Brownian 运动与二次变差

从增量尺度开始，而不是从一条锯齿线开始

看一条模拟曲线，最多能提出猜想；要知道链式法则为什么多出一项，必须计算小增量的平方总和。本篇会完整证明确定性分割上的 \(L^2\) 二次变差收敛，再得到 dyadic 分割上的几乎必然收敛，并反证 Brownian 路径具有有限总变差。先修是高斯分布的矩、方差、概率收敛和基本测度语言。

令 \((\Omega,\mathcal F,(\mathcal F_t),P)\) 为过滤概率空间。相对于此过滤的标准 Brownian 运动 \(W\) 满足：\(W_0=0\)，过程适应且有连续路径，并且对 \(s<t\)，\(W_t-W_s\) 独立于 \(\mathcal F_s\)，服从 \(N(0,t-s)\)。我们采用连续版本。存在性是另一个定理，本篇不以有限网格模拟代替它。¹

“相对于过滤”不能省略。如果把未来的 \(W_T\) 塞进 \(\mathcal F_0\)，路径和无条件分布都可以不变，但未来增量不再独立于当前信息。后面使用的条件零均值会失效。

平方为什么留下一个非零总量

设 \(Z\sim N(0,1)\)，密度为 \(\varphi\)，有 \(\varphi'(z)=-z\varphi(z)\)。分部积分的边界项由高斯尾部消失，得到

\[ \begin{gathered} E[Z^2]=-\int z\varphi'(z)\,dz=1,\\ E[Z^4]=-\int z^3\varphi'(z)\,dz=3. \end{gathered} \]

所以若 \(\Delta W\sim N(0,\Delta t)\)，

\[ E[(\Delta W)^2]=\Delta t, \qquad \operatorname{Var}((\Delta W)^2)=2(\Delta t)^2. \]

现在固定 \(T>0\) 和一个确定性分割 \(\pi:0=t_0<\cdots<t_n=T\)，记

\[ Q_\pi=\sum_{j=0}^{n-1}(W_{t_{j+1}}-W_{t_j})^2, \qquad |\pi|=\max_j(t_{j+1}-t_j). \]

不交区间增量独立，所以平方也独立，故

\[ E[Q_\pi]=T, \qquad E[(Q_\pi-T)^2] =2\sum_j(\Delta t_j)^2 \le2T|\pi|. \]

因此，对任意网格宽度趋于零的确定性分割序列，\(Q_\pi\to T\) 于 \(L^2\)，从而也依概率收敛。这是一个完整的误差界，不需要把不同层网格的增量误认成相互独立。²

从均方收敛走到路径结论

若采用 dyadic 网格，\(\Delta t=T/2^m\)，则对任意 \(\varepsilon>0\)，Chebyshev 给

\[ P(|Q_m-T|>\varepsilon) \le\frac{2T^2}{\varepsilon^2 2^m}. \]

右边对 \(m\) 可求和。因此 Borel–Cantelli 的第一部分说明：固定 \(\varepsilon\) 的坏事件只发生有限次。再取可数个 \(\varepsilon=1,1/2,1/3,\ldots\) 的共同满测度集合，得到 \(Q_m\to T\) 几乎必然。这里只用可求和，不要求不同 \(m\) 的误差独立。

注意量词：我们固定了一组 dyadic 分割。没有证明“对所有随机、甚至依赖整条路径的分割，同时几乎必然收敛”。把确定性分割的 \(L^2\) 结论与某个固定细化序列的路径结论分开，后面才不会滥用二次变差。

连续但没有有限总变差

对连续函数 \(w\)，总变差是

\[ \operatorname{TV}_{[0,T]}(w) =\sup_\pi\sum_j|w(t_{j+1})-w(t_j)|. \]

若它有限，则每个分割都有

\[ \sum_j(\Delta w_j)^2 \le\max_j|\Delta w_j|\, \operatorname{TV}_{[0,T]}(w). \]

连续函数在紧区间上一致连续，故网格趋细时右边趋于零。然而 Brownian 路径在刚才的共同满测度集合上，dyadic 平方和趋于 \(T>0\)，矛盾。因此在任意预先固定的非退化区间上，Brownian 路径几乎必然不是有限总变差路径。

这说明不能直接把它当作普通有限变差积分的积分器。它不等于“任何形式的路径积分都不可能”，也没有顺便证明处处不可导。我们只使用刚刚建立的结论，为下一篇的均方积分构造留下明确动机。

同一路径、四层网格

实验固定 PCG64(15161724)，一次生成 \(8192\times256\) 个标准正态数。最细增量为 \(Z_j/\sqrt{256}\)，较粗的 4、16、64 步由连续最细增量相加；不是每次切换都另抽一条路径。模型时钟为一年，Brownian 的平方量纲对应时间。

网格区间数	同一首路径 QV	8,192 条路径 QV 均值	理论方差 \(2/n\)
4	0.794459415	0.990629233	0.500000000
16	1.079215130	0.997213464	0.125000000
64	1.020574831	0.997978483	0.031250000
256	0.965815977	1.000715434	0.007812500

单条示例路径的平方和不是单调靠近 1：16 步时在 1 上方，256 步时又在下方。收敛不要求每一次细化都改善误差。样本均值更接近 1，也不意味着我们已经从有限数据证明了路径定理；定理来自高斯矩和上面的概率论论证。

在真实日线资料中可以计算 \(\sum(\Delta\log P)^2\)，但它带着具体日频、复权和缺失处理。它不是获得了价格的全部连续路径，也不能只凭数值相近就断言价格服从 GBM。这里的主实验不把事后调整价当作历史成交价。

迁移：加入漂移以后平方和怎样变化？

题目。 对常数 \(a,b\)，令 \(X_t=at+bW_t\)。沿同一组 dyadic 分割，证明平方增量和趋于 \(b^2T\)，并指出为什么只观察平方和不能恢复漂移 \(a\)。再解释：改看 \(W_{2t}\)，其 \([0,1]\) 平方和目标为什么不是 1。

解析。 展开平方：

\[ \sum(\Delta X)^2 =a^2\sum(\Delta t)^2 +2ab\sum\Delta t\,\Delta W +b^2Q_\pi. \]

第一项不超过 \(a^2T|\pi|\)。混合项的绝对值不超过

\[ 2|ab|\left(\sum(\Delta t)^2\right)^{1/2} Q_\pi^{1/2}, \]

在 dyadic 的满测度收敛集合上趋于零，第三项趋于 \(b^2T\)。故漂移不进入该极限，并不能由这个量识别 \(a\)。对 \(W_{2t}\)，每个时长 \(\Delta t\) 的增量方差为 \(2\Delta t\)，相当于系数 \(b=\sqrt2\) 的 Brownian 运动，因此目标为 2。时间尺度也是模型的一部分。