Itô 积分的完整构造：从时空均方到连续过程

要构造的不只是一个终点随机变量

本单元承担积分构造的全部连接：稠密逼近、等距延拓、Doob \(L^2\) 估计、连续过程极限、停止与局部化。我们不假定一般鞅表示定理，也不预先借用连续时间可选抽样。先修是简单可预测积分的定义与等距、条件期望的 \(L^2\) 收缩、Lebesgue 微分定理、Tonelli/DCT 和 \(L^2\) 完备性。

固定 \(T<\infty\)，过滤满足通常条件（过滤右连续，且 \(\mathcal F_0\) 包含 \(\mathcal F\) 中所有 \(P\) 零集及其子集）；\(W\) 是相对于该过滤的 Brownian 运动。渐进可测过程在每个 \([0,u]\times\Omega\) 上对 \(\mathcal B([0,u])\otimes\mathcal F_u\) 可测。记

\[ \|H\|_{\mathcal H_T^2}^2=E\int_0^TH_t^2dt. \]

把渐进可测且该范数有限的过程按下述关系取商，得到 \(\mathcal H_T^2\)：

\[ H\sim G\quad\Longleftrightarrow\quad H=G\quad dt\otimes P\text{ a.e.} \]

其中 \(\sim\) 指 \(dt\otimes P\) 几乎处处相等。目标是给每个等价类构造一个连续平方可积鞅 \(I(H)\)，而且

\[ E|I_t(H)|^2=E\int_0^tH_s^2ds. \]

渐进可测空间按这个范数是闭的 \(L^2\) 子空间：取 \(L^2\) 收敛列的几乎处处收敛子列，其逐点上极限在存在有限极限处等于极限，在其余点置零，仍渐进可测，因而给出该 \(L^2\) 极限的合法代表。我们不会把所有渐进可测过程逐点认成可预测过程。¹

一、先截断，再只向过去平均

下面的密度论证对 \(p=1,2\) 都成立，后者用于随机积分，前者稍后用于 Itô 公式的漂移。

先把 \(H\) 截断为 \(H^{[K]}=(-K)\vee(H\wedge K)\)。由 \(|H-H^{[K]}|^p\le |H|^p\) 与 DCT，截断在 \(L^p(dt\otimes P)\) 收敛。于是只需处理有界的 \(H\)。

对这样的 \(H\) 定义向后平均

\[ H^{(m)}_t=m\int_{(t-1/m)^+}^tH_s\,ds. \]

它有连续路径且不超过 \(K\)。它是适应的：在时点 \(t\)，积分仅涉及 \(s\le t\)，渐进可测性保证这个时间积分是 \(\mathcal F_t\) 可测。连续适应过程渐进可测；证明可在每个固定 \([0,u]\) 用阶梯近似取得联合可测性。Lebesgue 微分定理逐样本给 \(H_t^{(m)}\to H_t\) 对几乎所有 \(t>0\) 成立；Tonelli 将例外集放到 \(dt\otimes P\) 的零集中，有界 DCT 得 \(L^p\) 收敛。

若这里用向前平均，就可能引入未来信息。靠“函数更平滑了”无法弥补这个错误。

固定 \(m\) 后，取确定性网格，把 \(H^{(m)}\) 替成左端点阶梯

\[ H^{(m,n)}_t =\sum_jH^{(m)}_{t_j}\mathbf1_{(t_j,t_{j+1}]}(t). \]

每个系数在 \(t_j\) 已知。连续路径使网格逼近逐点成立，有界 DCT 给时空 \(L^p\) 收敛。先选截断误差，再选平均误差，再选网格误差各小于 \(1/(3n)\)，作对角选择，便得到有界简单可预测 \(H^n\to H\)。所有时间端点的单点值都在 \(dt\) 零集上，不影响范数。²

二、终点的等距延拓

对简单过程，前一篇已证明线性、连续路径、鞅性质，以及

\[ E|I_T(H^n)-I_T(H^m)|^2 =\|H^n-H^m\|_{\mathcal H_T^2}^2. \]

因此终点在 \(L^2(P)\) 中是 Cauchy 列。其极限不依赖选用的简单逼近，因为对另一列 \(G^n\to H\)，右边换成 \(\|H^n-G^n\|^2\) 仍趋于零。每个固定 \(t\) 也可这样定义。

但“每个 \(t\) 都有一个 \(L^2\) 极限”没有把不可数个时点的零测例外统一起来。要得到连续过程，我们需要控制整个路径的最大差。

三、完整推到 Doob 的常数 4

先取连续平方可积鞅 \(M\)，但只在一个包含 \(T\) 的有限网格上看它。令 \(X\) 为这个网格上 \(|M|\) 的最大值。对 \(\lambda>0\)，把 \(\{X\ge\lambda\}\) 按“首次达到阈值的网格时点”分成互斥事件 \(A_j\in\mathcal F_{t_j}\)。条件 Jensen 给

\[ \lambda P(A_j) \le E[|M_{t_j}|\mathbf1_{A_j}] \le E[|M_T|\mathbf1_{A_j}]. \]

求和后，\(\lambda P(X\ge\lambda)\le E[|M_T|\mathbf1_{\{X\ge\lambda\}}]\)。对 \(\lambda\in[0,L]\) 积分并乘以 2，Tonelli 给

\[ \begin{aligned} E[(X\wedge L)^2] &\le2E[|M_T|(X\wedge L)]\\ &\le2\|M_T\|_2\|X\wedge L\|_2. \end{aligned} \]

若最后的范数为零，结论直接成立；否则除以它再平方。先让 \(L\uparrow\infty\)，再取嵌套有限网格穷尽稠密有理时点，由单调收敛及路径连续性，得到

\[ E\sup_{0\le t\le T}|M_t|^2\le4E|M_T|^2. \]

这个证明只用有限个网格事件与条件期望，没有循环调用待构造积分的连续时间停止定理。

四、把终点极限补成连续过程

令 \(M^n=I(H^n)\)。它们的差仍是连续平方可积鞅，故

\[ E\sup_{t\le T}|M_t^n-M_t^m|^2 \le4\|H^n-H^m\|_{\mathcal H_T^2}^2. \]

选子列 \(n_j\)，使相邻差的 \(L^2\) 最大范数不超过 \(2^{-j}\)。Cauchy–Schwarz 和 Tonelli 给

\[ E\sum_j\sup_{t\le T}|M_t^{n_{j+1}}-M_t^{n_j}| \le\sum_j2^{-j}<\infty. \]

因此几乎每条路径上的这串最大差可求和，子列一致收敛到连续函数。在例外零集上把整个路径置零；通常条件使这种修改仍适应。记极限为 \(I(H)\)。对固定 \(n\)，先在子列上取极限，再用 Fatou，有

\[ E\sup_{t\le T}|I_t(H)-M_t^n|^2 \le4\|H-H^n\|_{\mathcal H_T^2}^2\longrightarrow0. \]

所以不仅子列，整列都收敛于路径最大均方范数。换一列逼近同样成立，两个连续极限的最大差均方为零，故不可分辨。

等距由固定时点 \(L^2\) 极限保留。对 \(s<t\)，条件期望是 \(L^2\) 压缩映射，因而

\[ E[I_t(H)\mid\mathcal F_s] =\lim_n E[M_t^n\mid\mathcal F_s] =\lim_n M_s^n=I_s(H). \]

可积性、适应性已经得到，所以它确实是鞅。线性与零均值也由同一极限传递。我们没有用“终点存在”跳过过程性质。³

五、停止规则也要从简单对象传过去

对停时 \(\tau\le T\)，要证明的过程等式是

\[ I_{t\wedge\tau}(H) =I_t(H\mathbf1_{(0,\tau]}),\qquad 0\le t\le T. \]

先令 \(\tau\) 只取某个有限网格上的值，\(H\) 也是简单过程。把两个网格合并以后，在 \((u_j,u_{j+1}]\) 上“尚未停止”的事件是 \(\{\tau\ge u_{j+1}\}=\{\tau>u_j\}\in\mathcal F_{u_j}\)。因此截停后仍是简单可预测过程。直接相加增量，左右相等。

对一般 \(\tau\)，用上方网格停时 \(\tau_m\downarrow\tau\)，并保持 \(\tau_m\le T\)。对简单 \(H\)，积分路径连续保证左边逐样本收敛；右边的被积过程由 \(|H|^2\) 控制，并在 \(dt\otimes P\) 几乎处处收敛，所以其 \(\mathcal H_T^2\) 距离趋于零。等距与最大估计将右边积分也传到极限。固定有理 \(t\) 取共同满测度集合，再用连续性得到所有 \(t\) 同时成立。

最后对一般 \(H\) 取简单逼近 \(H^n\)。乘截停指标不会增大 \(\mathcal H_T^2\) 距离；左边的误差被未停止过程的最大误差控制。于是两边再次在最大均方范数下传递。停止规则完整成立，而不只是一个符号约定。⁴

六、只有路径平方可积时，结论为什么弱一层

若 \(H\) 渐进可测且 \(A_T=\int_0^TH_s^2ds<\infty\) 几乎必然，但 \(EA_T\) 可能无限，定义

\[ \tau_m=\inf\{t:A_t\ge m\}\wedge T. \]

\(A\) 连续适应，故这是停时；\(H^{(m)}=H\mathbf1_{(0,\tau_m]}\) 的期望平方积分不超过 \(m\)。对 \(m\le n\)，停止规则说明 \(I(H^{(m)})\) 与 \(I(H^{(n)})\) 在 \([0,\tau_m]\) 上不可分辨。把可数个例外集合并，即可在交叠区拼接。

对几乎每条路径，\(A_T\) 有限，故充分大的 \(m\) 有 \(\tau_m=T\)；这个有限区间上的局部积分最终稳定，具有连续路径。停止后都是平方可积鞅，因此拼出的过程是连续局部鞅。没有新的全局矩条件，就不能把每个停止版本的零均值直接传给未停止极限。

迁移：两种等价类，两个不同量词

题目。 若 \(H=G\) 仅在 \(dt\otimes P\) 几乎处处意义下成立，证明它们的积分过程不可分辨。另令 \(U\) 在 \((0,T)\) 均匀分布，比较 \(X_t=\mathbf1_{\{U=t\}}\) 与 \(Y_t=0\)：为什么它们在每个固定时点几乎必然相等，却不可分辨？这是否与前面的结论矛盾？

解析。 \(\|H-G\|_{\mathcal H_T^2}=0\)，等距给每个固定 \(t\) 的积分差均方为零。先同时取所有有理 \(t\) 的满测度集合，再由两个积分的连续性得到所有时点相等。也可直接用最大估计得到相同结论。

对第二个例子，每个确定 \(t\) 有 \(P(U=t)=0\)；可是每个样本在随机时点 \(t=U\) 都出现一个尖点，故“所有 \(t\) 都相等”的概率为零。\(X\) 没有连续路径，这正是共同稠密时点不能补全的原因。它不否定积分构造，因为构造明确选取连续版本。

证明图只标注每一步用到的条件。选择某条箭头时，应能回到本篇对应的不等式或逼近，而不是用高亮代替论证。