停止规则与有限市场

4. 在信息分组内复算，而不只看总均值

取八次独立公平的 $\pm1$ 增量，$M_0=0$，每条完整路径概率为 $1/256$。取由前 $k$ 次增量生成的自然滤过 $\mathcal F_k$。以 U 表示 $+1$，D 表示 $-1$。令 $\sigma$ 为首次到达 $+1$、最晚在 3 停止；令 $\tau$ 为首次到达 $+2$、最晚在 8 停止。若达到 $+2$，此前必已经过 $+1$；否则截断规则也保证 $\sigma\le\tau$。

停止后当前信息不是 256 个完整结果，而是下列五个前缀。对每组只平均仍可能发生的未来路径：

例如观察到 DDD 时，已经知道 $M_\sigma=-3$。继续按 $\tau$ 的规则运行，这个组内 $M_\tau$ 的平均仍是 $-3$，不是总体平均零。条件定理比“256 条路径总平均为零”多保留了这一层信息。

实验可以选择一条完整路径，再回到它在 $\sigma$ 时所属的分组。随后切换“事后最高点”作对照：八步路径最大值的平均为 $\frac{467}{256}\approx1.82421875$。不是停止定理被打破，而是规则不再只使用当时信息。

5. 真的最终会停止，也未必能交换极限与期望

现在另开一个无限公平抛币空间，不再使用刚才的 256 条路径。令

$$Z_n=2^n\mathbf1_{\{\text{前 }n\text{ 次全为正面}\}},\qquad Z_0=1,$$

并令 $\tau$ 为首次反面出现的次数。在尚未出现反面时，下一步以各 $1/2$ 的概率加倍或归零；已归零后保持零。因此 $Z$ 是非负可积鞅，且 $E[Z_n]=1$。

这里 $P(\tau=n)=2^{-n}$，所以 $P(\tau<\infty)=1$，而

$$E[\tau]=\sum_{n=0}^{\infty}P(\tau>n) =\sum_{n=0}^{\infty}2^{-n}=2.$$

但一旦反面出现，$Z_\tau=0$。对于每个确定 $N$，却有

$$Z_{\tau\wedge N}=2^N\mathbf1_{\{\tau>N\}}, \qquad E[Z_{\tau\wedge N}]=1.$$

有限截断一直符合定理；逐路径极限也确实为零。失效的是从逐路径极限跳到期望极限。

一族可积变量 $(Y_n)$ 一致可积，是指

$$\lim_{K\to\infty}\sup_n E[|Y_n|\mathbf1_{\{|Y_n|>K\}}]=0.$$

对这里的停止族，任给 $K$，选 $2^N>K$，尾部期望仍等于 $2^N2^{-N}=1$。少数幸存路径的数值越来越大，恰好抵消其概率越来越小；尾部没有一致消失。MIT 给出一致可积鞅的无限停时延伸，我们在这里只用该定义精确诊断反例，不把 $E\tau<\infty$ 单独当作延伸定理。

2. 二状态：先复制，再谈概率

状态顺序为上涨、下跌。给定股票初价 $S_0=100$，终值与现金账户如下；看涨式支付的行权价为 $105$。

令 $\theta=(\beta,\Delta)^T$。把状态放在行、资产放在列：

$$A=\begin{pmatrix}\frac{51}{50}&120\\\frac{51}{50}&90\end{pmatrix}, \qquad A\theta=\begin{pmatrix}15\\0\end{pmatrix}.$$

两行相减消去现金，得到 $\Delta=\frac{1}{2}$；再代回下跌状态，得终端现金金额 $\beta B_1=-45$，因而 $\beta=-\frac{750}{17}$。初始成本为 $V_0=\frac{100}{17}\approx5.88235294$。

这套持仓在两种状态都支付 $H$。若同一支付可以买卖，报价 $c$ 高于复制成本，就卖出支付、买入复制组合，并把差额存入现金账户。总初始成本为零，到期两项支付相消，留下确定正的现金增长额；报价更低时反向操作。因此在本模型里，可复制支付的无套利价格不能偏离复制成本。

这不是因为我们已知道上涨概率，而是因为逐状态结果完全相同。

3. 概率、状态价格与定价核

称满足

$$A^T\pi=s_0,\qquad \pi_i>0$$

的向量 $\pi$ 为一组与当前已交易资产价格相容的正状态价格。可以把 $\pi_i$ 读作这套线性定价规则给“只在状态 $i$ 支付一美元”的数字支付赋予的初始价值；但若市场不完备，这些数字支付未必已在市场中交易，也未必可复制，因此 $\pi$ 可能不唯一，不能把某一分量冒充已观察到的唯一市场报价。这里 $s_0$ 是已交易资产的初始价格向量。

若这样的 $\pi$ 存在，对任意零成本持仓 $\theta$ 都有 $\pi^TA\theta=s_0^T\theta=0$；而一个逐状态非负、至少一处严格正的终值，其严格正加权和不可能为零。这已经证明了该一期市场没有套利。反方向由有限期第一基本定理给出。

现金账户那一列满足 $B_1\sum_i\pi_i=B_0$，所以 $\sum_i\pi_i=1/R$，不是 1。将它归一化，定义 $Q_i=R\pi_i$，得到

$$\sum_i Q_i=1, \qquad E_Q[S_1]=RS_0.$$

这等价于 $E_Q[S_1/B_1]=S_0/B_0$；贴现价格在 $Q$ 下为鞅。因为 $Q_i>0$，它与全支持的 $P$ 有相同的零概率事件，故称等价鞅测度。

二状态中联立概率总和与股票定价约束，算得 $Q=\left(\frac{2}{5},\frac{3}{5}\right)$，$\pi=\left(\frac{20}{51},\frac{10}{17}\right)$。再取教学概率 $P=\left(\frac{3}{5},\frac{2}{5}\right)$，就能把这些对象放在同一张表里：

其中密度 $z_i=Q_i/P_i$ 满足 $E_Pz=1$；定价核 $m_i=\pi_i/P_i=z_i/R$ 满足 $E_Pm=1/R$。对可复制支付，三个价格写法完全一致：

$$\begin{aligned} \operatorname{price}(H) &=\sum_i\pi_iH_i\\ &=R^{-1}E_Q[H]\;=\;E_P[mH]. \end{aligned}$$

本例 $E_PH=9$，$E_QH=6$。直接算 $R^{-1}E_PH=\frac{150}{17}$，并不会得到复制成本 $\frac{100}{17}$。研究概率在回答支付平均有多大；定价核则按资产价格约束改变了状态权重。

把界面中的 $P$ 切到 $\left(\frac{9}{10},\frac{1}{10}\right)$，先预测哪些列会变，再计算：$Q$、$\pi$ 和复制成本不变，密度与定价核改变。这个观察依赖支付矩阵与市场价格固定，不是说现实概率的变化永远不影响真实市场价格。

4. 三状态：缺少一列资产，留下一个自由度

接下来保留现金账户和股票初价，将终端股票改成三个状态，顺序为下跌、中间、上涨。此分支的看涨式支付行权价是 $100$，不同于二状态分支；只要求现实概率全支持，不另指定数值。

现金和股票只有两列，其支付矩阵秩为 2。可复制支付一定形如 $H_i=\beta B_1+\Delta S_{1i}$，即三个点落在同一直线上。给定 $H=\left(0,0,20\right)$ 并非如此：前两个状态支付都为零迫使 $\Delta=0,\beta=0$，便不可能在第三个状态支付 $20$。

从 $q_d+q_m+q_u=1$ 与 $E_QS_1=RS_0$ 出发，令 $t=q_d$，解得

$$Q(t)=\bigl(t,\ \frac{9}{10}-2t,\ \frac{1}{10}+t\bigr).$$

三个分量都必须严格正，所以 $0<t<\frac{9}{20}$。原市场因此存在一族 EMM，不能单凭它给每个非复制支付一个唯一价格。

现在明确改变的是交易集合：允许将支付 $H$ 以初价 $c$ 自由买卖，同时保留原现金和股票价格。该新增资产要求

$$c(t)=\frac{ 2+20t }{ \frac{51}{50} }, \qquad c\in(\frac{100}{51},\frac{550}{51}).$$

区间内的每个 $c$ 对应严格正的状态价格，故不存在套利。为什么不能把端点一起收入区间？下面给出实际持仓；列顺序为现金账户单位、股票单位、新支付单位。

两组初始成本都为零，终值非负，并在一个正 $P$ 概率的状态上严格正。这不是数值容差问题。低于下端时，第一组持仓的初始成本更低，可把收到的差额存入现金账户；高于上端时对第二组同理。于是区间外也有套利，开放区间的每一部分都得到解释。

5. 以一个价格补全市场，不等于选中了“真实概率”

让新增支付的成交初价固定为 $c=6$。增广矩阵为

$$A_+=\begin{pmatrix} \frac{51}{50}&80&0\\ \frac{51}{50}&100&0\\ \frac{51}{50}&120&20 \end{pmatrix}.$$

它的行列式为 $408$，秩为 3。因此每个三状态支付都能解出持仓。新资产价格同时把自由参数固定，得到

$$Q=\left(\frac{103}{500},\frac{61}{125},\frac{153}{500}\right),\qquad \pi=\left(\frac{103}{510},\frac{122}{255},\frac{3}{10}\right).$$

这叫完备：任意终端可测支付都可复制。它不要求未来只有一个可能结果，也不把 $Q$ 解释成已估计出的现实概率。一般有限期下“无套利当且仅当存在 EMM”见 第一基本定理证明；在已经无套利的市场中，“完备当且仅当 EMM 唯一”见 第二基本定理证明。后者还会实际构造三个数字支付的持仓。

6. 在冻结一期市场里看见证明中的空间

回到同一 EXP-STATE-01 二状态市场。持有一单位股票并用现金账户借款，使初值为零；贴现增益的基向量为

$$g=\left(\frac{300}{17},-\frac{200}{17}\right),\qquad L=\operatorname{span}\{g\}.$$

可选常数风险持仓 $h$，增益就是 $hg$。每个非零 $h$ 都让两个分量一正一负，所以 $L$ 不会进入非零非负象限。上面构造出的定价权重在此就是 $Q=\left(\frac{2}{5},\frac{3}{5}\right)$，它满足 $Q\cdot g=0$。

这个视图允许改变持仓和初始财富，而不改变市场价格或状态。先看现金账户单位怎样随持仓改变，再看贴现增益恒等式。改变候选 $q_u$ 也会显示：概率总和为 1 并不够，还必须使 $Q\cdot g=0$。

4. 不完备留下的方向，怎样生成另一概率

另一方向用逆否命题。若市场不完备，第 2 节给 $K\subsetneq\mathbb R^m$。有限维线性代数因此提供非零向量 $z\in K^\perp$。由于 $\mathbf1\in K$ 且 $L\subseteq K$，

$$\sum_i z_i=0,\qquad z\cdot\ell=0\quad(\ell\in L).$$

第一基本定理给出一个全支持 EMM $q=(q_i)$。选

$$0<|\varepsilon|\le \frac12\min_{z_i\ne0}\frac{q_i}{|z_i|}, \qquad q'_i=q_i+\varepsilon z_i.$$

右侧最小值严格正，因为只有有限多个状态且所有 $q_i>0$。对 $z_i\ne0$，有 $q'_i\ge q_i/2>0$；对 $z_i=0$，$q'_i=q_i>0$。而 $\sum z_i=0$ 保证 $\sum q'_i=1$。因此 $q'$ 是另一全支持概率，且因 $\varepsilon\ne0,z\ne0$ 确实不同于 $q$。

还必须检查它仍是 EMM。对每个零成本增益 $\ell\in L$，

$$E_{Q'}\ell =E_Q\ell+\varepsilon z\cdot\ell=0.$$

固定一期、一个资产和一个当期之前可知的事件，采用 QT18-P1 已构造的指标风险持仓并补足现金，就得到

$$E_{Q'}[\mathbf1_A\Delta\widetilde S_k^i]=0 \quad\text{对所有 }A\in\mathcal F_{k-1}.$$

故各贴现价格在 $Q'$ 下仍是鞅。于是市场不完备便存在至少两个 EMM，逆否命题完成。

这一证明也解释了“未被资产价格约束的方向”：$z$ 与全部可复制贴现支付正交，微调概率时这些支付的价格看不出变化；只有某些不可复制支付可能看到区别。

在同一个三状态市场、未加入新资产时，可以取

$$q=\left(\frac{1}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{10}\right),\qquad z=\left(1,-2,1\right).$$

由上述公式得到一个安全幅度 $\varepsilon=\frac{1}{10}$，从而 $q'=\left(\frac{3}{10},\frac{3}{10},\frac{2}{5}\right)$。新旧两组权重都正确定价现金和股票，但对看涨式支付的价格不同。这里改变的是定价测度的选择，没有改动股票、现金或支付定义。

5. 从矩阵满秩走到真实持仓

在一期市场，把各资产终端支付组成矩阵 $A$，状态为行、资产为列。若 $\operatorname{rank}(A)=m$，任意支付向量 $x$ 都能求解 $A\theta=x$；初始成本为 $s_0^T\theta$，终值逐行相等。反过来，若每个状态数字支付 $e_i$ 都可复制，所有 $e_i$ 都在列空间内，矩阵必为满行秩。

采用 EXP-STATE-01 的三状态分支，将看涨式支付以初价 $6$ 加入交易。矩阵行列式为 $408$，因此我们现在不仅知道能复制，而且可以逐一解出：

以中间状态的一美元为例，持仓在每个终端状态的三项贡献如下：

每一行加总都达到目标，初始成本为 $\frac{122}{255}$。表里的现金列仍是 $\beta B_1$；不能把现金账户单位 $\beta$ 直接当作美元终值。

对任意支付 $x=(x_d,x_m,x_u)$，线性组合三种数字支付即可复制。把矩阵相邻行相减，也能直接得到

$$\begin{aligned} \Delta&=\frac{x_m-x_d}{ 20 },\\ \beta&=\frac{ 5x_d-4x_m }{ \frac{51}{50} },\\ \gamma&=\frac{x_u-2x_m+x_d}{ 20 }. \end{aligned}$$

其中 $\gamma$ 是新增看涨式资产的单位数。初始价格为

$$\beta B_0+\Delta S_0+\gamma c =\pi_dx_d+\pi_mx_m+\pi_ux_u.$$

先在界面选三个数字支付之一，再输入一个含正负分量的支付。它会重新求解持仓并逐状态乘回，而不是只显示“秩等于 3”。