风险、损失与情景

假设两项投资从100出发，最后都剩96。我们已经知道它们的终点回报相同，却还不知道过程中有没有跌到无法继续持有，也不知道中途要付款的人能否按时拿到钱。只报“亏了4%”并没有把经历说完。

本篇不把风险压成一个越低越好的分数。我们先说明几个度量各自看到了什么，再沿一条完整路径检查它们遗漏的东西。读完共同部分后，可以继续做“提款与支付”分支；希望进一步理解尾部指标的读者，也可以选择“离散分布”分支。第一次阅读不必同时完成所有扩展。

一、先确定哪一种结果不符合任务

风险总是相对于一个对象和一段时间来讨论的。对没有中途收付的投资，初始价值为 \(V_0\)、终点财富为 \(V_T\)，可定义货币损失 \(L=V_0-V_T\)。这里 \(L\) 是带符号的：盈利时可以为负。若任务是到期必须支付 \(K\)，更直接的量则是资金不足额 \((K-V_T)^+\)，其中 \(x^+=\max(x,0)\)。

这两个对象不一样。初始100、终点105，没有相对本金的亏损，但若到期必须支付110，仍有5的缺口。反过来，某项资产市价下降也不自动说明当前就付不出款：支付日期、可变现金额和其他资金来源还要另查。我们既不把所有价格下跌叫作破产，也不把账面净资产为正叫作流动性充分。

“永久损失”还需要更强的判断。已经消失的现金权利、被迫出售后不再持有的份额，和暂时较低的报价，不是同一回事。仅凭一条价格曲线，无法证明未来一定恢复，也无法证明永远不恢复。需要研究的是资产权利、经营或偿付能力，以及持有者是否还能等到未来。价格路径给出发生了什么，不能独自完成这类判断。

二、分布和路径回答不同的问题

令未来回报为随机变量 \(R\)，当二阶矩有限时，波动率是 \(\sigma=\sqrt{\mathbb E[(R-\mathbb ER)^2]}\)。它衡量回报围绕平均值的离散程度；同样大小的向上、向下偏离都会进入平方项。均值和方差可以帮助比较，但没有把支出期限、最坏损失或结果分布的全部形状装进去。MIT 的组合讲义用这一结构建立风险分析；本篇只使用这些定义，不假设正态分布，也不从两次观测估计可靠的未来波动率。¹

一份分布描述指定时点的不同可能结果；一条路径描述同一个实现怎样一步步到达终点。即使终点分布相同，中途最低点、支付时点和退出条件也可能不同。我们现在用两条明确虚构、没有外部现金流的单位资产路径把区别算出来。

观察时点	A的单位价值	B的单位价值
起点	100	100
中间	120	60
终点	96	96

两条路径终点回报都是−4%。要衡量路径上从已达到的高点跌下来多少，令

\[ H_t=\max_{u\leq t}W_u,\qquad D_t=1-\frac{W_t}{H_t}, \qquad \mathrm{MDD}=\max_tD_t, \]

其中 \(W_t\) 是正的单位财富指数，或已剔除外部出入金影响的财富序列。\(H_t\) 只用截至当时已经发生的高点，不能把未来高点拿回去计算今天的回撤。

A的运行高点为100、120、120，回撤为0、0、20%；B的运行高点一直为100，回撤为0、40%、4%。因此最大回撤分别为20%和40%。这里的“最大”只覆盖给定观察点；若实际两个观察点之间跌得更深，这张离散表没有记录到，不能宣称它给出了连续时间内的最大回撤。

这些数字没有给出未来回撤的概率，更不是把20%或40%保证成以后不会突破的上界。它们完成的是对这两条既定路径的描述。

三、路径分支：同一个提款要求，为什么改变了结果？

现在加入一个所有者的任务：初始买入一单位资产，中途必须取出50，卖出部分资产取得现金；无费用、无分红，取走的钱不再投资。这里要重算份额，不能在原路径上画一个提款箭头，却仍把期末财富留作96。

中途单位价格为 \(P_m\) 时，卖出份额为 \(50/P_m\)，剩余 \(1-50/P_m\)；终点组合价值为

\[ V_T=\left(1-\frac{50}{P_m}\right)\times96. \]

结果	A：中途价格120	B：中途价格60
为取得50而卖出的份额	\(5/12\)	\(5/6\)
剩余份额	\(7/12\)	\(1/6\)
终点组合价值	56	16
已支付50加终点财富	106	66
若终点还需40，资金缺口	0	24

B后来从60恢复到96，但所有者已经卖出了六分之五的份额，后来的上涨只能作用于剩下的一小部分。资产后来恢复，不等于已经提款或被迫退出的人恢复到同一种财富状态。 这不是另加一个神秘的“顺序风险折扣”，而是每次卖出多少份额的算术。

106和66只是把未再投资的提款加回后的总金额，不是已经年化的回报。若要比较日期现金的等效回报，应使用上一篇的完整现金路径。单位资产的原始最大回撤仍是20%和40%；不能直接对含提款的账户余额计算回撤，再把所有者自己取走的钱算成市场亏损。

这里还能检查支付能力。若把中途提款改为70，A可以出售 \(70/120\) 份取得资金，B却只有60的总价值。没有另外的借款或出资安排时，B当场短缺10，不能让份额变成负数后假装已经完成支付。这时路径分析的重点不再是终点回报，而是支付条件已经先失效。

四、从教学路径回到真实资金压力

真实风险并不只来自卖出时价格较低。资产的收益可能以后才能收回，而另一条腿的现金支付今天就到期。FSB于2024年发布的流动性准备报告，分析了若干历史保证金与抵押压力事件；对2022年英国负债驱动投资（LDI）基金事件的讨论还涉及杠杆、现金准备和治理流程对补充抵押品速度的影响。它支持我们检查兑现时间和可动用资源，但不是本篇教学数字的来源，也没有提供某个账户的逐笔重建。²

把机制压成一组另外的教学条件：一项资产未来的可收款增加10，与之相关的另一条腿今天需要付10，今天手头现金只有6。合起来的经济价值变动可以接近抵消，但今天仍缺4。假设“未来的10已经在账上，所以现在不缺钱”，相当于未经核实就给了一个即时、无成本融资渠道。

在这类安排中，参与者可能按合同被要求补交用于保障履约的资金或资产。保证金或抵押安排可能降低交易对手面对的信用损失，却同时使持仓者必须及时调来现金。这两个作用并不矛盾。于是压力检查至少要同时保留：资产价格怎么变、现金什么时候到、哪些资产能以什么成本变现、承诺资金是否附条件，以及谁能在支付期限前批准和完成转移。FSB的压力测试建议特别关注这类历史与假设情景、资金来源及变现约束。²

现在回头看“波动率低”的说法：即使某个终点回报比较稳定，也不能据此跳过付款时点。这正是下一阶段融资与组合实施要接着研究的部分。本篇先把两种结果分清，不提前给出统一的现金缓冲倍数。

五、尾部分支：VaR和ES究竟取了哪些结果？

这一节改用一个给定概率模型，不再使用刚才的路径作为概率样本。全部损失及概率都是教学输入：

一期货币损失 \(L\)	0	10	100
概率	0.94	0.05	0.01

采用置信水平 \(c\in(0,1)\)，分布函数 \(F_L(\ell)=\Pr(L\leq\ell)\)，本篇固定定义

\[ q_c=\inf\{\ell:F_L(\ell)\geq c\}, \qquad \mathrm{VaR}_c(L)=q_c. \]

因此95%的VaR为10：损失不超过0的概率只有94%，不超过10的概率达到99%。VaR是一个分位点，不是“最坏情况下只损失10”，也不要求严格超过它的概率恰好为5%。本例严格超过10的概率只有1%。

期望短缺ES取的是最坏 \(1-c\) 比例结果中的平均损失。在 \(\mathbb E|L|<\infty\) 时，使用分位数积分定义

\[ \mathrm{ES}_c(L)=\frac{1}{1-c}\int_c^1q_u\,du. \]

离散分布在阈值处可能有一整块概率质量，而尾部只需要其中一部分。Acerbi与Tasche特别分析了这种区别；原文用利润的低尾和尾部概率，本篇改用正向损失的高尾及置信水平，并明确采用上面的分位点约定。³

本例的最坏5%包含全部1%的损失100，还需要从损失10的5%中取4%。所以

\[ \mathrm{ES}_{0.95} =\frac{0.01\times100+0.04\times10}{0.05}=28. \]

这里“取4%”不是声称同一个结果只有四分之一发生，而是把位于同一损失值上的概率质量分配到固定大小的尾部。只要损失相同，如何区分那一档里的个别状态不会影响平均值。

这一推导也给出可直接计算的有限分布公式。按上面的左连续分位点约定，若阈值为 \(q_c\)，就有 \(F_L(q_c^-)<c\leq F_L(q_c)\)。因此在分位数积分里，区间 \((c,F_L(q_c)]\) 上的分位数仍等于 \(q_c\)；而 \((F_L(q_c),1]\) 对应严格高于阈值的损失。严格高于它的概率为 \(1-F_L(q_c)\)，还需补入的阈值质量为 \((1-c)-(1-F_L(q_c))=F_L(q_c)-c\)。把积分按这两段拆开，于是

\[ \mathrm{ES}_c =\frac{\mathbb E[L\,\mathbf1_{\{L>q_c\}}] +q_c\big(F_L(q_c)-c\big)}{1-c}. \]

不能不加条件地用 \(\mathbb E[L\mid L\geq q_c]\) 替代。本例后者用了全部6%的损失10和100，得到25；若用严格大于阈值的条件平均，又只剩1%，得到100。两者都不是我们定义的最坏5%平均28。

最后把最严重损失由100改成200，概率保持不变。95%VaR仍为10，ES却升到48。这说明两者关注不同：一个定位尾部入口，一个继续考察尾部的严重程度。但ES也没有自动解决时间、支付和概率依据的问题。算得再精确，也只是对给定分布的传播；它不能替我们证明1%这个概率合理。

六、练习与完整解析

路径分支做前两题即可；尾部分支做第一题和第三题。完整答案保留在这里，便于自学核对。

练习一：高回报与支付不足可以同时出现吗？

初始资金100，一年末资产为110，但第一个月必须付30；在该月不能出售或质押资产，也没有其他现金或已落实融资。有人说年度回报10%，所以这项投资没有风险。指出其混淆了什么。

解析。 相对于本金的年度损失为−10，即盈利；但第一个月的支付资源是0，现金缺口为30。两个数字测量不同对象、不同日期。不能从未来财富推导当前可付款，也不能仅因现金短缺就把全年回报改写为负数。要修复任务，需要改变持仓或资金安排，或者修改支付日期；需要新的可行条件，而不是换一个风险指标。

练习二：提款改为70，终点不再相同

沿第三节两条路径，把中途提款改成70。求A的终点组合价值，解释B为什么不能照套公式。再说明比较原始资产回撤与比较所有者剩余财富应使用哪两张表。

解析。 A剩 \(1-70/120=5/12\) 份，终点价值 \(96\times5/12=40\)。B中途总资产60，无法支付70，缺10；计算出负的剩余份额会暗中加入做空或借款，这不属于给定安排，应停止“已完成提款”的结果展示。

原始单位资产表用于比较价格路径与现金流调整后的回撤；所有者表则列出售份额、收到的现金及剩余财富。两张表可以一起分析，但不能用账户提款造成的余额下降冒充资产本身下跌。

练习三〔尾部〕：把置信水平提高到99%

在损失0、10、100及原概率下，求99%VaR与ES，再求99.5%的结果。为什么99%时VaR仍是10？

解析。 \(F_L(10)=0.99\)，按本篇的 \(\inf\{\ell:F_L(\ell)\geq c\}\) 约定，99%分位点仍为10。最坏1%完全由损失100组成，所以99%ES为100。置信水平99.5%已经超过0.99，分位点变为100，最坏0.5%取自该损失档，ES同样为100。积分中单个端点不改变面积，但VaR的端点约定会改变离散分布边界上的显示值；因此定义不能省略。