Itô 积分：按已知信息累计变化

先决定系数，再接受下一段变化

离散交易中的累计变化写成“前一时点决定的持仓，乘以后一区间的价格增量”。这一先后顺序到了连续时间不会消失。本篇先在有限个区间上定义积分，完整证明等距与鞅性质，再亲手重建 \(\int W\,dW\)。一般积分的密度、连续版本与停止规则在独立单元 Itô 积分的完整构造 ↗ 中证明。

固定有限 \(T\) 和通常条件下的过滤概率空间；通常条件是过滤右连续，并且 \(\mathcal F_0\) 包含概率空间中的全部零测子集。\(W\) 相对于这个过滤为 Brownian 运动。先修为条件期望、\(L^2\) 范数及上一单元的二次变差。

可以直接算的积分

令 \(0=t_0<\cdots<t_n=T\) 为确定性分割。一个简单可预测过程写作

\[ H_t=\sum_{j=0}^{n-1}\xi_j\mathbf1_{(t_j,t_{j+1}]}(t), \qquad \xi_j\in L^2(\mathcal F_{t_j}). \]

这里 \(\xi_j\) 服务于 \((t_j,t_{j+1}]\)，在 \(t_j\) 已知。定义

\[ I_t(H)=\sum_j\xi_j \bigl(W_{t\wedge t_{j+1}}-W_{t\wedge t_j}\bigr). \]

它对分割的细分不变：把一个区间分成两半但保持相同系数，两个增量会加回原增量。因此不同的分段表示不会改变积分。它也立即是线性的、适应的，并具有连续路径。¹

系数可以随机，不必是常数；关键是不能偷用下一时点的值。我们并不说每个随机持仓的收益相互独立，接下来只需要条件期望。

等距：交叉项为什么为零

记 \(A_j=\xi_j\Delta W_j\)。因为未来增量独立于 \(\mathcal F_{t_j}\)，有

\[ E[A_j\mid\mathcal F_{t_j}]=0, \qquad E[A_j^2]=E[\xi_j^2]\Delta t_j. \]

对 \(j<k\)，\(A_j\) 已是 \(\mathcal F_{t_k}\) 可测，故

\[ E[A_jA_k] =E\{A_j\xi_k E[\Delta W_k\mid\mathcal F_{t_k}]\}=0. \]

这里各项可积：\(A_j\in L^2\)，\(\xi_k\in L^2\)，所以 \(A_j\xi_k\in L^1\)；再利用其与未来增量的独立性，乘积仍可积。也可以先截断系数再用 \(L^2\) 极限得到同一结论。

展开有限和的平方便得

\[ E[I_T(H)]=0, \qquad E|I_T(H)|^2 =\sum_j E[\xi_j^2]\Delta t_j =E\int_0^T H_t^2\,dt. \]

这就是简单过程的 Itô 等距：被积过程的时空均方范数，变成积分终点的均方范数。它不只是一个方便算方差的技巧；它告诉我们应该用什么距离延拓积分。

从终点均值到整个过程的鞅性质

固定 \(s<t\)，把分割加上 \(s,t\)。处在同一原区间内时，系数在较早的左端点已知，因此在新左端点仍已知。对新分段中的每个未来增量，条件均值为零。逐段用塔式性质，得到

\[ E[I_t(H)-I_s(H)\mid\mathcal F_s]=0. \]

适应性和可积性已经核过，故 \(I(H)\) 是连续平方可积鞅。未来区间的系数未必在 \(s\) 已知；我们是在各个区间自己的左端点条件化，再退回 \(\mathcal F_s\)，不是把全部未来系数一口气提出。

一般过程需要哪一种可测性

渐进可测（progressive）的意思是：对每个 \(u\le T\)，\((t,\omega)\mapsto H_t(\omega)\) 在 \([0,u]\times\Omega\) 上相对于 \(\mathcal B([0,u])\otimes\mathcal F_u\) 可测。这同时提供时间和样本的联合可测性；单说每个 \(H_t\) 适应并不够。

采用空间

\[ \mathcal H_T^2 =\{H\text{ 渐进可测}:E\int_0^T H_t^2dt<\infty\}, \]

并把 \(dt\otimes P\) 几乎处处相等的过程视为同一元素。简单左阶梯在这个空间稠密。若 \(H^m\to H\) 于此范数，等距使 \(I_T(H^m)\) 在 \(L^2(P)\) 中收敛；但终点收敛还没有自动构造一条连续路径。QT16-P1 进一步用 Doob 最大不等式建立连续过程的极限，证明逼近无关、鞅性质与停止规则。²

最终的连续积分过程按不可分辨性（indistinguishability）识别：存在一个共同满测度集合，其上所有时点都相等。这比逐个固定时点的几乎必然相等，量词更强。

若只有 \(\int_0^T H_t^2dt<\infty\) 几乎必然，却没有期望有限，则须局部化，自动得到的是连续局部鞅，不可直接声称全局零均值或有限二阶矩。

从定义算一次：为什么不是 \(W_T^2/2\)

\(W\) 本身属于 \(\mathcal H_T^2\)，因为 \(E\int_0^T W_t^2dt=T^2/2\)。用左端点阶梯 \(H_t^\pi=W_{t_j}\) 逼近它，则

\[ \begin{aligned} E\int_0^T|W_t-H_t^\pi|^2dt &=\sum_j\int_{t_j}^{t_{j+1}}(t-t_j)dt\\ &=\frac12\sum_j(\Delta t_j)^2\longrightarrow0. \end{aligned} \]

另一方面，每条路径上都有精确望远镜恒等式

\[ 2\sum_jW_{t_j}\Delta W_j=W_T^2-Q_\pi. \]

左边由等距趋于 \(2\int_0^T W_t\,dW_t\)，右边由二次变差趋于 \(W_T^2-T\)，于是

\[ \int_0^T W_t\,dW_t=\frac{W_T^2-T}{2}. \]

若换用右端点，两个有限和之差恰好是

\[ \sum_j W_{t_{j+1}}\Delta W_j -\sum_jW_{t_j}\Delta W_j=Q_\pi. \]

故右端点和趋于 \((W_T^2+T)/2\)。这是不同信息约定造成的实质差别，不是数值显示误差。右端点系数一般不在区间开始时可知，所以它不属于我们刚定义的简单可预测积分。

同一路径上的左、右和式

实验仍使用上一单元同一个 \(8192\times256\) 正态数组，\(T=1\)。对每条路径从最细网格聚合，不另抽随机数。

网格区间数	首路径左和	首路径右和	模拟 MSE	理论 MSE
4	-0.197281995	0.597177420	0.126738290	0.125000000
16	-0.339659852	0.739555278	0.031220589	0.031250000
64	-0.310339703	0.710235128	0.007818851	0.007812500
256	-0.282960276	0.682855701	0.001981947	0.001953125

表中的理论均方误差为 \(1/(2n)\)，它可直接由刚才的逼近误差和等距得到；不是对模拟结果拟合出来的收敛率。单条路径误差可以来回变化，而多路径均方量回答的是另一个问题。

迁移：线性被积过程

题目。 对实常数 \(a,b\)，计算 \(J=\int_0^T(a+bW_t)dW_t\) 的期望与方差，并说明 \(W_T\) 与 \(W_T^2-T\) 不相关是否意味着它们独立。

解析。 线性性给

\[ J=aW_T+\frac b2(W_T^2-T). \]

两个加项期望都为零。高斯分布对称性给 \(E[W_T^3]=0\)，所以交叉项为零；\(\operatorname{Var}(W_T^2)=2T^2\)，因此

\[ \operatorname{Var}(J)=a^2T+\frac{b^2T^2}{2}. \]

从等距也得到 \(\int_0^T E[(a+bW_t)^2]dt\)，结果相同。不过第二个变量是第一个变量的函数；一般并不独立。不相关足以完成这次二阶矩计算，却不能代替更强的独立性断言。