Itô 公式与几何 Brownian 模型

二阶项不是对普通链式法则的小修饰

普通链式法则把一阶增量累加，较高阶项消失；Brownian 增量的平方和却留下非零极限。这就是 Itô 修正项的来源。本篇先给条件完整的一维公式，再把几何 Brownian 运动的显式解、均值、对数漂移和唯一性走通。完整公式证明另在 一维 Itô 公式的证明 ↗，不隐藏在“二阶项自然留下”这句话里。

先修是连续积分的含义、二次变差，以及对确定函数求偏导。数值实验中的概率 \(P\) 是人为指定的生成模型，不是从真实收益拟合出来的规律。

采用的公式及全部条件

固定 \(T<\infty\)，通常条件（过滤右连续，且 \(\mathcal F_0\) 包含 \(\mathcal F\) 中所有 \(P\) 零集及其子集）的过滤概率空间，\(W\) 相对于该过滤为 Brownian。令 \(X_0\) 是有限的 \(\mathcal F_0\) 可测随机变量；\(a,b\) 渐进可测，满足

\[ \int_0^T|a_s|ds+\int_0^Tb_s^2ds<\infty\quad\text{几乎必然}. \]

定义连续 Itô 过程

\[ X_t=X_0+\int_0^ta_sds+\int_0^tb_sdW_s. \]

随机积分必要时按局部平方可积版本解释。若 \(f\in C^{1,2}([0,T]\times\mathbb R)\)，即 \(f,f_t,f_x,f_{xx}\) 联合连续，时间端点取单侧导数，则在一个共同满测度集合上，对所有 \(t\le T\)，

\[ \begin{aligned} f(t,X_t)-f(0,X_0) ={}&\int_0^t f_t(s,X_s)ds\\ &+\int_0^t a_sf_x(s,X_s)ds\\ &+\frac12\int_0^t b_s^2f_{xx}(s,X_s)ds\\ &+\int_0^t b_sf_x(s,X_s)dW_s. \end{aligned} \]

不要求 \(f_{tt}\) 或 \(f_{tx}\) 存在，也不要求 \(E|X_0|^2<\infty\)。连续路径在有限时间内有界；在其经过的紧区域上，所需导数有界。因此普通积分和局部随机积分合法。这个结论本身不会让最后一项自动成为全局零均值的真鞅。¹

对 \(f(x)=x^2\)，公式给 \(d(X_t^2)=2X_t\,dX_t+b_t^2dt\)。当 \(X=W\)，就回到 \(\int WdW=(W_t^2-t)/2\)。这既检验系数 \(1/2\)，也说明简写 \((dW)^2=dt\) 只能是已证公式的记忆方式。

从显式函数验证 GBM

取常数 \(\mu,\sigma\) 和确定 \(S_0>0\)，令

\[ S_t=S_0\exp\{(\mu-\sigma^2/2)t+\sigma W_t\}. \]

设 \(g(t,x)=S_0e^{(\mu-\sigma^2/2)t+\sigma x}\)。则

\[ g_t=(\mu-\sigma^2/2)g, \quad g_x=\sigma g, \quad g_{xx}=\sigma^2g. \]

对 Brownian 特例应用公式，两项 \(\sigma^2/2\) 抵消，得到

\[ dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t. \]

显式函数连续、正值，有限区间上路径有界，故相关局部积分确实存在。反过来，对任一正解应用 \(\log\)，在远离零和无穷的停止区间上有

\[ d\log S_t=(\mu-\sigma^2/2)dt+\sigma dW_t. \]

这里 \(\log\) 只在正半轴定义，不能对一个可能穿零的过程不加停止直接应用。

还要说明：这是同一驱动下的唯一解

若 \(S,\widehat S\) 是同一个 \(W\)、同一起点的两个连续解，令 \(D=S-\widehat S\)，并停在

\[ \tau_m=\inf\{t:S_t^2+\widehat S_t^2\ge m\}\wedge T. \]

停止后各二阶矩有限，停止规则与差方程给

\[ D_{t\wedge\tau_m} =\mu\int_0^t\mathbf1_{\{s\le\tau_m\}}D_sds +\sigma\int_0^t\mathbf1_{\{s\le\tau_m\}}D_sdW_s. \]

利用 \((x+y)^2\le2x^2+2y^2\)、Cauchy–Schwarz 与 Itô 等距，若 \(y(t)=E|D_{t\wedge\tau_m}|^2\)，则

\[ y(t)\le2(\mu^2T+\sigma^2)\int_0^t y(s)ds. \]

令 \(F(t)=\int_0^t y(s)ds\)。它绝对连续、\(F(0)=0\)，且 \(F'\le CF\)，所以 \((e^{-Ct}F(t))'\le0\)；非负性迫使 \(F=y=0\)。这就是本例需要的 Gronwall 步骤。随 \(m\) 增大，连续路径在有限区间有界，停时最终等于 \(T\)。先对有理时点、再用连续性，就得两个解不可分辨。²

如果不先停止，直接写有限的二阶矩不等式，就可能把待证的可积性偷放进证明。显式解的验证与唯一性是不同责任。

\(\mu\)、对数漂移和均值增长不是一个量

高斯矩母函数给

\[ E[S_T]=S_0e^{\mu T}, \qquad E\log(S_T/S_0)=(\mu-\sigma^2/2)T. \]

冻结教学模型是 \(S_0=100\)、\(\mu_P=.08\)、\(\sigma=.20\)、\(T=1\)。理论一年均值为 108.32870677，对数漂移为 .06；预期简单收益则为 \(e^{.08}-1\)，不是恰好 .08。波动率越高，保持相同 \(\mu\) 时典型的对数增长越低，但价格均值增长率仍由 \(\mu\) 决定。

网格区间数	Euler 与精确终点的 RMSE	样本中非正 Euler 终点数
4	1.621890529	0
16	0.787997031	0
64	0.390661657	0
256	0.196192820	0

Euler 离散式是 \(S_{j+1}^{E}=S_j^E(1+\mu\Delta t+\sigma\Delta W_j)\)。表中它与显式解使用同一组增量，比较的是同路径终点误差，不是两套独立模拟的差。Euler 理论上可能产生非正值；这次有限样本未出现，也不能将其当作正值保证。四个步长上的下降趋势不是一份收敛阶证明。

定价实验后来会在一个另述的 \(Q\) 模型中用 \(r\) 作为漂移。共用随机数只是数值耦合，不是证明 \(P\) 与 \(Q\) 的换测度关系，更不能把这里的 .08 随手替换成真实投资的必要回报率。

迁移题：谁增长得更快？

题目。 在上述一年模型下，比较均值、中位数和预期对数收益。有人忽略二阶修正，写成 \(\widetilde S_T=100e^{.08+.20W_T}\)，求它实际对应的价格漂移，并解释为什么它不再是原模型。

解析。 中位数为 \(100e^{.06}\approx106.1837\)，均值为 \(100e^{.08}\approx108.3287\)，预期对数收益为 .06。均值被较大的右尾拉高，不能用均值代表“半数路径以上”。

对错误式用 Itô 公式，它的价格漂移是 \(.08+.5(.20)^2=.10\)，均值变为 \(100e^{.10}\approx110.5171\)。少掉 \(-\sigma^2/2\) 不是一个记号偏好，而是换了模型。纠正方式应回到导数与二阶项，而不是事后把模拟均值强行校到 108.33。