复制定价、状态价格与 Q：先把交易组合做出来

一、先给可交易对象，不先猜上涨概率

我们已经见过两种思路：一是判断某个结果发生的可能性，二是找出能够产生同样现金流的交易组合。本篇先做第二件事。若两个组合在每一个可能状态下都支付同样金额，却有不同的当前价格，那么在允许买便宜者、卖贵者的市场里，价差就不能任意存在。复制定价从这个约束出发，而不是先猜未来。¹

采用共同的 EXP-STATE-01。这是一个抽象的一期教学市场，不是一年的预测，也不是实际股票报价。交易在时点0决定，终点才知道状态；可以持有正负和分数数量，无费用、无股息、没有借券或保证金限制，现金借入与存入用同一个增长因子。每个终端状态在实际概率下均为正概率。²

可交易资产	时点0单价	上涨状态终值	下跌状态终值
一单位现金账户 \(B\)	1	1.02	1.02
一股股票 \(S\)	100	120	90

现金账户的单位数记为 \(\beta\)，其时点 \(t\) 的现金金额是 \(\beta B_t\)。负单位数表示借款。\(R=B_1/B_0=51/50\) 是一期总增长因子，不是“年利率1.02%”。本分支的call行权价是 105，终端支付 \(H=(15,0)\)。

二、半股股票和一笔借款，真的能复制吗

令 \(\Delta\) 为股票数。若组合要复制call，就须同时满足

\[ \begin{aligned} 1.02\beta+120\Delta&=15,\\ 1.02\beta+90\Delta&=0. \end{aligned} \]

两式相减，得 \(30\Delta=15\)，所以 \(\Delta=1/2\)。再代回下跌状态，

\[ 1.02\beta=-45, \qquad \beta=-\frac{750}{17}\approx-44.117647. \]

因此今天买半股花50，借入约44.117647，自己需要投入

\[ C_0=\beta B_0+\Delta S_0 =-\frac{750}{17}+50 =\frac{100}{17}\approx5.882353. \]

检查位置	股票部分	现金账户部分	合计
时点0	50	−44.117647	5.882353
上涨终点	60	−45	15
下跌终点	45	−45	0

借入额不是到期还款额，半股也不是“上涨后才买半股”。头寸在状态揭晓以前确定，两个状态都已经复制到。若这项call可自由买卖，其价格偏离复制成本时，买入一边、卖出另一边才会产生逐状态抵销的价格约束。这不需要先知道哪个状态更可能。¹

同样的方法可复制put：支付 \((0,15)\)，股票数 \(-1/2\)，现金账户单位 \(1000/17\)，初始成本 \(150/17\)。所以前篇平价 \(C-P=-50/17\) 不是另设价格，而是两次复制的结果。

三、状态价格、Q 和实际概率，各自是什么

现在反过来问：今天购买“只在某一个状态支付1美元”的权利应花多少钱？把两个状态的当前单价记为 \(\pi_u,\pi_d\)。一单位现金账户到期在两状态都给1.02，而一股股票给120或90，因此

\[ \begin{aligned} 1.02(\pi_u+\pi_d)&=1,\\ 120\pi_u+90\pi_d&=100. \end{aligned} \]

解得

\[ \pi=\left(\frac{20}{51},\frac{10}{17}\right), \qquad \pi_u+\pi_d=\frac{50}{51}. \]

状态价格的和不是1，因为它们是未来状态现金的当前价格，已经包含资金时间。于是call价格直接为 \(15\pi_u=100/17\)。

把贴现取出去，定义 \(Q_i=R\pi_i\)，得到

\[ Q=(2/5,3/5),\qquad E_Q[S_1]=102=RS_0. \]

\(Q\) 是将当前可交易资产价格写成贴现期望的权重：

\[ C_0=\sum_i\pi_i H_i=\frac{E_Q[H]}{R}. \]

它通常称风险中性定价概率，但这个名字不是说现实中的投资者没有风险偏好，也不是说上涨的真实概率就是40%。这些权重来自本市场的价格约束。³

另设教学实际概率 \(P=(3/5,2/5)\)。则 \(E_P[S_1]=108\)、\(E_P[H]=9\)，而 \(E_Q[S_1]=102\)、\(E_Q[H]=6\)。\(E_P[H]/R=150/17\) 是按这组 \(P\) 折算的期望支付，不是call的复制成本。

还可把两个权重体系联系起来：

\[ \frac{dQ}{dP}=\left(\frac23,\frac32\right), \qquad m_i=\frac{\pi_i}{P_i} =\left(\frac{100}{153},\frac{25}{17}\right). \]

这里 \(m\) 是定价核；它给不同状态的实际概率加上不同价格权重。三种写法一致：

\[ C_0=E_P[mH]=\sum_i\pi_iH_i=\frac{E_Q[H]}R. \]

\(E_P[dQ/dP]=1\)，而 \(E_P[m]=1/R\)；一个是概率密度，一个含贴现，不能互换。

四、改变看法，不会自动改变同一张价格表

保持两资产价格和终端支付不变，只把教学 \(P(u)\) 改为0.2、0.6、0.8，复制头寸和 \(Q\) 都不变。变化的是实际期望结果：

\(P(u)\)	\(E_P[H]\)	初始成本一期增长 \(RC_0\)	长call的期望净额
0.2	3	6	−3
0.6	9	6	3
0.8	12	6	6

所以存在正的权利金，不意味着未对冲卖方在每一种实际概率判断下都有正期望利润；更不意味着一次交易一定盈利。改变 \(P\) 会改变 \(dQ/dP\) 和 \(m\)，却不会在“可交易市场保持不变”的这个比较中自动改写 \(Q\)。冻结文件另保留 \(P(u)=0.9\) 的迁移题，它也服从同样的区分。²

五、多一个状态，为什么会出现一段价格

接下来切换到共同实验的另一个分支。状态顺序改为下／中／上，股票终值为80、100、120；现金仍为1到1.02。这次call行权价是 100，支付为 \((0,0,20)\)，不是刚才的 \(K=105\)。

只有股票和现金时，任何终端组合都是 \(\beta R+\Delta S_1\)。如果它要在80和100两状态都为0，两式相减就迫使 \(\Delta=0\)，继而 \(\beta=0\)；这样在120状态也只能为0，无法支付20。失败的原因是交易方向不够，不是我们还没选一个漂亮的概率。²

满足原两资产价格的概率有一族：

\[ Q(t)=\left(t,\frac9{10}-2t,\frac1{10}+t\right), \qquad 0<t<\frac9{20}. \]

严格正性使三个实际可能状态都得到正定价权重。若把上述call以价格 \(c\) 加成一项可自由正负交易的资产，无套利的候选价格为

\[ c(t)=\frac{20(1/10+t)}{51/50}, \qquad c\in\left(\frac{100}{51},\frac{550}{51}\right). \]

这个开区间约为 \((1.960784,10.784314)\)。不是“未交易的支付已经有这么多市场报价”，而是：在保留股票和现金价格时，以哪些价格让新支付可交易，仍能排除套利。

为什么端点不包括？看两组真实写出的教学持仓：

新支付价格	现金账户单位 \(\beta\)	股票 \(\Delta\)	新支付单位 \(\gamma\)	初始成本	下／中／上终值
\(100/51\)	\(5000/51\)	−1	1	0	(20,0,0)
\(550/51\)	\(-2000/51\)	1/2	−1	0	(0,10,0)

它们零成本、没有负终值，而且至少一个正概率状态严格赚钱。端点被排除不是浮点容差，而是有可以逐状态验证的套利组合。

若新增支付确实以 6 交易，新增约束使

\[ Q=\left(\frac{103}{500},\frac{61}{125},\frac{153}{500}\right) \]

唯一；三列终端支付矩阵的秩变成3。还可以真的合成只在中间状态给1的支付：取 \((\beta,\Delta,\gamma)=(-200/51,1/20,-1/10)\)，终值为 \((0,1,0)\)，初始成本 \(122/255\)。这比只说“市场完备了”多完成一步交易构造。

六、读图时，先辨认改的是市场还是看法

这个 Markets 交互只是共享 EXP-STATE-01 的独立视图，不重新注册或改写该实验。第一个视角固定两状态市场，仅切换 \(P\)：对照期望支付、定价权重和初始成本，确认没有把概率滑块写回市场输入。第二个视角切换三状态分支，用 \(t\) 改变允许的 \(Q\)；端点按钮不显示为合法概率模型，而显示上表的套利组合。

一般有限市场里，无套利、严格正定价权重和完备性之间的完整证明需要说明可交易策略、信息和现金补足。这里已把当前一期例子做完；QT18承担一般有限模型证明，不是理解本例必须先绕过去的一整篇先修。

七、自己核一遍

题一：\(-750/17\) 和 \(-45\) 为什么都出现在同一笔借款里？

解析。 前者是现金账户持有单位；因为 \(B_0=1\)，也恰等于时点0借款金额。终点现金账户单价为1.02，所以 \(\beta B_1=-45\)。不是复制组合借了两次钱，也不是终点再次扣初始投入。

题二：\(P(u)\) 从0.6改到0.9，call价格为什么仍为 \(100/17\)？

解析。 股票、现金价格和状态支付均未变，原复制策略还在每个状态给 \((15,0)\)。因此 \(Q\) 和状态价格不变；\(dQ/dP\) 则变为 \((4/9,6)\)，定价核变为 \((200/459,100/17)\)。真实期望支付变成13.5，不能因此把复制价格改成 \(13.5/1.02\)。

题三：三状态下端组合的终值，请不要只背表。

解析。 现金账户 \(5000/51\) 到期为100；空一股给 \((-80,-100,-120)\)；买一份支付给 \((0,0,20)\)。加总为 \((20,0,0)\)。初始为 \(5000/51-100+100/51=0\)，所以确有套利。

题四：两状态call约5.882353，三状态某个候选也可能约5.882353，是同一合约吗？

解析。 不是。前者 \(K=105\)，状态120/90；后者 \(K=100\)，状态80/100/120，且是在 \(t=0.2\) 这一候选权重下得出的价格。相同数字不能消除市场和合同的差异。

题五：为什么本篇不直接加入“不能卖空”的开关再沿用全部结论？

解析。 复制与端点套利使用了负持仓。禁止卖空会改变可行策略集合，需要重新定义价格约束，而不只是改变一个概率。它应是有独立条件的模型变式，不能静默修改这份无摩擦冻结市场。