有限期第一资产定价基本定理：无套利与等价鞅测度

一期矩阵给了我们一个直观图景：所有零成本持仓的终端增益不能落进非负象限的非零部分，于是存在一组严格正的权重把它们的平均压到零。多期市场的难点是：哪些终端向量真的能由当时可知的持仓产生？即使找到了权重，为什么它会让每一期贴现价格都成为条件均值不变的过程？

这一证明单元把这两步接起来。我们先完成现金持仓的构造，再从一个有限维最近点得到严格正权重，最后用只在一个信息事件上交易的持仓恢复条件鞅性质。只需有限维线性代数、条件期望、紧性与连续函数取最小值。

1. 定理中的有限性与交易规则

固定 \(\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_m\}\)，\(\mathcal F=2^\Omega\)，且 \(P(\{\omega_i\})>0\)。时点为 \(0,\ldots,T\)，\(T<\infty\)；取

\[ \mathcal F_0=\{\varnothing,\Omega\},\qquad \mathcal F_0\subseteq\cdots\subseteq\mathcal F_T=\mathcal F. \]

若原始样本空间更细，这里直接以终端信息的正概率原子为状态；完备性和测度唯一性都针对这些可区分状态。

现金账户 \(B_k\) 为确定、严格正的有限数值；借款与存款沿同一账户增长。风险资产向量 \(S_k=(S_k^1,\ldots,S_k^d)\) 取有限实值且适应滤过。允许有限、有符号的实数持仓，没有手续费、买卖价差、分红或额外借贷、卖空与流动性限制。\(h_k\in\mathbb R^d\) 是在 \((k-1,k]\) 持有的风险资产单位数，必须 \(\mathcal F_{k-1}\) 可测；现金账户单位数 \(\beta_k\) 也一样。¹

这些条件让可实施的零成本增益构成线性空间：两套策略可以相加，也可以乘任意实数。若只允许买不能卖，这个线性结构就不能照用。

令 \(\widetilde S_k=S_k/B_k\)，\(\widetilde V_k=V_k/B_k\)。套利是初值 \(V_0=0\)、终值每个状态非负、至少一个状态严格正的自融资策略。由于 \(P\) 全支持，这等价于 \(V_T\ge0\) 且 \(P(V_T>0)>0\)。

2. 任意可预测风险持仓，都要先补上现金

对 \(k=1,\ldots,T-1\)，自融资要求换仓前后在同一时点计价的财富相等，没有外部注资或提款：

\[ \beta_kB_k+h_k\cdot S_k =\beta_{k+1}B_k+h_{k+1}\cdot S_k. \]

命题（现金补足）。给定初始财富 \(V_0\in\mathbb R\) 和所有可预测风险持仓 \(h_1,\ldots,h_T\)，唯一的自融资现金持仓由以下递推确定：

\[ \begin{aligned} \beta_1&=\frac{V_0-h_1\cdot S_0}{B_0},\\ \beta_{k+1}&=\frac{\beta_kB_k+h_k\cdot S_k-h_{k+1}\cdot S_k}{B_k},\qquad 1\le k\le T-1. \end{aligned} \]

证明。第一式是初始预算的唯一解，因为 \(B_0>0\)；它是 \(\mathcal F_0\) 可测。若 \(\beta_k\) 已构造，第二式正是上述换仓等值式对 \(\beta_{k+1}\) 的唯一解。右端每项都在 \(\mathcal F_k\) 可知，因此 \(\beta_{k+1}\) 可用于下一期。归纳完成存在、可预测性和唯一性。²

现在把同一期持仓放在两个端点计价：

\[ \begin{aligned} V_k&=\beta_kB_k+h_k\cdot S_k,\\ V_{k-1}&=\beta_kB_{k-1}+h_k\cdot S_{k-1}. \end{aligned} \]

各自除以对应的 \(B\) 后相减，现金单位数消去，得到

\[ \widetilde V_k-\widetilde V_{k-1} =h_k\cdot(\widetilde S_k-\widetilde S_{k-1}). \]

逐期求和就是贴现财富恒等式：

\[ \widetilde V_k=V_0/B_0+ \sum_{j=1}^k h_j\cdot\Delta\widetilde S_j. \]

这一步不是记号游戏。后面用到的每个“只在事件 \(A\) 上持有一单位股票”的测试策略，都必须经这条递推补成完整资金策略，才真属于无套利条件所约束的对象。

3. 定理陈述与较直接的一边

定理（有限期第一资产定价基本定理）。在第 1 节全部模型条件下，市场无套利，当且仅当存在概率 \(Q\sim P\)，使每个贴现风险价格 \(\widetilde S^i\) 相对于 \((\mathcal F_k)\) 是 \(Q\) 鞅。有限状态中的 \(Q\sim P\) 等价于每个 \(q_i=Q(\{\omega_i\})\) 严格正。³

先证明存在这样的 \(Q\) 就没有套利。可预测性让 \(h_k\) 在 \(\mathcal F_{k-1}\) 下可提出，而贴现价格增量的条件均值为零。因此自融资财富满足

\[ E_Q[\widetilde V_k\mid\mathcal F_{k-1}] =\widetilde V_{k-1}. \]

这里所有变量都取有限多个有限值，可积性自动成立。零初值给 \(E_Q\widetilde V_T=0\)。若存在套利，则 \(B_T>0\) 保持终值符号；某个严格正终值所在的状态也有严格正 \(q_i\)，使 \(E_Q\widetilde V_T>0\)，矛盾。

注意严格正性在这一句里真正用到了：如果 \(Q\) 可以给盈利状态零权重，“均值为零”就可能看不见那个套利。

4. 从无套利构造严格正权重

把终端随机变量看成 \(\mathbb R^m\) 中的向量，定义零初值贴现增益空间

\[ L=\left\{\sum_{k=1}^T h_k\cdot\Delta\widetilde S_k: h_k\text{ 是可预测风险持仓}\right\}. \]

现金补足保证这里每个向量都能由零初值自融资策略实现。它是线性子空间，因而在有限维空间中闭。无套利说 \(L\) 不含非零非负向量。把这样的向量除以分量之和，可知这等价于 \(L\) 与单纯形

\[ \mathcal D=\{f\in\mathbb R^m:f_i\ge0,\ \sum_i f_i=1\} \]

不相交。下面把分离论证完整展开，而不只调用一个定理名称。⁴

先令 \(G=\mathcal D-L\)。它凸、非空，且不含零。它也闭：若 \(x_n=f_n-\ell_n\to x\)，单纯形的紧性让一个子列满足 \(f_{n_j}\to f\in\mathcal D\)；于是 \(\ell_{n_j}=f_{n_j}-x_{n_j}\to f-x\)。\(L\) 闭，所以 \(f-x\in L\)，即 \(x\in G\)。

取以原点为中心、半径为 \(r\) 且与 \(G\) 相交的闭球 \(\overline B(0,r)\)。交集非空且紧，欧氏范数在其中达到最小值，记最小点为 \(z\)。球外所有点范数大于 \(r\ge\|z\|\)，故 \(z\) 也是整个 \(G\) 的最小范数点。由于 \(0\notin G\)，\(z\ne0\)。

对 \(x\in G\) 和 \(0<\lambda<1\)，凸性给 \(z+\lambda(x-z)\in G\)。最小性于是给

\[ \begin{aligned} \|z+\lambda(x-z)\|^2&\ge\|z\|^2,\\ 2z\cdot(x-z)+\lambda\|x-z\|^2&\ge0. \end{aligned} \]

令 \(\lambda\downarrow0\)，得 \(z\cdot x\ge\|z\|^2\)。代入 \(x=f-\ell\)：

\[ z\cdot f-z\cdot\ell\ge\|z\|^2 \quad(f\in\mathcal D,\ \ell\in L). \]

固定 \(f\)，把 \(\ell\) 替换成任意实数倍 \(a\ell\)。若 \(z\cdot\ell\ne0\)，选适当符号、足够大的 \(a\) 就使不等式失败。因此 \(z\perp L\)。再逐个取单纯形顶点 \(f=e_i\)，得到

\[ z_i\ge\|z\|^2>0\quad\text{对每个 }i. \]

所以分离所得不是仅仅“非负”的权重。归一化

\[ q_i=\frac{z_i}{\sum_jz_j} \]

给出全支持概率 \(Q\)；而 \(z\perp L\) 说明 \(E_Q\ell=0\) 对每个 \(\ell\in L\) 成立。

5. 终端增益均值为零，怎样恢复每一期的条件等式

还不能直接说“因此贴现价格是鞅”。目前只知道所有零初始终端增益的 \(Q\) 平均为零。我们需要把这条结论落实到每个资产、每一期、每个当时可知的事件。

固定资产 \(i\)、时点 \(k\) 和 \(A\in\mathcal F_{k-1}\)，令风险持仓只在第 \(k\) 期的该资产取 \(\mathbf1_A\)，其他期、其他资产均为零。这是可预测持仓。用第 2 节递推补足现金，初值取零，它的终端贴现增益正好为

\[ \ell=\mathbf1_A(\widetilde S_k^i-\widetilde S_{k-1}^i)\in L. \]

因而 \(E_Q[\mathbf1_A\Delta\widetilde S_k^i]=0\)。这对所有 \(A\in\mathcal F_{k-1}\) 都成立；再加上适应性、可积性，条件期望的积分刻画给

\[ E_Q[\widetilde S_k^i\mid\mathcal F_{k-1}] =\widetilde S_{k-1}^i. \]

每个资产和每一期均如此，故 \(Q\) 为 EMM。至此两方向都完成。这里采用的是 Williams Lemma 3.2.6 的指标持仓思路，但已经把测试策略的现金与合法性写出。⁵

6. 在冻结一期市场里看见证明中的空间

回到同一 EXP-STATE-01 二状态市场。持有一单位股票并用现金账户借款，使初值为零；贴现增益的基向量为

\[ g=\left(\frac{300}{17},-\frac{200}{17}\right),\qquad L=\operatorname{span}\{g\}. \]

可选常数风险持仓 \(h\)，增益就是 \(hg\)。每个非零 \(h\) 都让两个分量一正一负，所以 \(L\) 不会进入非零非负象限。上面构造出的定价权重在此就是 \(Q=\left(\frac{2}{5},\frac{3}{5}\right)\)，它满足 \(Q\cdot g=0\)。

量	精确结果
风险持仓 \(h\)	\(1\)
现金账户单位 \(\beta\)	\(-100\)
初始财富	\(0\)
终端现金金额	\(-102\)
两状态财富	\(\left(18,-12\right)\)
两状态贴现增益	\(\left(\frac{300}{17},-\frac{200}{17}\right)\)
\(Q\) 下增益均值	\(0\)

这个视图允许改变持仓和初始财富，而不改变市场价格或状态。先看现金账户单位怎样随持仓改变，再看贴现增益恒等式。改变候选 \(q_u\) 也会显示：概率总和为 1 并不够，还必须使 \(Q\cdot g=0\)。

7. 迁移：未来持仓与零权重状态

问题一。仍在同一二状态市场中，设某人只在上涨结果出现时持有股票，下跌时不持有，并声称能在起点借入恰好需要的现金，使初值处处为零、终值非负。这与本定理矛盾吗？

解析。这个风险持仓是 \(h_1=\mathbf1_{\{\mathrm{up}\}}\)，不是平凡 \(\mathcal F_0\) 可测；相应现金单位 \(\beta_1=-S_0h_1/B_0\) 也需要预知结果。它确实形式上产生 \(( 18,0)\) 的终值，但不是本模型允许的策略。失败的是交易信息条件，不是分离证明。现金补足只把已经可预测的风险持仓补成自融资策略，并不会替未来信息“洗白”。

问题二。三状态新增支付在价格下端 \(c=\frac{100}{51}\) 时，可以找到使全部资产正确加权的 \(Q=(0,\frac{9}{10},\frac{1}{10})\)。为什么这不能排除套利？请核对持仓与被忽略的状态。

解析。下端套利持仓为 \((\beta,\Delta,\gamma)=\left(\frac{5000}{51},-1,1\right)\)，其初始成本零、终值 \(\left(20,0,0\right)\)。\(Q\) 恰好给唯一盈利的下跌状态零权重，所以期望仍为零。它只对 \(P\) 绝对连续，不与全支持 \(P\) 等价。定理必须构造每个分量严格正的权重；第 4 节逐顶点证明的正是这一点。