随机变量与分布

映射和分布不是同一件事

同一次市场结算，可以对应结算指数、合约支付和持有损益几个不同数值。我们不必另造几套情景，只需在同一情景上使用不同的函数。

定义。 令 \((\Omega,\mathcal F,\mathbb P)\) 为概率空间，则实值随机变量是指可测函数 \(X\colon\Omega\to\mathbb R\)；其中 \(\mathcal B(\mathbb R)\) 是由实数轴开区间生成的 \(\sigma\)-代数；即对每个 Borel 集 \(B\)，都有 \(X^{-1}(B)\in\mathcal F\)。其分布为 \(\mu_X(B)=\mathbb P(X\in B)\)，分布函数为 \(F_X(x)=\mathbb P(X\le x)\)。随机变量是映射，分布是这项映射把概率质量放到数值轴上后的结果。¹

命题。 \(\mu_X\) 是 \((\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))\) 上的概率测度。

证明。 可测性保证定义中每个事件都有概率；非负性和 \(\mu_X(\mathbb R)=1\) 直接成立。对两两不交的 Borel 集 \(B_n\)，原像 \(X^{-1}(B_n)\) 也两两不交，且原像保持并集，因此 \(\mu_X(\bigcup_n B_n)=\mathbb P(\bigcup_n X^{-1}(B_n))=\sum_n\mu_X(B_n)\)。 这里可测性保证“能计算”，原像性质保证“计算仍满足概率规则”。

同一张情景表，两个支付点

采用 Cboe SPX 指数期权的真实产品条款：欧式行权、现金结算，乘数为每指数点 100 美元。Cboe fact sheet 把传统 SPX 列为 AM-settled，其 exercise-settlement value 由到期日成分证券在各自主市场的开盘成交价计算；SPXW 的 PM-settled 口径使用到期日成分证券的最后（收盘）成交价。两者都不能随意拿屏幕上的某个指数最后报价替代规则所指定的结算值。²

以下只有产品规则是真实的；行权价 \(K=6000\)、未来结算 \(T\)、三种结算情景及其概率全部是教学设定，没有核验具体挂牌序列或历史报价。令 \(Z\) 为规则所指定的结算值，则一份看涨期权在结算时应付的现金金额为 \(Y=100(Z-K)^+\)，其中 \(a^+=\max(a,0)\)。

情景	模型概率	\(Z\)（指数点）	\(Y\)（美元/份）	假设支付 30 点权利金后的净损益（美元/份）
\(\omega_1\)	0.2	5,900	0	−3,000
\(\omega_2\)	0.5	6,000	0	−3,000
\(\omega_3\)	0.3	6,100	10,000	7,000

最后一列另假设权利金 30 点，即 \(30\times100=3{,}000\) 美元，并忽略费用、税与资金利息；它不是行情。\(Y\) 是按产品规则计算的现金结算金额，不是已扣权利金的利润。Cboe fact sheet 还明确写明，这类行权产生的现金在到期后的下一个营业日交付；因此“用于计算金额的结算值已经确定”和“现金已经实际交付”是两个事件。² 本页只计算金额，不模拟具体账户的 settlement/booking。

表中的 −3,000 与 7,000 都是美元净损益，不是百分比回报。若要写“回报率”，还必须先指定分母究竟是已付权利金、组合初始财富、受约束资本还是其他资金口径；本页没有固定这些对象，所以不自动给出收益率。

结算值分布有三个质量点，支付分布却只有两个：\(\mathbb P(Y=0)=0.7\)、\(\mathbb P(Y=10000)=0.3\)。不是概率丢失了，而是前两个情景被同一个支付函数映射到零。因此 \(F_Y(y)\) 在 \(y<0\) 时为 0，在 \(0\le y<10000\) 时为 0.7，在 \(y\ge10000\) 时为 1。\(F_Y(0)=0.7\)，而左侧极限为 0，这正是一个质量点的跳跃。

连续输入也能产生零点质量

离散分布的全部质量集中在某个有限或可数集合上；绝对连续分布具有相对于长度测度的密度。两者不能穷尽所有分布，“分布函数连续”也不等于“具有密度”。这里把讲义所称具有 PDF 的 continuous 明确称为绝对连续。¹

取另一项完全独立的教学假设：\(Z\) 在 \([5900,6100]\) 上均匀分布。仍令 \(Y=100(Z-6000)^+\)，则

\[ F_Y(y)=\begin{cases} 0,&y<0,\\ \frac12+\frac{y}{20000},&0\le y<10000,\\ 1,&y\ge10000. \end{cases} \]

推导只需取原像：\(Y=0\) 对应整个 \(Z\le6000\) 的半区间；对 \(0\le y<10000\)，\(Y\le y\) 等价于 \(Z\le6000+y/100\)。因此零点质量为 \(1/2\)，而 \((0,10000)\) 上密度为 \(1/20000\)，其积分只有 \(1/2\)。不能把这一半密度当作完整分布，更不能为“凑成 1”将它放大一倍。密度的单位是每美元，零点质量则无量纲。

快速检查与使用位置

解释题。 三情景模型的零支付概率为什么是 0.7，而不是零结算值的概率？

解析。 支付为零对应原像 \(\{Z\le K\}\)，不是 \(\{Z=0\}\)。两个不同结算值进入同一个支付值。这里需要求原像，不是比较数值是否相同。

迁移题。 在原三情景模型中改成看跌支付 \(100(K-Z)^+\)，保持 \(K=6000\)。求支付分布。

解析。 三情景支付为 10,000、0、0 美元，所以零支付概率为 0.8，10,000 美元支付的概率为 0.2。权重没有变化，改变的是映射。另一项检查是将看涨行权价改为 6,050：支付变成 0、0、5,000，其分布为零点质量 0.7 与 5,000 美元处质量 0.3。

交互页 把情景到支付的映射逐行显示，再合并相同支付值。连续模式另列零点质量和连续部分的总质量。上表与分段公式就是静态替代。此页为 QT04 的收益分布及 QT06 的条件支付提供对象定义；没有从支付公式推出市场价格，也没有把假设权重换成定价测度。