计数过程与 Poisson 基准

先数真实记录，再谈模型

我们取 Binance 的 ETHBTC 现货逐笔成交档案，观察 2025 年 1 月 2 日 UTC 的第一个小时：\([00{:}00,01{:}00)\)。这是预先指定的一段描述性窗口，不是挑一段像 Poisson 的图。每条记录有 trade ID、价格、数量、报价资产数量、时间戳及两个布尔字段。价格单位是 BTC/ETH，数量单位是 ETH；此日期的现货时间戳用 Unix 微秒，而不是毫秒。不同 ID 即使时间戳相同，也不能删成一条。¹

本篇的任务是从这些字段建立计数、等待时间与时间单位，然后用一个条件明确的 Poisson 模型作比较。只需基本概率、条件期望以及过滤表示信息的含义。

trade ID	价格（BTC/ETH）	数量（ETH）	Unix 微秒
482524746	0.03553000	0.00560000	1735776004130016
482524747	0.03552000	1.00000000	1735776015196046

第一条记录在窗口开始后约 4.130016 秒。这个“4.13 秒”不是我们观测到一个无删失的新等待：窗口开始前的上一笔成交没有包含进来。相同地，窗口结束后的下一笔也未知。数据附件保留这一小时全部 3,291 条记录的 trade ID 与微秒时间字段，并附固定窗口规则、逐秒/逐分钟计数和内部相邻间隔。价格与数量只在上面的实际原行节选中展示；计数和等待实验不需要这些列，也没有给它们补造数值。下列汇总均可从完整时间投影复算，不来自一分钟计数的反推。

两种时间区间约定不要混写

对严格递增的模型到达时刻 \(0<T_1<T_2<\cdots\to\infty\)，定义

\[ N_t=\sum_{j\ge1}\mathbf1_{\{T_j\le t\}}, \qquad N(a,b]=N_b-N_a. \]

这是理论右连续计数过程的约定。本数据的截窗和分箱则固定为左闭右开 \([a,b)\)：时间戳恰在下一分钟开始处，就归入下一箱。真实记录时间精度有限；模型的严格递增到达时刻与数据库里的重复时间戳不是同一个对象。记录相同只能说明无法用这一字段区分次序，不能证明潜在连续事件真的同时发生。

以窗口起点为 \(u_0\)，对每条微秒时间戳 \(u_i\)，计算秒偏移 \(t_i=(u_i-u_0)/10^6\)。宽度为 \(\Delta\) 秒时，箱号是 \(\lfloor t_i/\Delta\rfloor\)，仅保留 \(0\le t_i<3600\)。于是

\[ \widehat\lambda=\frac{3291}{3600} =0.914166667\quad\text{笔/秒}. \]

这是窗口总数除以时长的描述量。改用分钟，数值为 \(54.85\) 笔/分钟；改变的是单位，不是交易强度突然变了六十倍。

Poisson 模型究竟多要求了什么

令 \(N_0=0\)，\(N\) 为右连续计数过程。齐次 Poisson 过程的强度为 \(\lambda>0\)，是指不相交时间区间的增量独立，而且对 \(s<t\)，

\[ P(N_t-N_s=k) =e^{-\lambda(t-s)}\frac{[\lambda(t-s)]^k}{k!}, \qquad k=0,1,\ldots. \]

我们采用自然过滤 \(\mathcal F_s=\sigma(N_u:u\le s)\)。若扩大过滤，必须仍要求未来增量独立于 \(\mathcal F_s\)。例如一开始就告诉观察者 \(N_T\)，即使过程无条件的计数分布没变，下面的条件均值结论也可能被破坏。²

由独立增量，

\[ E[N_t-N_s\mid\mathcal F_s]=\lambda(t-s). \]

因此 \(M_t=N_t-\lambda t\) 适应、可积，且

\[ E[M_t\mid\mathcal F_s] =N_s+\lambda(t-s)-\lambda t=M_s. \]

这完整证明了补偿过程为鞅。我们减去的是已指定模型的期望到达量，不是从同一窗口拟合一个均值以后就让真实残差自动变成鞅。

首等待 \(T_1\) 的尾概率也立即可算：

\[ P(T_1>t)=P(N_t=0)=e^{-\lambda t}. \]

故 \(T_1\sim\operatorname{Exp}(\lambda)\)，其均值 \(1/\lambda\)。关键依据是零计数的完整概率，不是单凭 \(E[N_t]=\lambda t\)。

从指数间隔反过来构造：还要证明联合增量

取独立同分布的 \(E_j\sim\operatorname{Exp}(\lambda)\)，令 \(T_n=E_1+\cdots+E_n\)。先排除有限时点发生无穷多次到达。对任何 \(\theta>0\)，

\[ \begin{aligned} P(T_n\le T) &\le e^{\theta T}E[e^{-\theta T_n}]\\ &=e^{\theta T} \left(\frac{\lambda}{\lambda+\theta}\right)^n\longrightarrow0. \end{aligned} \]

由于 \(\{T_n\le T\}\) 递减，所有 \(T_n\) 都落在固定 \([0,T]\) 内的概率为零。再对正整数 \(T\) 取可数并，得到无爆炸。

现在固定 \(0=t_0<\cdots<t_m=T\)，要求第 \(j\) 段恰好有 \(n_j\) 次到达，令 \(n=\sum n_j\)。对有序到达位置 \(0<s_1<\cdots<s_n<T\)，前 \(n\) 个指数密度相乘，再乘下一次等待超过 \(T-s_n\) 的概率，得到

\[ \lambda^n e^{-\lambda s_n} e^{-\lambda(T-s_n)}=\lambda^n e^{-\lambda T}. \]

在每段各自的有序单纯形上积分，体积为 \(\prod_j(\Delta t_j)^{n_j}/n_j!\)，所以联合概率是

\[ \prod_{j=1}^m e^{-\lambda\Delta t_j} \frac{(\lambda\Delta t_j)^{n_j}}{n_j!}. \]

它同时给出各段的 Poisson 分布和独立性，而不只是终点 \(N_T\) 的边际。反过来，计数的所有有限维分布决定到达时刻的联合分布，因为 \(\{T_j>t\}=\{N_t<j\}\)。因此这个构造也说明 Poisson 过程的间隔具有上述独立指数律。这里不需要调用未证明的 strong Markov 定理。

把基准放回这一小时

描述对象	箱数/间隔数	平均数	样本方差/零间隔
每秒计数	3600	0.914166667	51.166012087
每分钟计数	60	54.85	6364.977118644
内部等待时间	3290	1.092549621 秒	1880 个零间隔

方差使用“箱数减一”的样本分母。齐次 Poisson 的理论均值与方差相等；这里分钟样本方差远大于均值。1 秒箱中有 \(2901/3600\approx80.58\%\) 没有成交，而用全窗估计的强度代入 Poisson，零计数概率约为 \(40.09\%\)。均值相同绝不等于分布相同。

内部相邻记录共有 3290 个间隔，其中 1880 个为零，平均约 1.09255 秒。不要把这个内部平均数直接当作无删失的 \(1/\lambda\) 估计，也不要删除零间隔后悄悄改变研究对象。计数的过度离散可能来自时变强度、共同订单的记录批次、依赖、精度或多个因素；仅凭一个 Fano 比不能识别唯一机制。

先看分钟时间线的峰值，再比较“窗口总数/时长”和逐箱计数。界面中的 Poisson 参照始终是模型预测；真实秒级、分钟级柱子和内部等待分布都从同一份完整时间投影计算。零间隔单列，不用连续密度图把它抹掉。

这个数据档案是后续下载的历史记录。官方说明日档次日可用且可能修订；这里没有重建当日某一交易者收到消息的精确时钟，也不把记录时间戳当作我们的 received time。¹

迁移题与解析

题目。 用每秒强度预测十秒内零成交的概率，然后解释为什么不能把这个概率叫作本窗口已验证的未来预测。再假定 \(\mathcal F_0\) 额外包含 \(N_{60}\)，说明补偿鞅证明哪一步失效。

解析。 齐次模型给 \(e^{-10\widehat\lambda}\approx0.0001071\)。这个数是把拟合强度代回强假设后的计算；窗口分箱已经显示该基准与记录的明显差异，参数拟合和模型检验又用同一数据，尚无独立未来验证。

在扩大后的过滤中，\(N_{60}\) 已知，故 \(E[N_{60}\mid\mathcal F_0]=N_{60}\)，通常不等于固定的 \(60\lambda\)。独立于过去计数不等于独立于任意额外信息。失效的是条件均值步骤，后面减去 \(\lambda t\) 的代数没有错。