收益分布、尾部与风险度量

同样是“风险”，我们可能在问三个不同的问题：结果通常波动多大，损失跨过某个阈值的机会有多大，或者最坏一段结果平均有多严重。一个均值不能同时回答这些问题。我们先把损失与分布固定下来，再用一个能手算的原子分布看清 VaR 与 ES，最后回到一段真实行业组合收益。

这一节的任务是：对固定月度样本计算并解释均值、标准差、VaR 和 ES，能正确处理分位点上的概率质量，也能说清这些样本数值没有告诉我们什么。 需要的先修只是随机变量、分布和加权平均；不要求先学随机过程。

1. 先固定变量，再谈风险

令 \(R\) 为一个月的简单收益率，内部按小数表示，例如 \(-0.10\) 表示亏损 10%。定义损失率 \(L=-R\)，于是损失越大越坏；赚钱时 \(L\) 可以为负。以下概率与期望都针对明确选定的分布，不默认存在一个已被我们知道的“市场真实分布”。

这里有三层对象。模型分布 \(F\) 给出一个总体风险函数值，例如 \(\operatorname{ES}_{.95}(F)\)。拿到历史记录 \(r_1,\ldots,r_n\) 后，给每个月 \(1/n\) 权重，得到经验分布 \(\widehat F_n\)；其 ES 是历史记录的一个确定函数。至于下一月实际损失，它还没有发生，既不是 ES，也不会因为我们已经算出一个阈值就被限制在阈值以下。将经验分布用于未来，需要另说明过程与估计假设，不能由“公式算对了”自动得到。

期望 \(E[R]\) 在 \(E|R|<\infty\) 时有限；方差 \(\operatorname{Var}(R)=E[(R-E[R])^2]\) 的有限性需要二阶矩。对固定样本，我们计算

\[ \bar r=\frac1n\sum_{t=1}^n r_t,\qquad s^2=\frac1{n-1}\sum_{t=1}^n(r_t-\bar r)^2. \]

经验分布自身的方差则用分母 \(n\)，记为 \(\widehat\sigma_{\rm emp}^2\)，因此 \(s^2=\frac{n}{n-1}\widehat\sigma_{\rm emp}^2\)。它们都能计算，但不是同一个数。只有在相应抽样假设下，才讨论 \(s^2\) 对某个总体方差是否无偏；本节不先把历史月份宣布为 iid。

均值与标准差分别保留中心和二阶离散程度，仍会丢掉尾部形状。比如恒等于 2.6 的损失与稍后五点例的损失均值都为 2.6，但前者没有超过 2.6 的损失，后者还可能达到 10。要问尾部，必须直接看分布的上端。

2. VaR 是阈值；ES 是固定尾部质量的平均

令 \(F_L(x)=P(L\le x)\)，固定 \(0<p<1\)。本节采用广义逆分位数：

\[ q_p(L)=\inf\{x:F_L(x)\ge p\},\qquad \operatorname{VaR}_p(L)=q_p(L). \]

这里的 \(\ge\) 属于定义。若分布有跳跃，改变分位数约定可能改变边界取值。VaR 说明一个概率阈值的位置，不是最大损失，也不说明阈值以外到底损失多少。负 VaR 也是合法结果，不能为了看起来像“风险”而截为零。

在 \(L\in L^1\) 下，定义预期短缺（Expected Shortfall，ES）

\[ \operatorname{ES}_p(L)=\frac1{1-p}\int_p^1 q_u(L)\,du. \]

这相当于取最坏的 \(1-p\) 概率质量，按质量平均其损失。定义对离散、连续和混合分布都适用。Acerbi–Tasche 原文用损益 \(X\) 和下尾质量 \(\alpha\)；这里用 \(L=-X\)、\(p=1-\alpha\)，把记号统一为损失上尾。¹

为什么必须强调“固定质量”？记 \(v=q_p(L)\)。因为 \(P(L>v)\le1-p\le P(L\ge v)\)，先取完所有严格超过 \(v\) 的结果，再从 \(L=v\) 的质量中补足 \(b=(1-p)-P(L>v)\)。于是

\[ \operatorname{ES}_p(L) =\frac{E[L\mathbf1_{\{L>v\}}]+v\,b}{1-p}, \qquad 0\le b\le P(L=v). \]

在分位数图上，\(L=v\) 对应一段高度为 \(v\) 的水平阶梯；积分只取这段阶梯落在 \((p,1)\) 内的长度。若需要的只是该原子的一部分，不能把整个原子都纳入，也不能通过修改损失数值冒充取了一部分概率。

现在手算一个教学分布。五个等可能结果的损失为 \(0,1,1,1,10\)，单位暂不指定为货币。取 \(p=.7\)，则 \(F_L(0)=.2\)、\(F_L(1)=.8\)，所以 VaR 为 1。最坏 30% 的质量包括损失 10 的全部 20%，再从损失 1 的 60% 原子里取 10%：

\[ \operatorname{ES}_{.7}=\frac{.2\times10+.1\times1}{.3}=7. \]

这里取的是损失 1 的原子质量的 \(1/6\)。反过来，把所有 \(L\ge1\) 的结果平均，会得到 \(E[L\mid L\ge1]=(.6\times1+.2\times10)/.8=3.25\)。 它回答的是“落入这个 80% 事件后的平均损失”，当然不是“最坏 30% 的平均损失”。

3. 把同一算法放到 432 个月的真实记录上

本例采用 Kenneth French 30 Industry Portfolios 的 BusEq、value-weighted monthly 数据，取 1990-01 至 2025-12，共 432 个连续月份。原文件声明使用 202607 CRSP database；这是数据库版本，不是这 432 个月最初各自的公布时间。样本对应原 CSV 第 775–1206 行，原单位为百分数，读入后除以 100，损失取相反数；两个缺失码 -99.99、-999 在目标窗口均未出现，未插值、未删除极端月。²

当前 202607 快照是在 French 从 2025 年 1 月发布起改用 CIZ 文件生成美国研究收益的现行流程下产生；资料库同时说明，每次更新都会重建完整收益历史。因此本例是一份单一当前重建快照，不是旧 FIZ 历史与新 CIZ 月份的拼接，也不是逐月当时可见的数据档案。³ 这是回顾性样本描述，不能直接拿去声称完成了按当时信息进行的策略回测。

默认样本结果如下，全部为月度口径，不年化。

量	结果	对象
算术平均收益	1.3886%	固定 432 月的平均
样本标准差 \(s\)（分母 \(n-1\)）	7.2883%	收益的样本离散程度
经验分布标准差（分母 \(n\)）	7.2798%	等权经验分布的标准差
损失 VaR95	10.68%	经验损失分布的 95% 分位点
损失 ES95	16.0582%	最坏 5% 经验质量的平均损失

实际复算 ES 不需要画一条光滑密度。把损失降序排列为 \(l_{[1]}\ge\cdots\ge l_{[n]}\)，令 \(m=n(1-p)=k+\theta\)，其中 \(k=\lfloor m\rfloor\)、\(0\le\theta<1\)。每个排序格子的质量是 \(1/n\)，因此分位数积分直接化为

\[ \widehat{\operatorname{ES}}_p= \frac{\sum_{j=1}^k l_{[j]}+\theta\,l_{[k+1]}}{m}. \]

\(\theta=0\) 时不再加入下一项。这是对阶梯函数逐格积分，不是连续分布的近似公式。

这里 \(m=432\times.05=21.6\)：完整取最坏 21 个月，再取边界月 0.6 份经验概率质量。边界月是 1997-10，损失为 10.68%；最坏 21 项损失按百分数读数相加为 340.45。故

\[ \widehat{\operatorname{ES}}_{.95} =\frac{340.45+.6\times10.68}{21.6}\% =16.05824074\ldots\%. \]

分子先用同一百分数刻度求和，再除以 21.6。若把所有损失至少为 10.68% 的 22 个月直接平均，则为 15.9605%；多取的那 0.4 份较轻损失拉低了均值。

图中的每个点保留原月份和原损失；实心标记表示严格高于 VaR 的观测，空心边界标记旁给出纳入比例。先预测把尾部从 5% 缩为 1% 会怎样改变阈值与平均损失，再切换 \(p\) 检查。图的上尾高亮只是在选择经验质量，不是在预测下一次危机的日期。

4. 改窗口改变的是样本，不是对未来的保证

起点（终点均为 2025-12）	月数	月均收益	样本标准差	损失 VaR95	损失 ES95
1990-01	432	1.3886%	7.2883%	10.68%	16.0582%
2000-01	312	1.0356%	7.5239%	11.62%	17.3815%
2010-01	192	1.7414%	5.7585%	8.40%	10.0552%
2020-01	72	2.2731%	6.7985%	9.82%	11.1533%

四个窗口的终点一致，起点在观察前已明确。较近窗口的经验 ES 较低，并不说明未来已经变得安全；样本长度、包含的历史状态和极端月份都不同。若只挑出最让人安心的窗口，就在风险描述里引入了选择问题。

另一个有用的对照是仅为教学删除最差月 2001-02。剩余 431 月的平均收益为 1.4650%，VaR95 为 10.33%，ES95 为 15.0943%。这个变化说明极端观测会影响统计量，不是删除它的理由。交互中的这一项不改变主样本，也不进入后面的 bootstrap。

本节保持月度口径还有一个原因：一年简单收益是 \(\prod_{t=1}^{12}(1+r_t)-1\)，不是把单月损失阈值乘 12。即使研究的是可相加的逐月损益，其总方差还包含跨月协方差。时间尺度改变时，需要新的联合分布或明确的聚合假设。

从这里到估计问题只差一步：\(\widehat F_n\) 随样本变化，\(\widehat{\operatorname{ES}}_p\) 也会变化。估计误差与预测不确定性 ↗将区分这种抽样不确定性和未来结果本身的波动；本节先把要估的对象算准确。

5. 自己完成一次核算

题一：边界恰好落在哪里？ 对五点分布 \([0,1,1,1,10]\)，改取 \(p=.8\)，求 VaR、ES 与纳入的边界质量。不要默认 ES 等于一个条件平均。

解析。 广义逆仍给 \(q_{.8}=1\)，因为 \(F_L(1)=.8\)。最坏 20% 已全部由损失 10 占满，因此边界质量为零，ES 为 10。VaR 所在原子不一定要在 ES 中保留正质量；这正是“阈值”和“尾部平均”不同的一个例子。

题二：从比率变成金额。 只作风险刻度换算，假设起始资本为 100,000 美元且损失金额等于资本乘月损失率，不增加杠杆或现金流。默认样本 VaR95 与 ES95 对应多少美元？其中哪一个是最大可能损失？

解析。 分别是 10,680 美元和约 16,058.24 美元，分母始终是给定的起始资本。二者都不是最大可能损失；它们是这份经验分布的两个风险函数值。这里也没有声称未来恰有 5% 概率超过 10,680 美元。

题三：检验一项解释。 有人说“删除最差月后 ES 降低，所以清洗后的估计更可靠”。这个结论缺什么？

解析。 他需要先给出与结果好坏无关的数据错误证据或预先确定的处理规则。极端值本来就是尾部度量要保留的对象；仅因它使 ES 变大就删除，会改变经验分布而不是纠正算术。主样本、具名扰动与未来模型的判断应分别记录。