(-S_T-P_T+C_T+K=0\)，起点同样要净付。两方向都没有留下正的初始现金；加上额外费用只会更差。

检查	第一方向	反方向
初始净现金	−0.408824	−0.491176
理论到期净支付	0	0
已证明无风险套利？	否	否

价格在这里是按每个标的单位计量，允许分割的教学交易单位；不能未经产品乘数确认就当成“每份上市期权”的美元金额。报价可同步成交、融资与借券可得、深度足够也只是这个检查中的显式假设，不是已经观测到的机会。

四、什么条件会让一条复制腿断掉

无套利论证通常是“若两个完全相同的终值支付价格不同，则买便宜、卖贵，并完成所有资金安排”。因此发现账面价格差以后，真正要查的是能否完成那些腿，而不是再找一个更漂亮的等式。

第一方向需要融资买入股票和put、卖出call；反方向需要卖空股票并卖出put。若借不到股票，反方向就不能按原设定实施。若某报价滞后，下一秒另一条腿的价格可能已经变动；若一个产品允许提前行权而另一个不允许，原先只按共同到期日设计的现金账也不再完整。此时模型结论没有自动消失，变化的是我们是否还在它的假设内。¹

保持这种“先支付、再资金、再执行条件”的顺序，还能避免一个误解：同一期限的合成远期支付 \(S_T-K\) 可以为正也可以为负，它并不是一个非负选择权。共同市场的公平远期交割价为 \(RS_0=102\)，可以有零初始价格；而 \(K=105\) 的合成支付不是同一条公平远期，初值为 \(S_0-105/R\)。零成本双向承诺和有成本的不对称选择，正好回到本批开始的问题。

五、先看状态表，再看可执行现金表

先用上面已经列出的两状态表核对 \(C_T-P_T=S_T-K\) 及现金腿；实验本身不重复画第二套终点状态图，而是专门把今天的初始现金展开成两方向的bid／ask账本，并同时显示中价差作对照。改变一个教学报价时，中价差、两个可执行方向的净额会一起重算。若关闭融资、借券、同步或深度条件，相应方向只保留诊断值，不显示已执行套利利润。这个变式不会修改后面M21的冻结无摩擦市场。

静态阅读时，按上表分别把“收到”与“付出”分开加总即可：第一方向收到108.741176、付出109.15；反方向收到108.65、付出109.141176。每条账到期归零，起点差额才是该检查的重点。

六、把缺掉的腿补回来

题一。 “买call、卖put等于买股票”在本例缺了哪一条现金腿？

解析。 前者到期支付 \(S_T-105\)，还要加到期支付105的现金资产，才能变成股票支付 \(S_T\)。这笔资产今天成本 \(105/1.02\)。不计现金腿就把一个有融资成分的合成头寸冒充裸股票。

题二。 中间价偏离为＋0.041176。为什么第一方向真正使用买卖边后反而需要付0.408824？

解析。 卖call只能按5.8，买put需9.1，买股需100.05。中价不是所有腿的可执行价格。把各腿恢复到正确bid／ask，交易成本立刻超过中价缝隙。

题三。 若反方向初始净额出现正数，但股票无法借到，应该怎样展示？

解析。 可以报告“报价代数提示这个方向”，但执行状态必须标为受借券约束而未完成。不能给它一个真实无风险利润，也不能悄悄把不能卖空的股票腿删掉。

题四。 为什么共同模型公平远期交割价是102，而本篇平价仍用105？

解析。 102使远期初值 \(S_0-K/R\) 为零；105是两份期权的给定行权价。不同 \(K\) 对应不同初始价值的合成远期，不能为了让公式“漂亮”就改合约条款。