一维 Itô 公式：从 Taylor 和式到一般系数

这篇证明的困难不是写出二阶项，而是说明每一个和式究竟收敛到什么，以及最后怎样从有界阶梯系数返回一般过程。我们先把证明中真正要使用的条件列全，再逐项过极限。先修是 \(L^1/L^2\) 收敛、条件期望，以及 Itô 积分的构造、Doob 估计和停止规则 ↗；不需要一般鞅表示定理。

1. 要证明的命题

令 \(T<\infty\)，过滤概率空间满足通常条件（过滤右连续，且 \(\mathcal F_0\) 包含 \(\mathcal F\) 中所有 \(P\) 零集及其子集），\(W\) 是相对于该过滤的 Brownian 运动。令 \(X_0\) 为有限的 \(\mathcal F_0\) 可测随机变量，\(a,b\) 为渐进可测过程，且

\[ \int_0^T|a_s|\,ds+\int_0^T b_s^2\,ds<\infty\quad\text{a.s.} \]

令 \(X_t=X_0+\int_0^ta_sds+\int_0^tb_sdW_s\)，取其连续版本。令 \(f\in C^{1,2}([0,T]\times\mathbb R)\)：\(f,f_t,f_x,f_{xx}\) 联合连续，时间端点采用单侧导数。则在一个共同的满概率事件上，对所有 \(t\in[0,T]\)，

\[ \begin{aligned} f(t,X_t)-f(0,X_0) &=\int_0^t f_t(s,X_s)\,ds\\ &\quad+\int_0^t a_s f_x(s,X_s)\,ds\\ &\quad+\frac12\int_0^t b_s^2 f_{xx}(s,X_s)\,ds\\ &\quad+\int_0^t b_s f_x(s,X_s)\,dW_s. \end{aligned} \]

最后一项按局部平方可积积分理解。因为每条连续 \(X\) 路径在有限区间内有界，相关导数沿路径也有界，以上积分的路径可积条件成立。这里没有假定 \(X_0\in L^2\)，也没有假定 \(f_{tt}\) 或 \(f_{tx}\) 存在。Lalley 的一维命题给出这个公式；下面把其证明中略写的一般系数逼近完整展开。¹

证明分为三层：先取有界阶梯系数和有界一致连续导数；再传递到积分可积的一般系数；最后用停止和空间截断返回原来的 \(f\)。

2. 只用一次时间导数的 Taylor 展开

先假设 \(a,b\) 是有界简单可预测过程，且 \(f\) 及所需导数有界、一致连续。对固定 \(t\le T\)，取确定性分割 \(\pi\)，使它包含系数的全部跳点。记 \(h_j=t_{j+1}-t_j\)、\(x_j=X_{t_j}\)、\(\Delta X_j=X_{t_{j+1}}-X_{t_j}\)。于是

\[ \Delta X_j=a_jh_j+b_j\Delta W_j, \qquad a_j,b_j\in\mathcal F_{t_j}. \]

不要对 \((t,x)\) 作一个未经条件支持的二阶全变量展开。我们先在固定 \(x_{j+1}\) 时展开时间，再在固定 \(t_j\) 时展开空间：

\[ \begin{aligned} f(t_{j+1},x_{j+1})-f(t_j,x_j) &=f_t(t_j,x_j)h_j+f_x(t_j,x_j)\Delta X_j\\ &\quad+\frac12f_{xx}(t_j,x_j)(\Delta X_j)^2+R_j. \end{aligned} \]

时间差可以直接写为 \(\int_{t_j}^{t_{j+1}}f_t(s,x_{j+1})ds\)。减去 \(f_t(t_j,x_j)h_j\) 后，绝对值至多为 \(h_j\omega(h_j+|\Delta X_j|)\)。空间余项由 \(f_{xx}\) 的一致连续性控制为 \(\tfrac12(\Delta X_j)^2\omega(|\Delta X_j|)\)。放大同一个连续模 \(\omega\)，便得到

\[ \sum_j|R_j| \le \omega\!\left(|\pi|+\max_j|\Delta X_j|\right) \left(t+\sum_j(\Delta X_j)^2\right). \]

\(X\) 连续，所以第一个因子几乎处处趋零。若 \(|a_j|,|b_j|\le K\)，则

\[ E\sum_j(\Delta X_j)^2 \le 2K^2\sum_jh_j^2+2K^2t. \]

右边一致有界，因此括号中的随机变量族在概率上有界。一个趋零于概率的因子乘以一个在概率上有界的因子仍趋零于概率：先把第二因子限制在任意大常数以内，再控制第一因子即可。故全部余项之和趋零于概率。这一步只用到时间的一阶连续可微性。²

3. 加权平方增量为什么给出二阶项

先证明一个可反复使用的小结论。若 \(\zeta_j\) 是 \(\mathcal F_{t_j}\) 可测且 \(|\zeta_j|\le C\)，令

\[ \eta_j=\zeta_j\big((\Delta W_j)^2-h_j\big). \]

Brownian 增量独立于过去，故 \(E[\eta_j\mid\mathcal F_{t_j}]=0\)，而正态四阶矩给 \(E\eta_j^2\le2C^2h_j^2\)。当 \(i<j\) 时，\(\eta_i\) 已是 \(\mathcal F_{t_j}\) 可测，条件期望消掉交叉项。于是

\[ E\left|\sum_j\eta_j\right|^2 =\sum_jE\eta_j^2 \le2C^2\sum_jh_j^2\longrightarrow0. \]

在本题取 \(\zeta_j=f_{xx}(t_j,X_{t_j})b_j^2\)，得到

\[ \begin{aligned} &\sum_j f_{xx}(t_j,X_{t_j})b_j^2(\Delta W_j)^2\\ &\quad-\sum_j f_{xx}(t_j,X_{t_j})b_j^2h_j \longrightarrow0\quad\text{于 }L^2. \end{aligned} \]

第二个和式趋于 \(\int_0^t f_{xx}(s,X_s)b_s^2ds\)，因为 \(b\) 只有有限个跳点，其余部分沿连续路径是普通 Riemann 和。

还需检查 \(\Delta X\) 中的漂移。漂移平方和不超过 \(K^2\sum h_j^2\)；漂移与 Brownian 的混合和满足

\[ \left|\sum_j a_jb_jh_j\Delta W_j\right| \le K^2\left(\sum_jh_j^2\right)^{1/2} \left(\sum_j(\Delta W_j)^2\right)^{1/2}. \]

第一因子趋零，第二因子在概率上有界。即使再乘有界的 \(f_{xx}\)，相同估计仍成立。因此二阶和式的极限只有 \(\int b^2f_{xx}ds\)，没有漂移平方或混合项留下来。

这里得到的是一个有条件的极限结论，不是把普通代数中的 \((dW)^2\) 任意替换成 \(dt\)。

4. 一次项与共同版本

时间项和漂移项分别趋于 \(\int f_tds\) 与 \(\int af_xds\)。随机一次项是简单积分

\[ \sum_j f_x(t_j,X_{t_j})b_j\Delta W_j. \]

由于 \(b\) 有界，且 \(f_x\) 有界、一致连续，分割细化后，相应被积过程在 \(L^2(dt\otimes P)\) 中趋于 \(f_x(s,X_s)b_s\)。这里可以用有界控制收敛：路径连续给点态收敛，统一上界给可积控制。Itô 等距因此把简单积分送到所需随机积分。

将各项极限放回逐路径成立的有限 Taylor 恒等式，得到固定 \(t\) 时的公式几乎处处成立。然后先只取 \([0,T]\) 内的有理数并加上 \(T\)，合并这个可数集合对应的零测例外；左右各项都有连续版本，所以等式延伸到全部 \(t\)。不能直接把“每个固定时点几乎处处”当作“所有时点同时几乎处处”。

5. 一般系数：逐项说明怎样过极限

现在仍暂取导数有界一致连续，但不再假定系数有界或为阶梯。令

\[ A_t=\int_0^t(|a_s|+b_s^2)ds, \qquad \tau_m=\inf\{t:A_t\ge m\}\wedge T. \]

先证明停止后的过程。把 \(a,b\) 替换为它们乘 \(\mathbf1_{(0,\tau_m]}\) 的版本，仍记为 \(a,b\)，则逐路径有 \(\int|a|\le m\)、\(\int b^2\le m\)。因此也有 \(E\int|a|\le m\)、\(E\int b^2\le m\)。

由 渐进可测过程的稠密逼近 ↗，可取有界简单可预测 \(a^n,b^n\) 使

\[ a^n\to a\text{ 于 }L^1(dt\otimes P), \qquad b^n\to b\text{ 于 }L^2(dt\otimes P). \]

令 \(X^n\) 使用相同的 \(X_0\)，漂移和波动系数为 \(a^n,b^n\)。则

\[ \sup_{t\le T}|X_t^n-X_t| \le\int_0^T|a_s^n-a_s|ds +\sup_{t\le T}\left|\int_0^t(b_s^n-b_s)dW_s\right|. \]

第一项趋零于 \(L^1\)；第二项由 Doob 和等距趋零于 \(L^2\)。所以 \(X^n\to X\) 一致于概率。初值在相减时消掉，这正是无需 \(E|X_0|^2<\infty\) 的原因。

令 \(\delta_n=\sup_{s\le T}|f_x(s,X_s^n)-f_x(s,X_s)|\)。一致连续性使 \(\delta_n\to0\) 于概率；有界性又给 \(E\delta_n\to0\)、\(E\delta_n^2\to0\)。对 \(f_t,f_{xx}\) 同理。接下来不是笼统说“连续，所以全部可以传递”，而是分别估计。

漂移项分为

\[ f_x(X^n)(a^n-a)+(f_x(X^n)-f_x(X))a. \]

这里略去共同时间变量。第一部分积分的 \(L^1\) 范数至多为 \(\|f_x\|_\infty\|a^n-a\|_1\)；第二部分至多为 \(mE\delta_n\)，两者都趋零。时间项以 \(T\) 乘相应导数的上确界差控制。

二阶项先注意

\[ \begin{aligned} &\|(b^n)^2-b^2\|_1\\ &\quad\le\|b^n-b\|_2(\|b^n\|_2+\|b\|_2) \longrightarrow0. \end{aligned} \]

把 \(f_{xx}(X^n)(b^n)^2-f_{xx}(X)b^2\) 分成平方系数差和导数差两部分，前者由上式控制，后者由 \(\int b^2\le m\) 控制。因此其积分也趋零于 \(L^1\)。

随机项的被积过程差为

\[ f_x(X^n)(b^n-b)+(f_x(X^n)-f_x(X))b. \]

其平方范数至多为

\[ 2\|f_x\|_\infty^2\|b^n-b\|_2^2+2mE\delta_n^2\longrightarrow0. \]

Itô 等距与 Doob 估计再给随机积分的一致概率收敛。左端 \(f(t,X_t^n)\) 也由有界一致连续性传递。于是有界导数条件下的一般系数公式成立。注意整个证明只需要漂移的 \(L^1\) 逼近，没有暗中要求漂移平方可积。³

6. 返回原来的函数和过程

取光滑空间截断 \(\chi_R\)，在 \([-R,R]\) 上等于一，在更大的有界区间外为零，令 \(f^R(t,x)=\chi_R(x)f(t,x)\)。有限时间区间上，\(f^R\) 及所需导数有界、一致连续，因此上一节的结论适用。

令 \(\rho_R=\inf\{t:|X_t|\ge R\}\wedge T\)。在 \(|X_0|<R\) 且 \(t\le\rho_R\) 时，\(f^R\) 与 \(f\) 及所需导数一致。使用 已经证明的随机积分停止规则 ↗，可把 \(f^R\) 的等式停止在 \(\rho_R\wedge\tau_m\)，换回原函数。普通积分的停止身份直接由时间截断成立。

对几乎每条路径，\(A_T<\infty\)，且 \(\sup_{t\le T}|X_t|<\infty\)。因此取足够大的整数 \(m,R\) 后，这两个停时都等于 \(T\)，并且 \(|X_0|<R\)。在这些可数停止版本上取共同满概率事件，再利用连续性，就得到命题所述整个区间的同一版本。这完成证明。

这个结论不会额外保证随机项是全局真鞅。只有局部平方可积条件时，公式中的随机积分仍可能仅为局部鞅；不能仅因它写成 \(\int\cdots dW\) 就直接把期望设为零。

7. 迁移：哪一个条件真的不可少

令 \(t_0\in(0,T)\)，取 \(f(t,x)=|t-t_0|^{3/2}+x^2\)。先判断此函数能否使用本篇定理，再对一般的 \(X\) 写出结果。最后判断“随机积分没有漂移，所以 \(E[X_t^2]\) 等于右边确定积分的期望”是否已经得到证明。

解析

时间导数是 \(\tfrac32\operatorname{sgn}(t-t_0)|t-t_0|^{1/2}\)，在 \(t_0\) 连续；二阶时间导数在那里不存在，但本定理不需要它。空间导数为 \(2x\) 和 \(2\)。因此

\[ \begin{aligned} &f(t,X_t)-f(0,X_0)\\ &\quad=|t-t_0|^{3/2}-|t_0|^{3/2}\\ &\qquad+2\int_0^tX_sa_sds+\int_0^tb_s^2ds\\ &\qquad+2\int_0^tX_sb_sdW_s. \end{aligned} \]

消去时间函数，得到 \(X_t^2-X_0^2=2\int X_sa_sds+\int b_s^2ds+2\int X_sb_sdW_s\)。各项是已经合法建立的路径恒等式。要直接取期望并消去最后一项，还要有足够的全局可积条件，例如 \(E\int_0^tX_s^2b_s^2ds<\infty\)，并检查其余项的期望存在。局部公式本身不提供这些额外结论。