鞅与有限时点停止

我们已经会在一个时点按已有信息取条件平均。现在让信息随时间增加：每次重新预测，得到一串条件平均。鞅描述的正是这串数之间的一致性；停时则描述什么时候能够根据已经到来的信息作出“到这里为止”的决定。两者合在一起，才能精确回答“改一个退出规则，条件平均会不会改变”。

这一单元的目标是重建两个有界停时之间的条件等式，并找出无限停止反例失去的条件。先修只用条件期望、可积性和事件的可测性，不需要连续时间随机积分。

1. 鞅比较的是条件平均，不是每条路径的走势

令 \((\Omega,\mathcal F,P)\) 为概率空间，\((\mathcal F_k)_{k\ge0}\) 为滤过，即随时间增加的子 \(\sigma\)-代数。实值过程 \(M=(M_k)\) 是相对于这个滤过和概率 \(P\) 的鞅，是指每个 \(M_k\) 都是 \(\mathcal F_k\) 可测、\(E_P|M_k|<\infty\)，并且

\[ E_P[M_k\mid\mathcal F_{k-1}]=M_{k-1},\qquad k\ge1. \]

可测性要求当前值已经可知；可积性让条件平均有定义；最后一项说，在昨日的信息下，今天数值的条件平均恰好等于昨日值。这不要求路径平坦，也不要求相邻增量独立。下文未加下标的期望都在 \(P\) 下取。定义与以下 Doob 构造可对照 MIT Lecture 25 §1。¹

例如固定一个 \(X\in L^1\)，令 \(M_k=E[X\mid\mathcal F_k]\)。条件期望本身可测，而且 \(E|M_k|\le E|X|\)。对嵌套信息再用塔式性质：

\[ E[M_k\mid\mathcal F_{k-1}] =E[E[X\mid\mathcal F_k]\mid\mathcal F_{k-1}] =M_{k-1}. \]

于是它确实是鞅。这个例子也说明为什么一定要注明滤过：提前告诉你未来结果后，原来“条件均值为零”的增量可能已能确定正负。无条件等式 \(E[M_k]=E[M_0]\) 只是鞅的推论，单凭它反过来不能识别鞅。

金融连接也在这里：一项价格过程在研究概率 \(P\) 下是否为鞅，需要模型或证据；有限无套利市场中出现的是另一概率 \(Q\) 下的贴现价格鞅。不能把两句互换。这里先把数学结论在指定概率下讲清。

2. 停时与停止后的信息

随机时间 \(\tau:\Omega\to\{0,1,\ldots\}\cup\{\infty\}\) 是停时，是指 \(\{\tau\le k\}\in\mathcal F_k\) 对每个 \(k\) 成立。换句话说，到了 \(k\)，可以判断是否已经停止；它不要求在起点就知道最后会在哪天停。离散时间中，这等价于每个 \(\{\tau=k\}\in\mathcal F_k\)。²

首次达到某个已知阈值就是例子。相反，“在整条路径的最高点第一次出现时退出”通常不是停时：要确认眼前是否为全路径最高点，还需要知道以后会不会更高。

停下时知道的事件组成

\[ \mathcal F_\tau =\{A\in\mathcal F:A\cap\{\tau\le k\}\in\mathcal F_k \text{ 对每个 }k\text{ 成立}\}. \]

这确实是 \(\sigma\)-代数：与 \(\{\tau\le k\}\) 相交后，补集变成相对于该事件的差集，可数并仍是可数并。对有界 \(\tau\le N\)，若 \(D\subseteq\mathbb R\) 为 Borel 集，则

\[ \{M_\tau\in D\}\cap\{\tau\le n\} =\bigcup_{j=0}^{\min(n,N)} \bigl(\{\tau=j\}\cap\{M_j\in D\}\bigr). \]

每一项属于 \(\mathcal F_n\)，所以 \(M_\tau\) 是 \(\mathcal F_\tau\) 可测。这个小推导很重要：后面要把 \(M_\sigma\) 认作一个条件期望，不能只验证它“看上去是到时可知的”。

先看停止过程 \(Y_k=M_{k\wedge\tau}\)。它适应，而且 \(|Y_k|\le\sum_{j=0}^k|M_j|\)，所以可积。它的增量为

\[ Y_k-Y_{k-1} =\mathbf1_{\{\tau\ge k\}}(M_k-M_{k-1}). \]

由于 \(\{\tau\ge k\}=\{\tau\le k-1\}^{c}\in\mathcal F_{k-1}\)，对昨日信息取条件期望得到零。因此 \(Y\) 仍为鞅。这只证明每个有限 \(k\) 的性质；还没有允许把 \(k\) 直接换成无穷大。

3. 条件有界停止：把证明做完

命题（条件有界可选抽样）。设 \(M_0,\ldots,M_N\) 是可积鞅，\(\sigma,\tau\) 是取值于 \(\{0,\ldots,N\}\) 的停时，且 \(\sigma\le\tau\)。则

\[ E[M_\tau\mid\mathcal F_\sigma]=M_\sigma. \]

特别地，\(E[M_\tau]=E[M_\sigma]=E[M_0]\)。这里 \(N\) 是确定的共同上界，概率空间本身不必有限。以下直接用增量和条件期望的积分刻画证明；MIT §3 提供停止定理及有界特例的背景。²

证明。首先，\(|M_\sigma|,|M_\tau|\le\sum_{j=0}^N|M_j|\)，两者可积；上一节已证明 \(M_\sigma\) 对 \(\mathcal F_\sigma\) 可测。剩下的任务是对每个 \(A\in\mathcal F_\sigma\) 验证积分相同。

对每条路径，区间 \((\sigma,\tau]\) 上的增量恰好拼出

\[ M_\tau-M_\sigma =\sum_{k=1}^N \mathbf1_{\{\sigma<k\le\tau\}}(M_k-M_{k-1}). \]

固定 \(A\in\mathcal F_\sigma\)，令

\[ D_k=A\cap\{\sigma\le k-1\}\cap\{\tau\ge k\}. \]

第一部分 \(A\cap\{\sigma\le k-1\}\) 由 \(\mathcal F_\sigma\) 的定义属于 \(\mathcal F_{k-1}\)；第二部分也属于 \(\mathcal F_{k-1}\)。因此 \(D_k\in\mathcal F_{k-1}\)，并有

\[ \begin{gathered} E[\mathbf1_{D_k}(M_k-M_{k-1})]\\ =E[\mathbf1_{D_k}E[M_k-M_{k-1}\mid\mathcal F_{k-1}]]\\ =0. \end{gathered} \]

有限项可以逐项求期望，于是 \(E[\mathbf1_A(M_\tau-M_\sigma)]=0\)。可测性、可积性和每个信息事件上的积分相同都已成立，条件期望的定义遂给出结论。证毕。

回看证明：停时条件让增量前的系数可测，确定上界让求和有限，可积性让每个期望合法。结论并不声称停止前后的风险相同；它保留的是条件一阶平均。

4. 在信息分组内复算，而不只看总均值

取八次独立公平的 \(\pm1\) 增量，\(M_0=0\)，每条完整路径概率为 \(1/256\)。取由前 \(k\) 次增量生成的自然滤过 \(\mathcal F_k\)。以 U 表示 \(+1\)，D 表示 \(-1\)。令 \(\sigma\) 为首次到达 \(+1\)、最晚在 3 停止；令 \(\tau\) 为首次到达 \(+2\)、最晚在 8 停止。若达到 \(+2\)，此前必已经过 \(+1\)；否则截断规则也保证 \(\sigma\le\tau\)。

停止后当前信息不是 256 个完整结果，而是下列五个前缀。对每组只平均仍可能发生的未来路径：

停止时已知前缀	\(\sigma\)	完整路径数	\(M_\sigma\)	组内 \(M_\tau\) 平均
U	1	128	1	\(1\)
DDD	3	32	-3	\(-3\)
DDU	3	32	-1	\(-1\)
DUD	3	32	-1	\(-1\)
DUU	3	32	1	\(1\)

例如观察到 DDD 时，已经知道 \(M_\sigma=-3\)。继续按 \(\tau\) 的规则运行，这个组内 \(M_\tau\) 的平均仍是 \(-3\)，不是总体平均零。条件定理比“256 条路径总平均为零”多保留了这一层信息。

实验可以选择一条完整路径，再回到它在 \(\sigma\) 时所属的分组。随后切换“事后最高点”作对照：八步路径最大值的平均为 \(\frac{467}{256}\approx1.82421875\)。不是停止定理被打破，而是规则不再只使用当时信息。

5. 真的最终会停止，也未必能交换极限与期望

现在另开一个无限公平抛币空间，不再使用刚才的 256 条路径。令

\[ Z_n=2^n\mathbf1_{\{\text{前 }n\text{ 次全为正面}\}},\qquad Z_0=1, \]

并令 \(\tau\) 为首次反面出现的次数。在尚未出现反面时，下一步以各 \(1/2\) 的概率加倍或归零；已归零后保持零。因此 \(Z\) 是非负可积鞅，且 \(E[Z_n]=1\)。

这里 \(P(\tau=n)=2^{-n}\)，所以 \(P(\tau<\infty)=1\)，而

\[ E[\tau]=\sum_{n=0}^{\infty}P(\tau>n) =\sum_{n=0}^{\infty}2^{-n}=2. \]

但一旦反面出现，\(Z_\tau=0\)。对于每个确定 \(N\)，却有

\[ Z_{\tau\wedge N}=2^N\mathbf1_{\{\tau>N\}}, \qquad E[Z_{\tau\wedge N}]=1. \]

有限截断一直符合定理；逐路径极限也确实为零。失效的是从逐路径极限跳到期望极限。

一族可积变量 \((Y_n)\) 一致可积，是指

\[ \lim_{K\to\infty}\sup_n E[|Y_n|\mathbf1_{\{|Y_n|>K\}}]=0. \]

对这里的停止族，任给 \(K\)，选 \(2^N>K\)，尾部期望仍等于 \(2^N2^{-N}=1\)。少数幸存路径的数值越来越大，恰好抵消其概率越来越小；尾部没有一致消失。MIT 给出一致可积鞅的无限停时延伸，我们在这里只用该定义精确诊断反例，不把 \(E\tau<\infty\) 单独当作延伸定理。³

6. 迁移：判断规则，检查条件，区分平均与风险

问题一。比较两条路径 UUDDDDDD 和 UDDDDDDD。它们在时点 1 的信息相同。若 \(\rho\) 为全路径最大值第一次出现的时间，\(\{\rho\le1\}\) 能在时点 1 判定吗？

解析。第一条的最大值 2 在时点 2 首次达到；第二条的最大值 1 在时点 1 首次达到。因此同一时点 1 的信息组内，事件 \(\{\rho\le1\}\) 一真一假，不属于 \(\mathcal F_1\)，\(\rho\) 不是停时。这个反证不依赖计算最大值的总体平均。

问题二。额外假设 \(M_0,\ldots,M_N\in L^2\)。是否还能说 \(E[M_\tau^2]=E[M_\sigma^2]\)？请由本篇定理推导正确关系。

解析。先由有限上界得到 \(M_\sigma,M_\tau\in L^2\)。条件等式给 \(E[M_\tau-M_\sigma\mid\mathcal F_\sigma]=0\)，从而交叉项期望为零。展开平方得

\[ E[M_\tau^2] =E[M_\sigma^2]+E[(M_\tau-M_\sigma)^2] \ge E[M_\sigma^2]. \]

乘 \(M_\sigma\) 的操作可先对它截断，再用 Cauchy–Schwarz 过极限；不是无条件提出一个任意不可积系数。八步例中

\[ E[M_\tau^2]=\frac{187}{32},\qquad E[M_\sigma^2]=2,\qquad E[(M_\tau-M_\sigma)^2]=\frac{123}{32}, \]

也正好满足这个分解。平均不变并不等于继续等待不增加风险。

问题三。无限首次反面反例同时有 \(E\tau=2\)。为什么 MIT 的“有限期望停时”判据仍未适用？

解析。那个充分条件还要求 \(E[|Z_n-Z_{n-1}|\mid\mathcal F_{n-1}]\) 被同一个常数控制。这里该条件期望等于 \(Z_{n-1}\)；在连续正面的路径上，它随 \(n\) 增大，没有统一常数界。遗漏的条件和不一致可积的尾部现象是相容的。