有限市场中的状态价格、等价鞅测度与完备性

给一项未来支付“取个平均”，还没有回答今天该用多少资产把它做出来。这里我们从复制开始：只要一组持仓在每个状态下都交出同样的支付，它的初始成本就提供了一个可核的价格约束。状态价格和等价鞅测度是这组约束的两种表示，不是两套额外的市场预测。

这一单元走完两个一期市场：先在二状态中复制，再增加一个终端状态，看到哪些支付失去唯一价格。一般有限期定理的完整证明分别在 QT18-P1 和 QT18-P2；本篇的矩阵、区间和套利都在这里算完。

1. 先固定市场、持仓与单位

取有限状态空间 \(\Omega\)，\(\mathcal F_0=\{\varnothing,\Omega\}\)，\(\mathcal F_1=2^\Omega\)，研究概率 \(P\) 对每个状态严格为正。现金账户每单位的价格为确定的 \(B_0,B_1>0\)；本例 \(B_0=1\)、\(B_1=\frac{51}{50}\)，所以现金一期增长因子为 \(R=B_1/B_0=\frac{51}{50}\)。这是一段抽象期间，不年化。

允许在时点 0 选择任意有限、有符号的实数持仓，借贷都使用同一现金账户；没有价差、费用、分红或额外持仓限制。持仓必须在结果揭晓前确定。以上是有限市场定理的模型条件，而不是现实市场的默认事实。¹

令 \(\beta\) 为现金账户单位数、\(\Delta\) 为股票单位数。初始成本与终端价值是

\[ V_0=\beta B_0+\Delta S_0, \qquad V_1=\beta B_1+\Delta S_1. \]

\(\beta\) 与现金金额 \(\beta B_t\) 必须分开。负 \(\beta\) 表示借款；一项支付 \(H\) 也不是扣除初始成本后的净利润。

本篇市场为 EXP-STATE-01 的教学构造，计价单位为美元。它没有特定上市合约或真实成交报价；每个支付已经按这里的一份资产单位定义，不能再任意乘一个期权合约乘数。

2. 二状态：先复制，再谈概率

状态顺序为上涨、下跌。给定股票初价 \(S_0=100\)，终值与现金账户如下；看涨式支付的行权价为 \(105\)。

时点或状态	现金账户每单位	股票每单位	看涨式支付
初始	\(1\)	\(100\)	待由复制确定价格
上涨	\(\frac{51}{50}\)	\(120\)	\(15\)
下跌	\(\frac{51}{50}\)	\(90\)	\(0\)

令 \(\theta=(\beta,\Delta)^T\)。把状态放在行、资产放在列：

\[ A=\begin{pmatrix}\frac{51}{50}&120\\\frac{51}{50}&90\end{pmatrix}, \qquad A\theta=\begin{pmatrix}15\\0\end{pmatrix}. \]

两行相减消去现金，得到 \(\Delta=\frac{1}{2}\)；再代回下跌状态，得终端现金金额 \(\beta B_1=-45\)，因而 \(\beta=-\frac{750}{17}\)。初始成本为 \(V_0=\frac{100}{17}\approx5.88235294\)。²

项目	时点0	上涨终值	下跌终值
现金金额	\(-\frac{750}{17}\)	\(-45\)	\(-45\)
股票金额	\(50\)	\(60\)	\(45\)
合计	\(\frac{100}{17}\)	\(15\)	\(0\)

这套持仓在两种状态都支付 \(H\)。若同一支付可以买卖，报价 \(c\) 高于复制成本，就卖出支付、买入复制组合，并把差额存入现金账户。总初始成本为零，到期两项支付相消，留下确定正的现金增长额；报价更低时反向操作。因此在本模型里，可复制支付的无套利价格不能偏离复制成本。

这不是因为我们已知道上涨概率，而是因为逐状态结果完全相同。

3. 概率、状态价格与定价核

称满足

\[ A^T\pi=s_0,\qquad \pi_i>0 \]

的向量 \(\pi\) 为一组与当前已交易资产价格相容的正状态价格。可以把 \(\pi_i\) 读作这套线性定价规则给“只在状态 \(i\) 支付一美元”的数字支付赋予的初始价值；但若市场不完备，这些数字支付未必已在市场中交易，也未必可复制，因此 \(\pi\) 可能不唯一，不能把某一分量冒充已观察到的唯一市场报价。这里 \(s_0\) 是已交易资产的初始价格向量。

若这样的 \(\pi\) 存在，对任意零成本持仓 \(\theta\) 都有 \(\pi^TA\theta=s_0^T\theta=0\)；而一个逐状态非负、至少一处严格正的终值，其严格正加权和不可能为零。这已经证明了该一期市场没有套利。反方向由有限期第一基本定理给出。³

现金账户那一列满足 \(B_1\sum_i\pi_i=B_0\)，所以 \(\sum_i\pi_i=1/R\)，不是 1。将它归一化，定义 \(Q_i=R\pi_i\)，得到

\[ \sum_i Q_i=1, \qquad E_Q[S_1]=RS_0. \]

这等价于 \(E_Q[S_1/B_1]=S_0/B_0\)；贴现价格在 \(Q\) 下为鞅。因为 \(Q_i>0\)，它与全支持的 \(P\) 有相同的零概率事件，故称等价鞅测度。³

二状态中联立概率总和与股票定价约束，算得 \(Q=\left(\frac{2}{5},\frac{3}{5}\right)\)，\(\pi=\left(\frac{20}{51},\frac{10}{17}\right)\)。再取教学概率 \(P=\left(\frac{3}{5},\frac{2}{5}\right)\)，就能把这些对象放在同一张表里：

对象	上涨	下跌	归一化检查
研究概率 \(P\)	\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{2}{5}\)	分量和为1
定价概率 \(Q\)	\(\frac{2}{5}\)	\(\frac{3}{5}\)	分量和为1
状态价格 \(\pi\)	\(\frac{20}{51}\)	\(\frac{10}{17}\)	分量和为 \(\frac{50}{51}\)
密度 \(z=Q/P\)	\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(E_Pz=1\)
定价核 \(m=\pi/P\)	\(\frac{100}{153}\)	\(\frac{25}{17}\)	\(E_Pm=1/R\)

其中密度 \(z_i=Q_i/P_i\) 满足 \(E_Pz=1\)；定价核 \(m_i=\pi_i/P_i=z_i/R\) 满足 \(E_Pm=1/R\)。对可复制支付，三个价格写法完全一致：

\[ \begin{aligned} \operatorname{price}(H) &=\sum_i\pi_iH_i\\ &=R^{-1}E_Q[H]\;=\;E_P[mH]. \end{aligned} \]

本例 \(E_PH=9\)，\(E_QH=6\)。直接算 \(R^{-1}E_PH=\frac{150}{17}\)，并不会得到复制成本 \(\frac{100}{17}\)。研究概率在回答支付平均有多大；定价核则按资产价格约束改变了状态权重。

把界面中的 \(P\) 切到 \(\left(\frac{9}{10},\frac{1}{10}\right)\)，先预测哪些列会变，再计算：\(Q\)、\(\pi\) 和复制成本不变，密度与定价核改变。这个观察依赖支付矩阵与市场价格固定，不是说现实概率的变化永远不影响真实市场价格。

4. 三状态：缺少一列资产，留下一个自由度

接下来保留现金账户和股票初价，将终端股票改成三个状态，顺序为下跌、中间、上涨。此分支的看涨式支付行权价是 \(100\)，不同于二状态分支；只要求现实概率全支持，不另指定数值。

状态	现金账户终值	股票终值	新增支付终值
下跌	\(\frac{51}{50}\)	\(80\)	\(0\)
中间	\(\frac{51}{50}\)	\(100\)	\(0\)
上涨	\(\frac{51}{50}\)	\(120\)	\(20\)

现金和股票只有两列，其支付矩阵秩为 2。可复制支付一定形如 \(H_i=\beta B_1+\Delta S_{1i}\)，即三个点落在同一直线上。给定 \(H=\left(0,0,20\right)\) 并非如此：前两个状态支付都为零迫使 \(\Delta=0,\beta=0\)，便不可能在第三个状态支付 \(20\)。

从 \(q_d+q_m+q_u=1\) 与 \(E_QS_1=RS_0\) 出发，令 \(t=q_d\)，解得

\[ Q(t)=\bigl(t,\ \frac{9}{10}-2t,\ \frac{1}{10}+t\bigr). \]

三个分量都必须严格正，所以 \(0<t<\frac{9}{20}\)。原市场因此存在一族 EMM，不能单凭它给每个非复制支付一个唯一价格。⁴

现在明确改变的是交易集合：允许将支付 \(H\) 以初价 \(c\) 自由买卖，同时保留原现金和股票价格。该新增资产要求

\[ c(t)=\frac{ 2+20t }{ \frac{51}{50} }, \qquad c\in(\frac{100}{51},\frac{550}{51}). \]

\(t\)	\(Q(t)\)	新增支付的相容初价
\(\frac{1}{10}\)	\(\left(\frac{1}{10},\frac{7}{10},\frac{1}{5}\right)\)	\(\frac{200}{51}\)
\(\frac{1}{5}\)	\(\left(\frac{1}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{10}\right)\)	\(\frac{100}{17}\)
\(\frac{2}{5}\)	\(\left(\frac{2}{5},\frac{1}{10},\frac{1}{2}\right)\)	\(\frac{500}{51}\)

区间内的每个 \(c\) 对应严格正的状态价格，故不存在套利。为什么不能把端点一起收入区间？下面给出实际持仓；列顺序为现金账户单位、股票单位、新支付单位。

新增支付初价	持仓 \((\beta,\Delta,\gamma)\)	初始成本	三状态终值
\(\frac{100}{51}\)	\(\left(\frac{5000}{51},-1,1\right)\)	\(0\)	\(\left(20,0,0\right)\)
\(\frac{550}{51}\)	\(\left(-\frac{2000}{51},\frac{1}{2},-1\right)\)	\(0\)	\(\left(0,10,0\right)\)

两组初始成本都为零，终值非负，并在一个正 \(P\) 概率的状态上严格正。这不是数值容差问题。低于下端时，第一组持仓的初始成本更低，可把收到的差额存入现金账户；高于上端时对第二组同理。于是区间外也有套利，开放区间的每一部分都得到解释。

5. 以一个价格补全市场，不等于选中了“真实概率”

让新增支付的成交初价固定为 \(c=6\)。增广矩阵为

\[ A_+=\begin{pmatrix} \frac{51}{50}&80&0\\ \frac{51}{50}&100&0\\ \frac{51}{50}&120&20 \end{pmatrix}. \]

它的行列式为 \(408\)，秩为 3。因此每个三状态支付都能解出持仓。新资产价格同时把自由参数固定，得到

\[ Q=\left(\frac{103}{500},\frac{61}{125},\frac{153}{500}\right),\qquad \pi=\left(\frac{103}{510},\frac{122}{255},\frac{3}{10}\right). \]

这叫完备：任意终端可测支付都可复制。它不要求未来只有一个可能结果，也不把 \(Q\) 解释成已估计出的现实概率。一般有限期下“无套利当且仅当存在 EMM”见 第一基本定理证明 ↗；在已经无套利的市场中，“完备当且仅当 EMM 唯一”见 第二基本定理证明 ↗。后者还会实际构造三个数字支付的持仓。⁴

6. 两项迁移核算

问题一。只把二状态研究概率改为 \(P=\left(\frac{9}{10},\frac{1}{10}\right)\)，支付和初价全部不动。重新计算 \(dQ/dP\)、定价核以及支付价格。为什么 \(E_PH\) 会变，但复制价格不变？

解析。市场方程没有变化，所以 \(Q=\left(\frac{2}{5},\frac{3}{5}\right)\)、\(\pi=\left(\frac{20}{51},\frac{10}{17}\right)\) 不变。逐分量相除得到

\[ \frac{dQ}{dP}=\left(\frac{4}{9},6\right),\qquad m=\left(\frac{200}{459},\frac{100}{17}\right). \]

此时 \(E_PH=\frac{27}{2}\)，但 \(E_P[mH]=\frac{100}{17}\)。改变的是研究加权与相应的核，不是已经固定的资产复制关系。若把某个 \(P_i\) 改成零，本篇的全支持条件失效，也不能继续直接做这些除法。

问题二。只交易三状态市场中的现金和股票，能否复制中间状态的一美元数字支付 \((0,1,0)\)？

解析。前两个方程给出 \(\Delta=1/(100-80)=1/20\)，以及 \(\beta B_1=-80/20\)。于是上涨状态的支付为 \((120-80)/20=2\)，不是要求的零。不能只拟合两行就宣布复制完成。加入第三列资产后，这个支付才可以逐行精确复制；我们将在 P2 中核对它的完整资金和初始成本。