有限期完备性与唯一等价鞅测度

无套利让我们找到了至少一种不会遗漏任何状态的定价权重，但还没有保证这组权重唯一。完备性问的是另一件事：利用已有资产和允许的动态交易，能不能做出每一种终端支付？这篇将证明两者的精确联系，并把“可复制”落实为持仓和初始成本。

先修是 QT18-P1 中已经证明的三项结果：现金补足、贴现财富鞅性质，以及指标持仓恢复条件鞅的判据。本篇会写出它们在何处使用，不再另借一个未展开的鞅表示定理。

1. 终端信息决定“全部支付”的范围

仍取有限状态 \(\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_m\}\)，\(\mathcal F=2^\Omega\)，\(P\) 对所有状态严格正，\(\mathcal F_0\) 平凡、\(\mathcal F_T=\mathcal F\)，有限交易时点为 \(0,\ldots,T\)。现金账户 \(B_k\) 确定且严格正，借贷同率；风险价格适应，持有于 \((k-1,k]\) 的仓位在 \(\mathcal F_{k-1}\) 可知。允许任意有限有符号实数仓位，交易无摩擦、无分红、无外部资金流、无额外持仓限制，并假设市场无套利。¹

一个终端支付是任意实值 \(\mathcal F_T\) 可测变量 \(X\)；它可由自融资策略在每个状态满足 \(V_T=X\)，就称可复制。若每个这样的 \(X\) 都可复制，市场就是完备的。若终端信息只区分原始空间中的一些原子，就应把这些原子当作本模型的状态，而不是对未观测的额外细分也宣称测度唯一。²

2. 可复制空间里，常数项不能漏掉

令 \(L\) 为全部零初始贴现终端增益组成的线性空间。允许任意初始财富后，全部可复制贴现终值组成

\[ \begin{aligned} K&=\operatorname{span}\{\mathbf1\}+L\\ &=\{a\mathbf1+\ell:a\in\mathbb R,\ \ell\in L\}. \end{aligned} \]

这里的 \(\operatorname{span}\{\mathbf1\}\) 是所有实数倍的常数向量；它不是固定现金增长因子 \(R\) 乘以一次 \(\mathbf1\)。

我们把这条刻画的两个方向都核对。任意自融资策略满足

\[ V_T/B_T=V_0/B_0+\sum_{k=1}^T h_k\cdot\Delta\widetilde S_k, \]

所以贴现终值在 \(K\) 中。反过来，若 \(X/B_T=a\mathbf1+\ell\in K\)，取产生 \(\ell\) 的可预测风险持仓，初始财富取 \(aB_0\)，由现金补足递推构造现金仓位，得到 \(V_T/B_T=X/B_T\)，即确实复制 \(X\)。因此

\[ \text{市场完备}\quad\Longleftrightarrow\quad K=\mathbb R^m. \]

现金补足在这里完成了“向量属于一个空间”到“存在可实施交易策略”的最后一步。³

3. 完备当且仅当 EMM 唯一

定理（有限期第二资产定价基本定理）。在第 1 节全部条件下，市场完备，当且仅当等价鞅测度唯一。无套利假设保证至少有一个 EMM；“唯一”不是在一个空集合中讨论。²

先作一个准备。若策略复制 \(X\)，则在任何 EMM \(Q\) 下，贴现财富为鞅，故

\[ V_k/B_k=E_Q[X/B_T\mid\mathcal F_k]. \]

左边是一套已经选定的持仓沿已给价格计值的过程，根本不随我们挑哪个 EMM 改变。因此所有 EMM 给这个可复制支付相同价值；所有复制它的策略也有相同价值过程。这不要求复制仓位唯一：有冗余资产时，不同仓位可能产生同一财富过程。⁴

证明“完备 \(\Rightarrow\) 唯一”。设 \(Q,Q'\) 都是 EMM。对任意终端事件 \(A\)，完备性给出复制 \(\mathbf1_A\) 的策略，其初始贴现财富满足

\[ E_Q[\mathbf1_A/B_T] =V_0/B_0 =E_{Q'}[\mathbf1_A/B_T]. \]

\(B_T\) 是确定的正数，乘回它得到 \(Q(A)=Q'(A)\)。因为 \(A\) 遍历 \(\mathcal F_T=2^\Omega\)，故 \(Q=Q'\)。这条证明用的是模型中的确定现金条件，并不是在断言随机正计价资产下不存在其他形式的完备性定理。

4. 不完备留下的方向，怎样生成另一概率

另一方向用逆否命题。若市场不完备，第 2 节给 \(K\subsetneq\mathbb R^m\)。有限维线性代数因此提供非零向量 \(z\in K^\perp\)。由于 \(\mathbf1\in K\) 且 \(L\subseteq K\)，

\[ \sum_i z_i=0,\qquad z\cdot\ell=0\quad(\ell\in L). \]

第一基本定理给出一个全支持 EMM \(q=(q_i)\)。选

\[ 0<|\varepsilon|\le \frac12\min_{z_i\ne0}\frac{q_i}{|z_i|}, \qquad q'_i=q_i+\varepsilon z_i. \]

右侧最小值严格正，因为只有有限多个状态且所有 \(q_i>0\)。对 \(z_i\ne0\)，有 \(q'_i\ge q_i/2>0\)；对 \(z_i=0\)，\(q'_i=q_i>0\)。而 \(\sum z_i=0\) 保证 \(\sum q'_i=1\)。因此 \(q'\) 是另一全支持概率，且因 \(\varepsilon\ne0,z\ne0\) 确实不同于 \(q\)。

还必须检查它仍是 EMM。对每个零成本增益 \(\ell\in L\)，

\[ E_{Q'}\ell =E_Q\ell+\varepsilon z\cdot\ell=0. \]

固定一期、一个资产和一个当期之前可知的事件，采用 QT18-P1 已构造的指标风险持仓并补足现金，就得到

\[ E_{Q'}[\mathbf1_A\Delta\widetilde S_k^i]=0 \quad\text{对所有 }A\in\mathcal F_{k-1}. \]

故各贴现价格在 \(Q'\) 下仍是鞅。于是市场不完备便存在至少两个 EMM，逆否命题完成。³

这一证明也解释了“未被资产价格约束的方向”：\(z\) 与全部可复制贴现支付正交，微调概率时这些支付的价格看不出变化；只有某些不可复制支付可能看到区别。

在同一个三状态市场、未加入新资产时，可以取

\[ q=\left(\frac{1}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{10}\right),\qquad z=\left(1,-2,1\right). \]

由上述公式得到一个安全幅度 \(\varepsilon=\frac{1}{10}\)，从而 \(q'=\left(\frac{3}{10},\frac{3}{10},\frac{2}{5}\right)\)。新旧两组权重都正确定价现金和股票，但对看涨式支付的价格不同。这里改变的是定价测度的选择，没有改动股票、现金或支付定义。

5. 从矩阵满秩走到真实持仓

在一期市场，把各资产终端支付组成矩阵 \(A\)，状态为行、资产为列。若 \(\operatorname{rank}(A)=m\)，任意支付向量 \(x\) 都能求解 \(A\theta=x\)；初始成本为 \(s_0^T\theta\)，终值逐行相等。反过来，若每个状态数字支付 \(e_i\) 都可复制，所有 \(e_i\) 都在列空间内，矩阵必为满行秩。

采用 EXP-STATE-01 的三状态分支，将看涨式支付以初价 \(6\) 加入交易。矩阵行列式为 \(408\)，因此我们现在不仅知道能复制，而且可以逐一解出：

数字支付	持仓 \((\beta,\Delta,\gamma)\)	初始成本
\(\left(1,0,0\right)\)	\(\left(\frac{250}{51},-\frac{1}{20},\frac{1}{20}\right)\)	\(\frac{103}{510}\)
\(\left(0,1,0\right)\)	\(\left(-\frac{200}{51},\frac{1}{20},-\frac{1}{10}\right)\)	\(\frac{122}{255}\)
\(\left(0,0,1\right)\)	\(\left(0,0,\frac{1}{20}\right)\)	\(\frac{3}{10}\)

以中间状态的一美元为例，持仓在每个终端状态的三项贡献如下：

状态	现金终值	股票终值	新增资产支付	合计
下跌	\(-4\)	\(4\)	\(0\)	\(0\)
中间	\(-4\)	\(5\)	\(0\)	\(1\)
上涨	\(-4\)	\(6\)	\(-2\)	\(0\)

每一行加总都达到目标，初始成本为 \(\frac{122}{255}\)。表里的现金列仍是 \(\beta B_1\)；不能把现金账户单位 \(\beta\) 直接当作美元终值。

对任意支付 \(x=(x_d,x_m,x_u)\)，线性组合三种数字支付即可复制。把矩阵相邻行相减，也能直接得到

\[ \begin{aligned} \Delta&=\frac{x_m-x_d}{ 20 },\\ \beta&=\frac{ 5x_d-4x_m }{ \frac{51}{50} },\\ \gamma&=\frac{x_u-2x_m+x_d}{ 20 }. \end{aligned} \]

其中 \(\gamma\) 是新增看涨式资产的单位数。初始价格为

\[ \beta B_0+\Delta S_0+\gamma c =\pi_dx_d+\pi_mx_m+\pi_ux_u. \]

先在界面选三个数字支付之一，再输入一个含正负分量的支付。它会重新求解持仓并逐状态乘回，而不是只显示“秩等于 3”。

6. 多期复制怎样计算：仓位会随信息改变

多期不能继续用一组从头持有到尾的常数 \(\theta\) 表示全部策略。对每个时点 \(k\)、每个风险资产 \(i\) 和 \(\mathcal F_{k-1}\) 的每个原子 \(A\)，定义向量

\[ b_{k,i,A}(\omega) =\mathbf1_A(\omega)\Delta\widetilde S_k^i(\omega). \]

任意可预测持仓在一个信息原子上必为常数，因此这些向量张成 \(L\)。把常数向量与全部 \(b_{k,i,A}\) 排成一个有限矩阵，求解

\[ X/B_T=a\mathbf1+\sum_{k,i,A}\alpha_{k,i,A}b_{k,i,A}. \]

找到系数后，在事件 \(A\) 上、第 \(k\) 期持有资产 \(i\) 的数量就是 \(\alpha_{k,i,A}\)，即 \(h_k^i=\sum_A\alpha_{k,i,A}\mathbf1_A\)。初始财富为 \(aB_0\)，然后逐期补足现金。贴现财富恒等式保证终值等于 \(X\)。完备性保证该有限系统对所有 \(X\) 可解；冗余列可能让持仓解不唯一。⁵

这段构造把一般证明真正落到了信息树上的计算：不是让今天的仓位依赖最终状态，而是让明天的仓位依赖到明天已经可知的分组。

7. 迁移：复制一个支付，再检查一个符号错误

问题一。在已加入初价 \(6\) 看涨式资产的三状态市场中，复制 \(x=\left(2,-1,3\right)\)。计算持仓、三个终值与初始成本。

解析。代入上面的差分公式，得 \((\beta,\Delta,\gamma)=\left(\frac{700}{51},-\frac{3}{20},\frac{7}{20}\right)\)。逐状态的结果是：

状态	现金终值	股票终值	新增资产支付	合计
下跌	\(14\)	\(-12\)	\(0\)	\(2\)
中间	\(14\)	\(-15\)	\(0\)	\(-1\)
上涨	\(14\)	\(-18\)	\(7\)	\(3\)

初始成本为 \(\frac{421}{510}\approx0.8254902\)，也等于 \(\pi\cdot x\)。支付含负分量并不妨碍线性复制；它表示该状态下组合需要支付而非收到资金，不是“概率为负”。

问题二。有人把可复制空间写成 \(K=R\mathbf1+L\)，这里 \(R=\frac{51}{50}\) 是现金增长因子，并继续使用 \(K^\perp\)。哪里出了问题？

解析。固定一个 \(R\) 只给出 \(L\) 的仿射平移，并非全部实数初始财富。最简单取 \(L=\{0\}\)，该集合只有一个向量 \(R\mathbf1\)，不含零，不是线性子空间。正确写法是 \(K=\operatorname{span}\{\mathbf1\}+L\)。这才允许由“\(\mathbf1\in K\)”推出 \(\sum z_i=0\)，进而保持扰动后的概率总和为 1。

问题三。若加入一列与原现金账户完全相同的资产，复制仓位不唯一，是否意味着 EMM 不唯一？

解析。不意味着。复制全部支付对应满行秩；持仓唯一还需要列没有冗余。重复列不改变列空间，因此不会破坏原有完备性或 EMM 唯一性，却使持仓可以在两列相同资产之间自由挪动。定理中的两个“唯一”不能混淆。